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# NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities | कक्षा 8 गणित अध्याय 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ class 8th maths

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# NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths

## NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths Ex 9.1  प्रश्नावली 9.1

प्रश्नावली 9.1

1. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए :

 (i) 5xyz2 − 3zy (ii) 1 + x + x2 (iii) 4x2y2 − 4x2y2z2 + z2 (iv) 3 − pq + qr − rp (v) $$\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-xy$$ (vi) 0.3a − 0.6ab + 0.5b

हल :

 पद गुणांक (i) 5xyz2 − 3zy इस व्यंजक में दो पद हैं 5xyz2 और 3zy 5 और − 3 (ii) 1 + x + x2 इस व्यंजक में दो पद हैं 1, x और x2 1, 1 और 1 (iii) 4x2y2 − 4x2y2z2 + z2 इस व्यंजक में तीन पद हैं 4x2y2 , − 4x2y2z2 और z2 4, − 4 और 1 (vi) 3 − pq + qr – rp इस व्यंजक में चार पद हैं  3, − pq, qr और − rp 3, − 1, 1 और − 1 (v) $$\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-xy$$ इस व्यंजक में तीन पद हैं $$\displaystyle \frac{x}{2}$$ , $$\displaystyle \frac{y}{2}$$ और − xy $$\displaystyle \frac{1}{2}$$ , $$\displaystyle \frac{1}{2}$$ और − 1 (vi) 0.3a − 0.6ab + 0.5b इस व्यंजक में तीन पद हैं  0.3, − 0.6ab और 0.5b 0.3, − 0.6 और 0.5

2. निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपदी एवं त्रिपदी के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?
x + y, 1000, x + x2 + x3, 7 + y + 5x, 2y − 3y2, 2y − 3y2 + 4y3, 5x − 4y + 3xy, 4z − 15z2, ab + bc + cd + da, pqr, p2q, 2p + 2q
हल :
एकपदी :- 1000, pqr
द्विपदी :- x + y, 2y − 3y2, 4z − 15z2, p2q + pq2, 2p + 2q
त्रिपदी :- 7 + y + 5x, 2y − 3y2 + 4y3, 5x − 4y + 3xy
वे बहुपद जो इन तीनों श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है :- x + x2 + x3 + x4, ab + bc + cd + da

3. निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :

 (i) ab − bc, bc − ca, ca − ab (ii) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ac (iii) 2p2q2 − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p2q2 (iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl

हल :
(i) ab − bc, bc − ca, ca − ab
समान पदों को एक साथ लिखने पर –
= ab − bc + bc − ca + ca − ab
= ab − ab + bc − bc + ca − ca
= 0

(ii) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ac
= a − b + ab + b − c + bc + c − a + ac
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर –
= a − a + b − b + c − c + ab + bc + ac
सजातीय धनात्मक एवं ऋणात्मक पद एक-दूसरे के घटाने पर –
= ab + bc + ac

(iii) 2p2q2 − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p2q2
= 2p2q2 − 3pq + 4 + 5 + 7pq − 3p2q2

सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 2p2q2 − 3p2q2 + 7pq − 3pq + 4 + 5
= − p2q2 + 4pq + 9

(iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl
= l2 + m2 + m2 + n2 + n2 + l2 + 2lm + 2mn + 2nl
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर –
= l2 + l2 + m2 + m2 + n2 + n2 + 2lm + 2mn + 2nl
= 2l2 + 2m2 + 2n2 + 2lm + 2mn + 2nl
= 2(l2 + m2 + n2 + lm + mn + nl)

4. (a) 12a − 9ab + 5b − 3 में से 4a − 7ab + 3b + 12 घटाइये।
(b) 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz − 7zx को घटाइये।
(c) 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq2 + 5p2q में से 4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10 को घटाइए।
हल :
(a) 12a − 9ab + 5b − 3 में से 4a − 7ab + 3b + 12 घटाइये।
= 12a − 9ab + 5b − 3 − (4a − 7ab + 3b + 12)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 12a − 9ab + 5b − 3 − 4a + 7ab − 3b − 12  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 12a − 4a + 5b − 3b + 7ab − 9ab − 4 − 12
= 8a + 2b − 2ab − 16

