NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System | एनसीइआरटी कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 1 संख्या पद्धति class 9th maths

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System

class 9th maths Exercise 1 Number System
प्रश्नावली 1 संख्या पद्धति
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System

Exercise 1.1 प्रश्नावली 1.1

1. क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप \(\displaystyle \frac{p}{q}\) के रूप में लिख सकते है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है?
हल : हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या हैं और इस \(\displaystyle \frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे : \(\displaystyle \frac{0}{5},\,\,\frac{0}{{10}},\,\,\frac{0}{1}\) आदि।

2. 3 और 4 के बीच छः परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : संख्या 3 और 4 को संख्या 7 (6 + 1) से गुणा और भाग करने पर –
जैसे – 
\(\displaystyle 3\times \frac{8}{8}=\frac{{24}}{8}\)
\(\displaystyle 4\times \frac{8}{8}=\frac{{32}}{8}\)
अतः 3 और 4 के बीच छः परिमेय संख्या \(\displaystyle \frac{{25}}{8},\,\,\frac{{26}}{8},\,\,\frac{{27}}{8},\,\,\frac{{28}}{8},\,\,\frac{{29}}{8},\,\,\frac{{30}}{8}\) होगी।

3. \(\displaystyle \frac{3}{5}\) और \(\displaystyle \frac{4}{5}\) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल : दोनों परिमेय संख्याओं के हर समान है अतः दोनों को संख्या 6 (5 + 1) से गुणा एवं भाग करने पर –
\(\displaystyle \frac{3}{5}\times \frac{6}{6}=\frac{{18}}{{24}}\)
\(\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{6}{6}=\frac{{24}}{{30}}\)
अतः \(\displaystyle \frac{3}{5}\) और \(\displaystyle \frac{4}{5}\) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ \(\displaystyle \frac{{19}}{{30}},\,\,\frac{{20}}{{30}},\,\,\frac{{21}}{{30}},\,\,\frac{{22}}{{30}},\,\,\frac{{23}}{{30}}\) होगी।

4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिये।

  (a) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
  (b) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
  (c) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

हल : 
(a) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
यह कथन सत्य है, क्योंकि प्राकृत संख्या 1 से प्रारम्भ होकर अनंत तक चलती है जबकि पूर्ण संख्या 0 से प्रारम्भ होती है जो अनंत तक चलती है। अतः पूर्ण संख्याओं में ही प्राकृत संख्या होती है।

(b) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
यह कथन असत्य है, क्योंकि पूर्णांक संख्याएँ 0 से प्रारम्भ होकर संख्या रेखा में दोनों ओर अनंत तक जाती है जबकि पूर्ण संख्या 0 से प्रारम्भ होती है जो अनंत तक चलती है। अतः सभी पूर्ण संख्याओं में पूर्णांक संख्याएँ नहीं होती है।

(c) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
यह कथन असत्य है, क्योंकि पूर्ण संख्या में भिन्न नहीं होता, जबकि परिमेय संख्याओं में भिन्न एवं दशमलव संख्याएँ भी होती हैं। जैसे \(\displaystyle \frac{1}{2}\) एक परिमेय संख्या है, लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है।

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प्रश्नावली 1 संख्या पद्धति
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Exercise 1.2 प्रश्नावली 1.2

1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।

  (i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
  (ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु \(\displaystyle \sqrt{m}\) के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
  (iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

हल : 
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
यह कथन सत्य है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं का संग्रह परिमेय ओर अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना होता है अतः प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है।

(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु \(\displaystyle \sqrt{m}\) के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
यह कथन असत्य है, यदि m एक प्राकृत संख्या है तो संख्या रेखा पर केवल \(\displaystyle \sqrt{1}\) , \(\displaystyle \sqrt{2}\) , \(\displaystyle \sqrt{3}\) . . . . . बिन्दु ही स्थित होने चाहिए जबकि संख्या रेखा पर दो क्रमिक संख्याओं के मध्य अनंत संख्याएँ होती हैं। 

