Rules of Exponent | घातांक के नियम

घातांक के नियम Rules of Exponent – इस अध्याय के अंतर्गत हम सीखेंगे कि किसी घात वाली संख्या को किस प्रकार से हल किया जा सकता है। ऐसे कौनसे नियम है जो घातांक को हल करने में हमारी सहायता करते है। इन घातांक के नियमों का प्रयोग करके हम आसानी से घातांक को हल कर सकते हैं।
घातांक के नियम के अंतर्गत हम इसके छः नियमों कि विस्तारपूर्वक चर्चा करेंगे और कुछ उदाहरण कि सहायता से इन्हें समझने का प्रयास करेंगे।

घातांक के नियम – 
घातांक के कुछ प्रमुख नियम निम्नांकित है –
(A) a^m × aⁿ = a^m+n
(B) a^m ÷ aⁿ = a^m−n
(C) (a^m)ⁿ = a^mn
(D) a⁰ = 1
(E) a^m × b^m = (ab)^m
(F) a^m ÷ b^m = (a ÷ b)^m  \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{b}^{m}}}}={{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{m}}\)
(G) \(\displaystyle {{a}^{{-m}}}=\frac{1}{{{{a}^{m}}}}\)

अब हम इन सभी नियमों की विस्तार से चर्चा करेंगे।
(i) a^m × aⁿ = a^m+n
इस नियम के अनुसार यदि किसी दी गई संख्यों के आधार समान हो तथा उन संख्याओं के बीच गुणा का चिह्न होता है तो घातों को जोड़ दिया जाता है।
उदाहरण – 
(i) 7² × 7³
= 7^{2 + 3}
= 7⁵

(ii) (125)¹² × (125)15
= 125^{12 + 15}
= 125²⁷

(ii) a^m ÷ aⁿ = a^m−n
इस नियम के अनुसार यदि किसी दी गई संख्यों के आधार समान हो तथा उन संख्याओं के बीच भाग का चिह्न होता है तो घातों को घटा दिया जाता है।
उदाहरण –
(i) 10¹² ÷ 10⁴
= 10¹²⁻⁴
= 108

(ii) 15⁷ ÷ 15⁹
= 15⁷⁻⁹
= 15⁻²

(iii) (a^m)ⁿ = a^mn
इस नियम के अनुसार यदि किसी दी गई संख्या घात के ऊपर घात हो तो घातों को गुणा कर दिया जाता है।
उदाहरण –
(i) (5²)³
= 5^2×3
= 5⁶

(ii) \(\displaystyle {{\left\{ {{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}}^{6}}} \right\}}^{3}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}={{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{{6\times 3}}}\\={{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{{18}}}\end{array}\)

(iv) a⁰ = 1
यदि किसी संख्या की घात 0 हो तो उसका मान हमेशा 1 होता है।
उदाहरण –
(i) 5⁰
= 1

(ii) (2563 + 587)⁰
= (3150)⁰
= 1

(iii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{2}{5}\times \frac{7}{5}} \right)}^{0}}\)
\(\displaystyle ={{\left( {\frac{{14}}{{25}}} \right)}^{0}}\)
= 1

(E) a^m × b^m = (ab)^m
घातांक के इ÷स नियम के अनुसार यदि संख्या के आधार अलग-अलग हो किन्तु घातें समान हो तो आधार को गुणा करके गुणनफल पर वही घात लगा दी जाती है।
उदाहरण – 
(i) 7⁵ × 6⁵
= (7 × 6)⁵
= (42)⁵

(ii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{2}{7}} \right)}^{9}}\times {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^{9}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}={{\left( {\frac{2}{7}\times \frac{8}{3}} \right)}^{9}}\\={{\left( {\frac{{16}}{{21}}} \right)}^{9}}\end{array}\)

(F) a^m ÷ b^m = (a ÷ b)^m  \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{b}^{m}}}}={{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{m}}\)
घातांक के इस नियम के अनुसार यदि संख्या के आधार अलग-अलग हो किन्तु घातें समान हो तो आधार को भाग करके भागफल पर वही घात लगा दी जाती है।
उदाहरण – 
(i) 5² ÷ 4²
= (5 ÷ 4)²

(G) \(\displaystyle {{a}^{{-m}}}=\frac{1}{{{{a}^{m}}}}\)
इस नियम में ऋणात्मक घात वाली संख्या स्वयं की गुणात्मक प्रतिलोम में बदल जाती है।
उदाहरण – 
(i) 7−5
\(\displaystyle =\frac{1}{{{{7}^{5}}}}\)

(ii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{{-2}}{5}} \right)}^{{-5}}}\)
\(\displaystyle ={{\left( {\frac{5}{{-2}}} \right)}^{5}}\)