(b) 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz − 7zx को घटाइये।
= 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz − (3xy + 5yz − 7zx)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz − 3xy − 5yz + 7zx  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 5xy − 3xy − 2yz − 5yz + 7zx − 2zx + 10xyz
= 2xy − 7yz + 5zx + 10xyz

(c) 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq2 + 5p2q में से 4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10 को घटाइए।
= 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq2 + 5p2q − (4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 18 − 3p − 11q + 5pq − 2pq2 + 5p2q − 4p2q + 3pq − 5pq2 + 8p − 7q + 10)  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= − 3p + 8p − 11q − 7q + 5pq + 3pq − 2pq2 − 5pq2 + 5p2q − 4p2q
= 5p − 18q + 8pq − 7pq2 + p2q

## NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths Ex 9.2  प्रश्नावली 9.2

1. निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए :

 (i) 4, 7p (ii) − 4p, 7p (iii) − 4p, 7pq (iv) 4p3, − 3p (v) 4p, 0

हल :
(i) 4, 7p
= 4 × 7p
= 28p

(ii)  − 4p, 7p
= − 4p × 7p
= − 28p2

(iii) − 4p, 7pq
= − 4p × 7pq
= − 28p2q

(iv) 4p3, − 3p
= 4p3 × − 3p
= − 12p4

(v) 4p, 0
= 4p × 0
= 0

2. निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लम्बाई एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(p, q); (10m, 5n); (20x2, 5y2); (4x, 3x2); (3mn, 4np)
हल :
(p, q)
लम्बाई = p
चौड़ाई = q
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= p × q
= pq वर्ग इकाई

(10m, 5n)
लम्बाई = 10m
चौड़ाई = 5n
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 10m × 5n
= 50mn वर्ग इकाई

(20x2, 5y2)
लम्बाई = 20x2
चौड़ाई = 5y2
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20x2 × 5y2
= 100x2y2 वर्ग इकाई

(4x, 3x2)
लम्बाई = 4x
चौड़ाई = 3x2
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 4x × 3x2
= 12x3 वर्ग इकाई

(3mn, 4np)
लम्बाई = 3mn
चौड़ाई = 4np
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 3mn × 4np
= 12mn2p वर्ग इकाई

3. गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए :

 प्रथम एकपदी द्वितीय एकपदी 2x − 5y 3x2 − 4xy 7x2y − 9x2y2 2x 4x2 − 5y − 15x2y 3x2 − 4xy 7x2y − 9x2y2

हल :

 प्रथम एकपदी द्वितीय एकपदी 2x − 5y 3x2 − 4xy 7x2y − 9x2y2 2x 4x2 − 10xy 6×3 − 8x2y 14x3y − 18x3y2 − 5y − 10xy 25y2 − 15x2y 20xy2 − 35x2y2 45x2y3 3x2 6x3 − 15x2y 9x4 − 12x3y 21x4y − 27x4y2 − 4xy − 8x2y 20xy2 − 12x3y 16x2y2 − 28x3y2 36x3y3 7x2y 14x3y − 35x2y2 21x4y − 28x3y2 49x4y2 − 63x4y3 − 9x2y2 − 18x3y2 45x2y2 − 27x4y2 36x3y3 − 63x4y3 81x4y4

4. ऐसे घना आकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: निम्नलिखित हैं :

 (i) 5a, 3a2, 7a4 (ii) 2p, 4q, 8r (iii) xy, 2x2y, 2xy2 (iv) a, 2b, 3c

हल :
(i) 5a, 3a2, 7a4
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 5a × 3a2 × 7a4
= 5 × 3 × 7 × a × a2 × a4
= 105a7

(ii) 2p, 4q, 8r
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 2p × 4q × 8r
= 2 × 4 × 8 × p × q × r
= 64pqr

(iii) xy, 2x2y, 2xy2
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= xy × 2x2y × 2xy2
= 1 × 2 × 2 × xy × x2y × xy2
= 4x4y4