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
यह कथन असत्य है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं के संग्रह में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं। अतः प्रत्येक वास्तविक संख्या का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है।

2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
हल : नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं।
उदाहरण : \(\displaystyle \sqrt{25}\) = 5, जो एक परिमेय संख्या है।

3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर \(\displaystyle \sqrt{5}\) को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।
हल : 
हम जानते हैं कि –
5 = 4 + 1
\(\displaystyle {{\left( {\sqrt{5}} \right)}^{2}}\) = 22 + 12
\(\displaystyle \sqrt{5}=\sqrt{{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}\)
सबसे पहले एक संख्या रेखा खींच लेंगें।
संख्या रेखा पर OA = 2 मात्रक लेते हैं।
∠OAM = 90° बनाते हैं तथा AM से AB = 1 मात्रक काटते हैं।
OB को मिलाते हैं।
इसके पश्चात् समकोण ΔOAB में पाइथागोरस प्रमेय से –
OB2 = OA2 + AB2
OB2 = (2)2 + (1)2
OB2 = 4 + 1
OB2 = 5
OB = \(\displaystyle \sqrt{5}\) मात्रक
O को केंद्र लेकर OB त्रिज्या से एक चाप काटते हैं, जो संख्या रेखा को P पर काटता है।
अतः OB = OP = \(\displaystyle \sqrt{5}\) मात्रक है। 
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Exercise 1.3 प्रश्नावली 1.3

1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है :

(i) \(\displaystyle \frac{36}{100}\) (ii) \(\displaystyle \frac{1}{11}\) (iii) \(\displaystyle 4\frac{1}{8}\)
(iv) \(\displaystyle \frac{3}{13}\) (v) \(\displaystyle \frac{2}{11}\) (vi) \(\displaystyle \frac{329}{400}\)

हल : 
(i) \(\displaystyle \frac{36}{100}\)
\(\displaystyle 100\overset{{0.36}}{\overline{\left){\begin{array}{l}360\\\underline{{300}}\\\,\,\,600\\\,\,\,\underline{{600}}\\\,\,\,\,\,\,0\end{array}}\right.}}\)
36 में 100 का भाग देने पर भागफल 0.36 और शेषफल 0 प्राप्त होता है।
अतः \(\displaystyle \frac{36}{100}\) का दशमलव प्रसार 0.36 सांत है।

(ii) \(\displaystyle \frac{1}{11}\)
\(\displaystyle 11\overset{{0.090909…}}{\overline{\left){\begin{array}{l}1.0000\,\,\,\,\,\\\underline{{\,\,99}}\\\,\,\,\,100\\\,\,\,\,\underline{{\,\,99}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,100\\\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,\,\,99}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\end{array}}\right.}}\)
1 में 11 का भाग देने पर भाग समाप्त नहीं होता है और बार-बार शेषफल 1 प्राप्त होता है।
अतः \(\displaystyle \frac{1}{11}\) का दशमलव प्रसार \(\displaystyle 0.\overline{{09}}\) अनवसानी है एवं आवर्ती है।

(iii) \(\displaystyle 4\frac{1}{8}\)
मिश्र भिन्न \(\displaystyle 4\frac{1}{8}\) को सरल भिन्न में बदलने पर \(\displaystyle \frac{{33}}{8}\) प्राप्त होते हैं।
\(\displaystyle 8\overset{{4.125}}{\overline{\left){\begin{array}{l}33\,\,\,\,\\\underline{{32}}\\\,\,\,10\\\,\,\,\underline{{\,\,8}}\\\,\,\,\,\,20\\\,\,\,\,\underline{{\,16}}\\\,\,\,\,\,\,\,40\\\,\,\,\,\,\,\,\underline{{40}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\end{array}}\right.}}\)
33 में 8 का भाग देने पर शेषफल शून्य आता है।
अतः \(\displaystyle 4\frac{1}{8}\) का दशमलव प्रसार 4.125 सांत है।

