त्रिभुज | Triangle

 त्रिभुज Triangle

आज हम इस अध्याय में त्रिभुज और उसकी विभिन्न विशेषताओं के बारे में अध्ययन करेंगे।

तीन भुजाओं से घिरी सरल बंद आकृति को त्रिभुज कहते है ।

त्रिभुज की कुछ विशेषताएँ निम्नलिखित है :-

  • त्रिभुज में तीन भुजाये होती है ।
  • त्रिभुज में कोणों की संख्या तीन होती है ।
  • त्रिभुज में तीन शीर्ष होते है ।
  • त्रिभुज में 0 विकर्ण होते है। 
  • त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है ।
  • त्रिभुज के बाह्य कोणों का योग 360 डिग्री होता है ।
इसमें तीन भुजाएँ होती है और इसमें अंदर की तरफ तीन कोण बनते है। इन्हीं तीन भुजाओ और कोणों के आधार पर त्रिभुज तीन-तीन प्रकार के होते है 
 
Today we will study about the triangle and its various features in this chapter.

A simple closed shape surrounded by three sides is called a triangle.

Some characteristics of the triangle are as follows : –

  • There are three sides in the triangle.
  • The number of angles in the triangle is three.
  • There are three vertex in a Triangle.
  • A Triangle have zero diagonal.
  • The sum of three angles of the triangle is 180 degrees.
  • The sum of the external angles of the triangle is 360 degrees.

There are three sides in it, and in this there are three angles on the inside. Based on these three sides and angles, the triangle is of three-three types.

भुजा के आधार पर त्रिभुज

भुजा के आधार पर त्रिभुज तीन प्रकार के होते है 
There are three types of triangles based on the sides.

 
1 . समबाहु त्रिभुज  (Equilateral triangle)
2 . समद्विबाहु त्रिभुज  (Isosceles triangle)
3 . विषमबाहु त्रिभुज  (Heterogeneous triangle)
 
1. समबाहु त्रिभुज :-  जैसा कि नाम से ही प्रतीत होता है सम अर्थात समान बाहु अर्थात भुजा अतः ऐसा त्रिभुज जिसकी सभी तीनों भुजाएँ बराबर होती है, समबाहु त्रिभुज कहलाता है 
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60 डिग्री का होता है। 
Equilateral triangle :- A triangle whose all three sides are equal, is called equilateral triangle.
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2. समद्विबाहु त्रिभुज :- ऐसा त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ समान (बराबर) होती और तीसरी भुजा भिन्न लम्बाई की होती है, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है  
Isosceles triangle – a triangle whose two sides are equal (Equal) and the third side is of different lengths, is called Isosceles triangle.
 
 
3. विषमबाहु त्रिभुज :- ऐसा त्रिभुज जिसकी सभी (तीनों) भुजाएँ असमान माप की होती है, विषमबाहु त्रिभुज कहलाता है ।
Heterogeneous Triangle  – A triangle whose all (three) sides are not equal is called Hexagonal Triangles.
 
 
कोणों के आधार पर त्रिभुज के प्रकार निम्नलिखित है :-
Kind of Triangle based on angle :-

कोणों के आधार पर त्रिभुज तीन प्रकार के होते है
There are three types of triangles based on the Angles.

1. न्यूनकोण त्रिभुज (Acute angle triangle)
2. समकोण त्रिभुज  (Right angled triangle)
3. अधिककोण त्रिभुज (Obtuse angle triangle)
 
1न्यूनकोण त्रिभुज :-  वह त्रिभुज जिसका प्रत्येक कोण समकोण से छोटा (90 डिग्री) होता है, न्यूनकोण  त्रिभुज कहलाता है । 
न्यूनकोण त्रिभुज का प्रत्येक कोण 90 डिग्री से छोटा होता है। 
Acute Angle Triangle :- The triangle whose every angle is smaller than the right angle (90 degrees) is called an acute triangle. Each angle of an acute triangle is less than 90 degrees.
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2. समकोण त्रिभुज :-  वह त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण (90 डिग्री) का हो, समकोण कहलाता है ।
इसमें एक कोण समकोण होता है और शेष दोनों कोण 90 डिग्री से छोटे होते है ।
Right Angled Triangle :- The triangle whose one angle are 90 degrees is called right angle. In this there is an angle right angle and the remaining two angles are less than 90 degrees.
3. अधिककोण त्रिभुज :- वह त्रिभुज जिसका एक कोण 90 डिग्री से बड़ा होता है, अधिककोण त्रिभुज कहलाता है ।
इसमें एक कोण 90 डिग्री से बड़ा व शेष दो कोण न्यूनकोण होते है ।
Obtuse angle triangle :- The triangle whose an angle is greater than 90 degrees is called a Obtuse angle Triangle. In this, an angle is greater than 90 degrees and the remaining two angles are acute.
 