(iv) a, 2b, 3c
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= a × 2b × 3c
= 1 × 2 × 3 × a × b × c
= 6abc

5. निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए :

 (i) xy, yz, zx (ii) a, − a2, a3 (iii) 2, 4y, 8y2, 16y3 (iv) a, 2b, 3c, 6abc (v) m, − mn, mnp

हल :
(i) xy, yz, zx
= xy × yz × zx
= x2y2z2

(ii) a, − a2, a
= a × (− a2) × a3
= − a6

(iii) 2, 4y, 8y2, 16y3
= 2 × 4y × 8y2 × 16y3
= 2 × 4 × 8 × 16 × y × y2 × y3
= 1024y3

(iv) a, 2b, 3c, 6abc
= 2 × 3 × a × b × c × abc
= 6a2b2c2

(v) m, − mn, mnp
= m × (− mn) × mnp
= − m2n2p

### NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths Ex 9.3  प्रश्नावली 9.3

1. निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए :

 (i) 4p, q + r (ii) ab, a − b (iii) a + b, 7a2b2 (iv) a2 − 9, 4a (v) pq + qr + rp, 0

हल :
(i) 4p, q + r
= 4p × (q + r)
= 4p × q + 4p × r
= 4pq + 4pr

2. सारणी पूरा कीजिए :

 प्रथम व्यंजक द्वितीय व्यंजक गुणनफल (i) a b + c + d ____ (ii) x + y − 5 5xy ____ (iii) p 6p2 − 7p + 5 ____ (iv) 4p2q2 p2 − q2 ____ (v) a + b + c abc ____

हल :

 प्रथम व्यंजक द्वितीय व्यंजक गुणनफल (i) a b + c + d ab + ac + ad (ii) x + y − 5 5xy 5x2y + 5xy2 − 25xy (iii) p 6p2 − 7p + 5 6p3 − 7p2 + 5p (iv) 4p2q2 p2 − q2 4p4q2 − 4p2q4 (v) a + b + c abc a2bc + ab2c + abc2

(i) a × (b + c + d)
= ab + ac + ad

(ii) (x + y − 5) × 5xy
= 5x2y + 5xy2 − 25xy

(iii) p × (6p2 − 7p + 5)
= 6p3 − 7p2 + 5p

(iv) 4p2q2 × (p2 − q2)
= 4p4q2 − 4p2q4

(v) (a + b + c) × abc
= a2bc + ab2c + abc2

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए :

 (i) (a2) × (2a22) × (4a26) (ii) $$\displaystyle \left( {\frac{2}{3}xy} \right)\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)$$ (iii) $$\displaystyle \left( {-\frac{{10}}{3}p{{q}^{3}}} \right)\times \left( {\frac{6}{5}{{p}^{3}}q} \right)$$ (iv) x × x2 × x3 × x4

हल :
(i) (a2) × (2a22) × (4a26)
= 2 × 4 × a2 × a22 × a26
= 8a50

(ii) $$\displaystyle \left( {\frac{2}{3}xy} \right)\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)$$

$$\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{2}{3}\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}} \right)\left( {xy\times {{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\\=\frac{{-18}}{{30}}{{x}^{3}}{{y}^{3}}\\=\frac{{-3}}{5}{{x}^{3}}{{y}^{3}}\end{array}$$

(iii) $$\displaystyle \left( {-\frac{{10}}{3}p{{q}^{3}}} \right)\times \left( {\frac{6}{5}{{p}^{3}}q} \right)$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}=\left( {-\frac{{10}}{3}} \right)\times \frac{6}{5}\times p{{q}^{3}}\times {{p}^{3}}q\\=-\frac{{60}}{{15}}{{p}^{4}}{{q}^{4}}\\=-4{{p}^{4}}{{q}^{4}}\end{array}$$