(iv) \(\displaystyle \frac{3}{13}\)
\(\displaystyle 13\overset{{0.2307692…}}{\overline{\left){\begin{array}{l}3.0\\\underline{{26}}\\\,\,\,40\\\,\,\underline{{\,39}}\\\,\,\,\,\,\,100\\\,\,\,\,\,\,\underline{{\,\,91}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,90\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,78}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,120\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{117}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,30\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{26}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\end{array}}\right.}}\)
3 में 13 का भाग देने पर भाग समाप्त नहीं होता तथा भागफल की पुनरावृति होती है।
अतः \(\displaystyle \frac{3}{13}\) का दशमलव प्रसार \(\displaystyle 0.\overline{{230769}}\) अनवसानी एवं आवर्ती है।

(v) \(\displaystyle \frac{2}{11}\)
\(\displaystyle 11\overset{{0.1818…}}{\overline{\left){\begin{array}{l}2.0\,\,\,\,\,\,\\\underline{{\,11}}\\\,\,90\\\,\,\underline{{88}}\\\,\,\,\,20\\\,\,\,\,\underline{{11}}\\\,\,\,\,\,90\\\,\,\,\,\,\underline{{88}}\\\,\,\,\,\,\,\,20\\\,\,\,\,\,\,\underline{{\,11}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\\\,\,\,\,\,\,\,\end{array}}\right.}}\)
2 में 11 का भाग देने पर भाग समाप्त नहीं होता तथा भागफल की पुनरावृति होती है।
अतः \(\displaystyle \frac{2}{11}\) का दशमलव प्रसार \(\displaystyle 0.\overline{{18}}\) अनवसानी एवं आवर्ती है।

(vi) \(\displaystyle \frac{329}{400}\)
\(\displaystyle 400\overset{{0.8225}}{\overline{\left){\begin{array}{l}329.0\\\underline{{3200}}\\\,\,\,900\\\,\,\,\underline{{800}}\\\,\,\,1000\\\,\,\,\,\,\underline{{800}}\\\,\,\,\,\,2000\\\,\,\,\,\,\underline{{2000}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\end{array}}\right.}}\)
329 में 400 का भाग देने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है।
अतः \(\displaystyle \frac{329}{400}\) का दशमलव प्रसार 0.8225 सांत है।

2. आप जानते हैं कि \(\displaystyle \frac{1}{7}=0.\overline{{142857}}\) है। वास्तव में, लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि \(\displaystyle \frac{2}{7}\) , \(\displaystyle \frac{3}{7}\) , \(\displaystyle \frac{4}{7}\) , \(\displaystyle \frac{5}{7}\) , \(\displaystyle \frac{6}{7}\) के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे?
हल :
हाँ बिना भाग दिए हम उपर्युक्त संख्या के दशमलव प्रसार को निम्न प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं।

चूँकि हम जानतें हैं कि \(\displaystyle \frac{1}{7}=0.\overline{{142857}}\)
अतः 
\(\displaystyle \frac{2}{7}=2\times \frac{1}{7}=2\times 0.\overline{{142857}}=0.\overline{{285714}}\)
\(\displaystyle \frac{3}{7}=3\times \frac{1}{7}=3\times 0.\overline{{142857}}=0.\overline{{428571}}\)
\(\displaystyle \frac{4}{7}=4\times \frac{1}{7}=4\times 0.\overline{{142857}}=0.\overline{{571428}}\)
\(\displaystyle \frac{5}{7}=5\times \frac{1}{7}=5\times 0.\overline{{142857}}=0.\overline{{714285}}\)
\(\displaystyle \frac{6}{7}=6\times \frac{1}{7}=6\times 0.\overline{{142857}}=0.\overline{{857142}}\)

3. निम्नलिखित को \(\displaystyle \frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है :