 
 त्रिभुज से सम्बंधित महत्वपूर्ण सूत्र

(Important formula related to triangle)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\displaystyle \frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई    (जब प्रश्न में त्रिभुज का आधार और ऊँचाई दी गई हो)

Area of Triangle = \(\displaystyle \frac{1}{2}\) × Base × Height    (When the question has been given Base and Height and should be asked for Area)
 
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\displaystyle \frac{3}{4}\) × (भुजा)2    (जब प्रश्न में समबाहु त्रिभुज की भुजा दी गई हो और क्षेत्रफल ज्ञात करना हो)
Area of Equilateral Triangle = \(\displaystyle \frac{3}{4}{{a}^{2}}\)    (When the question has been given Base of Equilateral Triangle and should be asked for Area)
 
हीरोन के सूत्र से विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\displaystyle \sqrt{{S(S-a)(S-b)(S-c)}}\)    (जब प्रश्न में तीनों भुजाएँ दी गई हो और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो)
यहाँ S त्रिभुज का अर्धपरिमाप है। 
त्रिभुज का अर्धपरिमाप (S) = \(\displaystyle \frac{{a+b+c}}{2}\)    (यहाँ a, b, c किसी विषमबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ)
Area of Triangle by Heron’s Formula = \(\displaystyle \sqrt{{S(S-a)(S-b)(S-c)}}\)    (When the question has been given all three side and should be asked foe area)
Here ‘S’ mean Semi-dimensional.
Semi-dimensional (S) = \(\displaystyle \frac{{a+b+c}}{2}\)    (Here a, b, c are all three Side of any Heterogeneous Triangle)
 
a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज के अन्तः वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\displaystyle \frac{a}{{2\sqrt{3}}}\) 
Equilateral Triangle which has ‘a’ Side it’s Radius of the intersection (r) = \(\displaystyle \frac{a}{{2\sqrt{3}}}\) 
 
a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या (r) = \(\displaystyle \frac{a}{{\sqrt{3}}}\)
 
Equilateral Triangle which has ‘a’ Side it’s Radius of the circumcircle = \(\displaystyle \frac{a}{{\sqrt{3}}}\)

समकोण त्रिभुज का विकर्ण ज्ञात करना

यदि किसी त्रिभुज में आधार और लम्ब की लम्बाई दी गई हो तो उस त्रिभुज का विकर्ण ज्ञात किया जा सकता है। इसी तरह त्रिभुज की कोई भी दो माप दी गई हो तो तीसरी माप को ज्ञात किया जा सकता है।
निम्न सूत्र की सहायता से ज्ञात कर सकते है। 
(कर्ण)2 = (आधार)2 + (लम्ब)2 
(लम्ब)2(कर्ण)2 – (आधार)2
(आधार)2(कर्ण)2 – (लम्ब)2

Finding a diagonal of right angled triangle

If the length of the Base and Length is given in a triangle, then the diagonal of that triangle can be known. Similarly, if any two measurements of the triangle are given, then the third measurement can be known.
(Hypotenuse)2 = (Perpendicular)2 + (Base)2
(Perpendicular)2 = (Hypotenuse)2 – (Base)2
(Base)2 = (Hypotenuse)2 – (Perpendicular)2

त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है

त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा से हमेशा बड़ा होता है । ये त्रिभुज की एक महत्वपूर्ण विशेषता है ।
इसे हम निम्न लिखित उदाहरण के द्वारा समझ सकते है। 
(उदाहरण) 
AB = 6 cm
BC = 3 cm
CA = 5 cm
AB < BC + CA        6 cm < 8 cm
CA < BC + AB        5 cm < 9 cm
BC < AB + CA        3 cm < 11 cm
हमने देखा जब भी हम किसी किन्ही दो भुजाओं को जोड़ते है, तो उनका योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है। अगर ऐसा नहीं होता तो वो त्रिभुज संभव नहीं है।

The sum of any two sides of the triangle is greater than the third side

The sum of any two sides of the triangle is always greater than its third arm. This is an important feature of the triangle.

We can understand this through the following example.

Example
AB = 6 cm
BC = 3 cm
CA = 5 cm
AB < BC + CA        6 cm < 8 cm
CA < BC + AB        5 cm < 9 cm
BC < AB + CA        3 cm < 11 cm

मध्यिका और शीर्षलम्ब में अंतर 

मध्यिका :- त्रिभुज की किसी एक भुजा के मध्य से उसके सामने वाले शीर्ष पर खींची रेखा को मध्यिका कहते है।

Medians :- The line drawn from the middle of any side on the front vertex of the triangle is called the median.

शीर्षलम्ब :- त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से उसके सामने स्थित भुजा पर डाले गए समकोणीय लम्ब को शीर्षलम्ब कहते है । किसी त्रिभुज में शीर्षलम्ब  3 होती है। 
Altitude :- A Right angle perpendicular which is drawn by a vertex to it’s front side is called Altitude.

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महत्वपूर्ण प्रश्न

* किसी त्रिभुज की ऊंचाई 10 सेंटीमीटर है और आधार 5 सेंटीमीटर है तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल – त्रिभज का क्षेत्रफल = \(\displaystyle \frac{1}{2}\) × आधार × ऊँचाई
दिया है – आधार 5 सेमी
ऊँचाई – 10 सेमी
सूत्र में मान रखने पर –
= \(\displaystyle \frac{1}{2}\) × 5 × 10
= \(\displaystyle \frac{50}{2}\)
= 25 वर्ग सेमी उत्तर।

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