(iv) x × x2 × x3 × x4
= x10

4. (a) 3x (4x − 5) + 3 को सरल कीजिए और (i) x = 3 एवं (ii) $$\displaystyle x=\frac{1}{2}$$ के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
(b) a (a2 + a + 1) +5 को सरल कीजिए और (i) a = 0, (ii) a = 1 (iii) a = − 1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) (i) 3x (4x − 5) + 3
= 3x × 4x − 3x × 5 + 3
= 12x2 − 15x + 3 ………………………….. (i)
समी (i) में x = 3 रखने पर –
= 12 × (3)2 − 9 × 5 + 3
= 12 × 9 − 45 + 3
= 108 + 3 − 45
= 111 − 45
= 66

(ii) समी (i) में $$\displaystyle x=\frac{1}{2}$$ रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}=12\times {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2}}-15\times \frac{1}{2}+3\\=12\times \frac{1}{4}-\frac{{15}}{2}+3\\=3-\frac{{15}}{2}+3\\=\frac{{6-15+6}}{2}\\=\frac{{12-15}}{2}\\=\frac{{-3}}{2}\end{array}$$

5. (a) p (pq), q (qr) और r (rp) को जोड़िए।
(b) 2x (zxy) और 2y (zyx) को जोड़िए।
(c) 4l (10n − 3m + 2l ) में से 3l (l − 4m + 5n) को घटाइए।
(d) 4c (− a + b + c ) में से 3a (a + b + c ) − 2b (ab + c) को घटाइए।
हल :
(a) p (pq), q (qr) और r (rp) को जोड़िए।
= p (p − q) + q (qr) + r (rp)
= p2pq + q2qr + r2 − rp
= p2 + q2 + r2pqqrrp

(b) 2x (zxy) और 2y (zyx) को जोड़िए।
= 2x (zxy) + 2y (zyx)
= 2xz − 2x2 − 2xy + 2yz − 2y2 − 2xy
= − 2x2 − 2y2 − 2xy − 2xy + 2yz + 2xz
= − 2x2 − 2y2 − 4xy + 2yz + 2xz

(c) 4l (10n − 3m + 2l ) में से 3l (l − 4m + 5n) को घटाइए।
= 4l (10n − 3m + 2l) − 3l (l − 4m + 5n)
= 4l × 10n − 4l × 3m + 4l + 2l − 3l × l − 3l × (− 4m) − 3l × 5n
= 40ln − 12lm + 8l2 − 3l2 + 12lm − 15ln
= 40ln − 15ln − 12lm + 12lm + 8l2 − 3l2
= 25ln − 0lm + 5l2
= 5l2 + 25ln

(d) 4c (− a + b + c ) में से 3a (a + b + c) − 2b (ab + c) को घटाइए।
= 4c (− a + b + c) − [3a (a + b + c) − 2b (ab + c)]
= − 4ac + 4bc + 4c2 − [3a2 + 3ab + 3ac − 2ab + 2a2 – 2bc]
= − 4ac + 4bc + 4c2 − 3a2 − 3ab − 3ac + 2ab − 2b2 + 2bc
= − 4ac − 3ac + 4bc + 2bc 3ab + 2ab + 4c2 − 3a2 − 2b2
= − 7ac + 6bcab + 4c2 − 3a2 − 2b2
=  − 3a2 − 2b2 + 4c2ab + 6bc − 7ac

## NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths Ex 9.4 प्रश्नावली 9.4

1. द्विपदों को गुणा कीजिए :

 (i) (2x + 5) और (4x − 3) (ii) (y − 8) और (3y − 4) (iii) (2.5l − 0.5m) और (2.5l + 0.5m) (iv) (a + 3b) और (x + 5) (v) (2pq + 3q2) और (3pq − 2q2) (vi) $$\displaystyle \left( {\frac{3}{4}{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}} \right)$$ और $$\displaystyle \left( {{{a}^{2}}-\frac{2}{3}{{b}^{2}}} \right)$$

हल :
(i) (2x + 5) और (4x − 3)
= 2x (4x − 3) + 5 (4x − 3)
= 2x × 4x − 2x × 3 + 5 × 4x − 5 × 3
= 8x2 − 6x + 20x − 15
= 8x2 + 14x − 15