(i) \(\displaystyle 0.\overline{6}\) (ii) 0.47 (iii) 0.001

हल :
(i) \(\displaystyle 0.\overline{6}\)
माना \(\displaystyle 0.\overline{6}\) = x
x = \(\displaystyle 0.\overline{6}\) 
x = 0.666 . . .     _____ (1)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर –
10x = 6.666 . . . _____ (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर –
9x = 6
\(\displaystyle x=\frac{6}{9}\)
\(\displaystyle x=\frac{2}{3}\)
अतः \(\displaystyle 0.\overline{6}=\frac{2}{3}\)

(ii) \(\displaystyle 0.4\overline{7}\)
मानाकि \(\displaystyle 0.4\overline{7}\) = x
x = \(\displaystyle 0.4\overline{7}\)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर –
10x = 4.777 . . .      ________ (1)
दोनों पक्षों को पुनः 10 से गुणा करने पर –
100x = 47.777 . . .   _______ (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर –
90x = 43
\(\displaystyle x=\frac{43}{90}\)
अतः \(\displaystyle 0.4\overline{7}=\frac{43}{90}\)

(iii) \(\displaystyle 0.\overline{001}\)
मानाकि \(\displaystyle 0.\overline{001}\) = x
x = 0.001001001 . . .    _______ (1)
दोनों पक्षों को 1000 से गुणा करने पर –
1000x = 1.001001001    _____ (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर –
999x = 1
\(\displaystyle x=\frac{1}{999}\)
अतः \(\displaystyle 0.\overline{{001}}=\frac{1}{{999}}\)

4. 0.99999 . . . को के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्चकित है?
अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल : 
मानाकि x = 0.99999 . . .    ______ (1)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर –
10x = 9.9999 . . .         _________ (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर –
9x = 9
x = 1
0.9999 . . . = 1

5. \(\displaystyle \frac{1}{{17}}\) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए।
हल : 1 को 17 से विभाजित करने पर 1 से 16 तक की कोई भी संख्या शेषफल के रूप  में प्राप्त हो सकती है। इसके बाद अंकों की पुनरावृत्ति अवश्य होगी।
\(\displaystyle \begin{array}{l}17\overset{{0.0588235294117647}}{\overline{\left){{1.0000000000000000}}\right.}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,\,85}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,150\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{136}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,140\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,136}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,40\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,34}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,60\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,51}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,90\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{85}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,50\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,34}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,160\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,153}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,70\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,68}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,17}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,30\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,17}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,130\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,119}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,110\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,102}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,80\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,68}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,120\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline{{\,119}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\end{array}\)
अतः \(\displaystyle \frac{1}{{17}}\) के दशमलव प्रसार के पुनरावृत्ति खंड में अधिकतम अंक 16 होंगें।
∴ \(\displaystyle \frac{1}{{17}}\) = 0.0588235294117647 . . . 
अतः \(\displaystyle \frac{1}{{17}}\) = \(\displaystyle 0.\overline{{0588235294117647}}\)

6. \(\displaystyle \frac{1}{{17}}\) (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?
हल :
परिमेय संख्याओं का \(\displaystyle \frac{1}{{17}}\) के रूप में दशमलव प्रसार सांत तभी होगा जब p में q का भाग देने पर शेषफल शून्य प्राप्त होगा जबकि p और q में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।

किसी भाज्य में भाजक का भाग देने पर शेषफल शून्य तभी आएगा जब –

  • भाजक 2 या 2 की कोई घात हो।
  • भाजक 5 या 5 की कोई घात हो।
  • भाजक 2 की किसी घात और 5 की किसी घात का गुणनफल हो।

अतः q को 2 अथवा 5 अथवा इनकी किसी घात के बराबर होना चाहिए अथवा 2 की किसी घात और 5 की किसी घात के गुणन के बराबर होना चाहिए।
अर्थात q = 2m × 5n
जहाँ m और n पूर्ण संख्याएँ हैं।