(ii) (y – 8) और (3y − 4)
= y (3y − 4) − 8 (3y − 4)
= y × 3y − y × 4 − 8 × 3y − 8 × (− 4)
= 3y2 − 4y − 24y + 32
= 3y2 − 28y + 32

(iii) (2.5l − 0.5m) और (2.5l + 0.5m)
= 2.5l (2.5l + 0.5m) − 0.5m (2.5l + 0.5m)
= 2.5l × 2.5l + 2.5l × 0.5m – 0.5m × 2.5l − 0.5m × 0.5m
= 2.25l2 + 1.25lm − 1.25lm − 0.25m2
= 2.25l2 − 0.25m2

(iv) (a + 3b) और (x + 5)
= a (x + 5) + 3b (x + 5)
= a × x + a × 5 + 3b × x + 3b × 5
= ax + 5a + 3bx + 15b
= ax + 5a + 3bx + 15b

(v) (2pq + 3q2) और (3pq – 2q2)
= 2pq (3pq − 2q2) + 3q2 (3pq − 2q2)
= 2pq × 3pq − 2q2 × 2pq + 3q2 × 3pq − 3q2 × 2q2
= 2p2q2 − 4pq3 + 9pq3 − 6q4
= 6p2q2 + 5pq3 − 6q4

2. गुणनफल ज्ञात कीजिए :

 (i) (5 − 2x) (3 + x) (ii) (x + 7y) (7x − y) (iii) (a2 + b) (a + b2) (iv) (p2 – q2) (2p + q)

हल :
(i) (5 − 2x) (3 + x)
= 5 × (3 + x) − 2x × (3 + x)
= 15 + 5x − 6x − 2x2
= 15 − x − 2x2

(ii) (x + 7y) (7xy)
= x × (7xy) + 7y × (7xy)
= 7x2xy + 49xy − 7y2
= 7x2 + 48xy − 7y2

(iii) (a2 + b) (a + b2)
= a2 × (a + b2) + b × (a + b2)
= a3 + a2b2 + ab + b2

(iv) (p2 − q2) (2p + q)
= p2 × (2p + q) − q2 × (2p + q)
= 2p3 + p2q − 2pq2 − q3

3. सरल कीजिए :

 (i) (x2 − 5) (x + 5) + 25 (ii) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5 (iii) (t + s2) (t2 − s) (iv) (a + b) (c − d) + (a − b) (c + d) + 2 (ac + bd) (v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x − y) (vi) (x + y) (x2 − xy + y2) (vii) (1.5x − 4y) (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y (viii) (a + b + c) (a + b − c)

हल :
(i) (x2 – 5) (x + 5) + 25
= x2 × (x + 5) − 5 × (x + 5) + 25
= x3 + 5x2 − 5x − 25 + 25
= x3 + 5x2 − 5x

(ii) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5
= a2 × (b3 + 3) + 5 × (b3 + 3) + 5
= a2b3 + 3a2 + 5b3 + 15 + 5
= a2b3 + 3a2 + 5b3 + 20

(iii) (t + s2) (t2 − s)
= t × (t2 − s) + s2 × (t2 − s)
= t3 − st + s2t2 − s3

(iv) (a + b) (c − d) + (a − b) (c + d) + 2 (ac + bd)
= a × (c − d) + b × (c − d) + a × (c + d) − b × (c + d) + 2ac + 2bd
= ac − ad + bc − bd + ac + ad − bc − bd + 2ac + 2bd
= ac + ac + 2ac + bc − bc − bd − bd + 2bd − ad + ad
= 2ac + 2ac − 2bd + 2bd
= 4ac

(v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y)
= x × (2x + y) + y × (2x + y) + x × (x − y) + 2y × (x − y)
= 2x2 + xy + 2xy + y2 + x2 − xy + 2xy − 2y2
= 2x2 + x2 + xy + 2xy − xy + 2xy + y2 − 2y2
= 3x2 + 5xy − xyy2
= 3x2 + 4xyy2