7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
हल : सभी अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार अनवसनी अनावर्ती होते हैं।
जैसे : √2, √3, √5, √7 आदि।

8. परिमेय संख्याओं \(\displaystyle \frac{5}{{7}}\) और \(\displaystyle \frac{9}{{11}}\) के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
\(\displaystyle \frac{5}{{7}}\) का दशमलव प्रसार = \(\displaystyle 0.\overline{{714285}}\)
\(\displaystyle \frac{9}{{11}}\) का दशमलव प्रसार = \(\displaystyle 0.\overline{{81}}\)
अतः परिमेय संख्याएँ \(\displaystyle \frac{5}{{7}}\) और \(\displaystyle \frac{9}{{11}}\) के बीच की तीन अपरिमेय संख्याएँ –
0.73073007300073000 . . . , 0.750750075000750000 . . ., 0.790790079000790000 . . .

9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं :

(i) \(\displaystyle \sqrt{{23}}\) (ii) \(\displaystyle \sqrt{{225}}\) (iii) 0.3796
(iv) 7.478478 . . . (v) 1.101001000100001 . . .  

हल : 
(i) \(\displaystyle \sqrt{{23}}\)
\(\displaystyle \sqrt{{23}}\) = 4.79583
\(\displaystyle \sqrt{{23}}\) का दशमलव प्रसार अनवसानी एवं अनावर्ती है।
अतः \(\displaystyle \sqrt{{23}}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) \(\displaystyle \sqrt{{225}}\)
\(\displaystyle \sqrt{{225}}\) = 15
संख्या 15 एक प्राकृत संख्या है।
अतः \(\displaystyle \sqrt{{225}}\) एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796
0.3796 का दशमलव प्रसार सांत है।
अतः संख्या 0.3796 एक परिमेय संख्या है।

(iv) 1.101001000100001 . . .
1.101001000100001 . . . का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।
अतः संख्या 1.101001000100001 . . . एक अपरिमेय संख्या है।

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प्रश्नावली 1 संख्या पद्धति
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Exercise 1.4 प्रश्नावली 1.4

1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिए।
हल : सर्वप्रथम 3 और 4 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं तथा इसे 10 बराबर भागों में विभाजित कर लेते हैं।
दी गई संख्या 3.765 जो कि 3.7 और 3.8 के मध्य स्थित है।
अतः 3.7 और 3.8 के मध्य अन्तराल को भी 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं तथा इसका आवर्धन करते हैं।
दी गई संख्या 3.765 जो कि 3.76 और 3.78 के मध्य स्थित है।
अतः 3.76 और 3.77 के मध्य अंतराल का आवर्धन करते हैं तथा इसे भी 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
इस के आवर्धन में 3.765 पाँचवे भाग है।
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Exercise 1.5 प्रश्नावली 1.5

1. बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं :

(i) \(\displaystyle 2-\sqrt{5}\) (ii) \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{{23}}} \right)-\sqrt{{23}}\) (iii) \(\displaystyle \frac{{2\sqrt{7}}}{{2\sqrt{7}}}\)
(iv) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\) (v) 2π  

हल : 
(i) \(\displaystyle 2-\sqrt{5}\)
चूँकि हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या है और \(\displaystyle \sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हम जानते हैं कि एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का अन्तर एक अपरिमेय संख्या होता है।
अतः \(\displaystyle 2-\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{{23}}} \right)-\sqrt{{23}}\)
= \(\displaystyle 3+\sqrt{{23}}-\sqrt{{23}}\)
= 3
अतः \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{{23}}} \right)-\sqrt{{23}}\) एक परिमेय संख्या है।

(iii) \(\displaystyle \frac{{2\sqrt{7}}}{{2\sqrt{7}}}\)
\(\displaystyle \frac{{2\sqrt{7}}}{{2\sqrt{7}}}\) = \(\displaystyle \frac{2}{7}\)
अतः \(\displaystyle \frac{{2\sqrt{7}}}{{2\sqrt{7}}}\) एक परिमेय संख्या है।

(iv) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\)
हम जानते हैं कि 1 एक परिमेय संख्या है तथा \(\displaystyle \sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हम ये भी जानते हैं कि एक परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से भाग देने पर एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।
अतः \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(v) 2π
हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या है एवं π एक अपरिमेय संख्या है।
हम ये भी जानते हैं कि एक परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।
अतः 2π एक अपरिमेय संख्या है।

2. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए :

(i) \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{3}} \right)\left( {2+\sqrt{2}} \right)\) (ii) \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{3}} \right)\left( {3-\sqrt{3}} \right)\)
(iii) \(\displaystyle {{\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)}^{2}}\) (iv) \(\displaystyle \left( {\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)\)

हल : 
(i) \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{3}} \right)\left( {2+\sqrt{2}} \right)\)
= \(\displaystyle 3\times \left( {2+\sqrt{2}} \right)+\sqrt{3}\times \left( {2+\sqrt{2}} \right)\)
= \(\displaystyle 3\times 2+3\times \sqrt{2}+\sqrt{3}\times 2+\sqrt{3}\times \sqrt{2}\)
= \(\displaystyle 6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}\)

(ii) \(\displaystyle \left( {3+\sqrt{3}} \right)\left( {3-\sqrt{3}} \right)\)
= \(\displaystyle 3\times 3-3\times \sqrt{3}+\sqrt{3}\times 3-\sqrt{3}\times \sqrt{3}\)
= \(\displaystyle 9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\)
= 9 − 3
= 6

(iii) \(\displaystyle {{\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)}^{2}}\)
= \(\displaystyle {{\left( {\sqrt{5}} \right)}^{2}}+2\times \sqrt{5}\times \sqrt{2}+{{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{2}}\)
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= \(\displaystyle 5+2\sqrt{{10}}+2\)
= \(\displaystyle 7+2\sqrt{{10}}\)

(iv) \(\displaystyle \left( {\sqrt{5}-\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{5}+\sqrt{2}} \right)\)
= \(\displaystyle {{\left( {\sqrt{5}} \right)}^{2}}-{{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{2}}\)
[∵ (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b)]
= 5 − 2
= 3

3. आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात \(\displaystyle \pi =\frac{c}{d}\) है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System | एनसीइआरटी कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 1 संख्या पद्धति class 9th maths
c और d को किसी पैमाने से मापने पर हमें केवल सन्निकट माप प्राप्त होती है जिससे यह पता नहीं चल पता कि c या d परिमेय संख्याएँ हैं या अपरिमेय संख्याएँ हैं। इसी कारन हमें c और d को परिमेय संख्याएँ समझने का भ्रम उत्पन्न होता है और हम c और d के अनुपात π को परिमेय संख्या समझने की ओर अग्रसर होते है जिससे अन्तर्विरोध उत्पन्न होता है। वास्तव में π के अपरिमेय होने में कोई अन्तर्विरोध नहीं है।

4. संख्या रेखा पर को निरूपित कीजिए।

5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए :

(i) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}}}\) (ii) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\) (iii) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}\) (iv) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}-2}}\)

हल : 
(i) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}}}\)
यहाँ पर अपरिमेय संख्या \(\displaystyle \sqrt{7}\) हर में दी गई है।
अतः \(\displaystyle \sqrt{7}\) से अंश और हर से गुणा करने पर –
= \(\displaystyle \frac{{1\times \sqrt{7}}}{{\sqrt{7}\times \sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}\)