(vii) (1.5x − 4y) (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y
= 1.5x × (1.5x + 4y + 3) − 4y × (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y
= 2.25x2 + 6.0xy + 4.5x – 6.0xy − 16y2 − 12y − 4.5x − 12y
= 2.25x2 + 6.0xy − 6.0xy + 4.5x − 4.5x − 16y2 − 12y − 12y
= 2.25x2 − 16y2

(viii) (a + b + c) (a + b − c)
= a × (a + b − c) + b × (a + b – c)  + c × (a + b − c)
= a2 + ab − ac + ab + b2 − bc + ac + bc − c2
= a2 + ab + ab − ac + ac + b2 − bc + bc − c2
= a2 + 2ab + b2 − c2
= a2 + b2 − c2 + 2ab

## NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths Ex 9.5 प्रश्नावली 9.5

1. निम्नलिखित गुणनफलों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए उचित सर्वसमिका का उपयोग कीजिए :

 (i) (x + 3) (x + 3) (ii) (2y + 5 ) (2y + 5) (iii) (2a – 7) (2a – 7) (iv) (v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4) (vi) (a2 + b2) (− a2 + b2) (vii) (6x – 7) (6x + 7) (viii) (– a + c) (– a + c) (ix) (x) (7a – 9b) (7a – 9b)

हल :
(i) (x + 3) (x + 3)
= (x + 3)2
(सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से – )
= x2 + 2 × x × 3 + 32
= x2 + 6x + 9

(ii) (2y + 5 ) (2y + 5)
= (2y + 5)2
(सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से – )
= (2y)2 + 2 × 2y × 5 + 52
= 4y2 + 20y + 25

(iii) (2a – 7) (2a – 7)
= (2a – 7)2
(सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से – )
= (2a)2 − 2 × 2a × 7 + 72
= 4a2 − 28a + 49

(v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)
= (1.1m)2 − (0.4)2
= (सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से – )
= (1.1m)2 − (0.4)2
= 1.21m2 − 0.16

(vi) (a2 + b2) (− a2 + b2)
= (b2 + a2) (b2a2)
= (b2)2 − (a2)2
= (सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से – )
= b4a4

(vii) (6x – 7) (6x + 7)
= (6x)2 − (7)2
(सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से – )
= 36x2 − 49

(viii) (– a + c) (– a + c)
= (ca) (ca)
= (ca)2
(सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से – )
= c2 − 2 × c × a + a2
= c2 − 2ca + a2

(x) (7a − 9b) (7a – 9b)
= (7a – 9b)2
(सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से – )
= (7a)2 − 2 × 7a × 9b + (9b)2
= 49a2 − 126ab + 81b2

2. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का उपयोग कीजिए :

 (i) (x + 3) (x + 7) (ii) (4x + 5) (4x + 1) (iii) (4x – 5) (4x − 1) (iv) (4x + 5) (4x – 1) (v) (2x + 5y) (2x + 3y) (vi) (2a2 + 9) (2a2 + 5) (vii) (xyz – 4) (xyz – 2)

हल :
(i) (x + 3) (x + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
(x + 3) (x + 7) = x2 + (3 + 7) x + 3 × 7
= x2 + 10x + 21

(ii) (4x + 5) (4x + 1)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
(4x + 5) (4x + 1) = (4x)2 + (5 + 1) 4x + 5 × 1
= 16x2 + 6 × 4x + 5
= 16x2 + 24x + 5

(iii) (4x – 5) (4x – 1) = 16x − 24x + 5
सर्वसमिका (x − a) (x − b) = x2 − (a + b) x + ab से –
(4x – 5) (4x – 1) = (4x)2 − (5 + 1) 4x + 5 × 1
= 16x2 − 6 × 4x + 5
= 16x2 − 24x + 5

(iv) (4x + 5) (4x − 1) = 16x2  − 4x + 20x − 5
सर्वसमिका (x + a) (x − b) = x2 + (a − b) x − ab से –
(4x + 5) (4x – 1) = (4x)2 + (5 − 1) 4x − 5 × 1
= 16x2 + 4 × 4x − 5
= 16x2 + 16x − 5