(ii) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\)
यहाँ पर अपरिमेय संख्या \(\displaystyle \left( {\sqrt{7}-\sqrt{6}} \right)\) हर में दी गई है।
अतः इसका परिमेयकारी गुणक \(\displaystyle \left( {\sqrt{7}+\sqrt{6}} \right)\) है।
अतः \(\displaystyle \left( {\sqrt{7}+\sqrt{6}} \right)\) को अंश और हर से गुणा करने पर –
= \(\displaystyle \frac{1}{{\left( {\sqrt{7}-\sqrt{6}} \right)}}\times \frac{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{{{{{\left( {\sqrt{7}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {\sqrt{6}} \right)}}^{2}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{{7-6}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{1}\)
= \(\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{6}\)

(iii) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}\)
यहाँ पर अपरिमेय संख्या \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{2}\) हर में दी गई है।
अतः परिमेयकारी गुणक \(\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{2}\) है।
अतः \(\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{2}\) को अंश और हर से गुणा करने पर –
= \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}\times \frac{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}{{{{{\left( {\sqrt{5}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}{{5-2}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}{3}\)

(iv) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}-2}}\)
यहाँ परिमेय संख्या \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}-2}}\) हर में दी गई है।
अतः इसका परिमेयकारी गुणक \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}+2}}\) है।
अतः \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}+2}}\) को अंश और हर से गुणा करने पर –
= \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{7}-2}}\times \frac{{\sqrt{7}+2}}{{\sqrt{7}+2}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{7}+2}}{{{{{\left( {\sqrt{7}} \right)}}^{2}}-{{{\left( 2 \right)}}^{2}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{7}+2}}{{7-4}}\)
= \(\displaystyle \frac{{\sqrt{7}+2}}{3}\)

NCERT Solutions for class 9th maths Exercise 1 Number System
प्रश्नावली 1 संख्या पद्धति
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number System

Exercise 1.6 प्रश्नावली 1.6

1. ज्ञात कीजिए :

(i) \(\displaystyle {{64}^{{\frac{1}{2}}}}\) (ii) \(\displaystyle {{32}^{{\frac{1}{5}}}}\) (iii) \(\displaystyle {{125}^{{\frac{1}{3}}}}\)

हल : 
(i) \(\displaystyle {{64}^{{\frac{1}{2}}}}\)
64 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
= \(\displaystyle {{(2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2)}^{{\frac{1}{2}}}}\)
= \(\displaystyle {{({{2}^{6}})}^{{\frac{1}{2}}}}\)
= \(\displaystyle {{(2)}^{{6\times \frac{1}{2}}}}\)
= (2)3
= 8

(ii) \(\displaystyle {{32}^{{\frac{1}{5}}}}\)
32 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
= \(\displaystyle {{(2\times 2\times 2\times 2\times 2)}^{{\frac{1}{5}}}}\)
= \(\displaystyle {{({{2}^{5}})}^{{\frac{1}{5}}}}\)
= \(\displaystyle {{(2)}^{{5\times \frac{1}{5}}}}\)
= (2)1
= 2

(iii) \(\displaystyle {{125}^{{\frac{1}{3}}}}\)
125 के अभाज्य गुणनखंड करने पर –
= \(\displaystyle {{(5\times 5\times 5)}^{{\frac{1}{3}}}}\)
= \(\displaystyle {{({{5}^{3}})}^{{\frac{1}{3}}}}\)
= \(\displaystyle {{(5)}^{{3\times \frac{1}{3}}}}\)
= 51
= 5

2. ज्ञात कीजिए :

(i) \(\displaystyle {{9}^{{\frac{3}{2}}}}\) (ii) \(\displaystyle {{32}^{{\frac{2}{5}}}}\) (iii) \(\displaystyle {{16}^{{\frac{3}{4}}}}\) (iv) \(\displaystyle {{125}^{{\frac{{-1}}{3}}}}\)

हल : 
(i) \(\displaystyle {{9}^{{\frac{3}{2}}}}\)
= \(\displaystyle {{(3\times 3)}^{{\frac{3}{2}}}}\)
= \(\displaystyle {{({{3}^{2}})}^{{\frac{3}{2}}}}\)
= \(\displaystyle {{(3)}^{{2\times \frac{3}{2}}}}\)
= 33
= 27

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