(v) (2x + 5y) (2x + 3y)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
(2x + 5y) (2x + 3y) = (2x)2 + (5y + 3y) 2x + 5y × 3y
= 4x2 + 8y × 2x + 15y2
= 4x2 + 16xy + 15y2

(vi) (2a2 + 9) (2a2 + 5)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
(2a2 + 9) (2a2 + 5) = (2a2)2 + (9 + 5) 2a2 + 9 × 5
= 4a4 + 14 × 2a2 + 45
= 4a4 + 28a2 + 45

(vii) (xyz – 4) (xyz – 2)
सर्वसमिका (x − a) (x − b) = x2 − (a + b) x + ab से –
(xyz – 4) (xyz – 2) = (xyz)2 − (4 + 2) xyz + 4 × 2
= x2y2z2 − 6xyz + 8

3. सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए :

 (i) (b − 7)2 (ii) (xy + 3z)2 (iii) (6x2 − 5y)2 (iv) (v) (0.4p − 0.5q)2 (iv) (2xy + 5y)2

हल :
(i) (b − 7)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(b − 7)2 = (b)2 − 2 × b × 7 + (7)2
= b2 − 14b + 49

(ii) (xy + 3z)2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
(xy + 3z)2 = (xy)2 + 2 × xy × 3z + (3z)2
= x2y2 + 6xyz + 9z2

(iii) (6x2 − 5y)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(6x2 − 5y)2 = (6x2)2 − 2 × 6x2 × 5y + (5y)2
= 36x4 – 60x2y + 25y2

(v) (0.4p − 0.5q)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(0.4p − 0.5q)2 = (0.4p)2 − 2 × 0.4p × 0.5q + (0.5q)2
= 0.16p2 − 0.4pq + 0.25q2

(iv) (2xy + 5y)2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
(2xy + 5y)2 = (2xy)2 + 2 × 2xy × 5y + (5y)2
= 4x2y2 + 20xy + 25y2

4. सरल कीजिए :

 (i) (a2 − b2)2 (ii) (2x + 5)2 − (2x − 5)2 (iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2 (iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2 (v) (2.5p − 1.5q)2 − (1.5p − 2.5q)2 (vi) (ab + bc)2 − 2ab2c (vii) (m2 − n2m)2 + 2m3n2

हल :
(i) (a2b2)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(a2b2)2 = (a2)2 − 2 × a2 × b2 + (b2)2
= a4 − 2a2b2 + b4

(ii) (2x + 5)2 − (2x − 5)2
(सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से – )
(2x + 5)2 − (2x − 5)2 = (2x + 5 + 2x − 5) {2x + 5 − (2x − 5)}
= 4x (2x + 5 − 2x + 5)
= 4x × 10
= 40x

(iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 एवं सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
= [(7m)2 − 2 × 7m × 8n + (8n)2] + [(7m)2 + 2 × 7m × 8n + (8n)2]

= 49m2 − 112mn + 64n2 + 49m2 + 112mn + 64n2
= 49m2 + 64n2 + 49m2 + 64n2
= 98m2 + 128n2

(iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
= [(4m)2 + 2 × 4m × 5n + (5n)2] + [(5m)2 + 2 × 5m × 4n + (4n)2]
= 16m2 + 40mn + 25n2 + 25m2 + 20mn + 16n2
= 16m2 + 25m2 + 80mn + 25n2 + 16n2
= 41m2 + 80mn + 16n2

(v) (2.5p − 1.5q)2 − (1.5p − 2.5q)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
= [(2.5p)2 − 2 × 2.5p × 1.5q + (1.5q)2] – [(1.5p)2 – 2 × 1.5p × 2.5q + (2.5q)2]
= 6.25p2 − 7.8pq + 2.25q2 − [2.25p2 − 7.8pq + 6.25q2]
= 6.25p2 − 7.8pq + 2.25q2 − 2.25p2 + 7.8pq − 6.25q2
= 6.25p2 − 2.25p2 + 2.25q2 − 6.25q2
= 4p2 − 4q`2

(vi) (ab + bc)2 − 2ab2c
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
= (ab)2 + 2 × ab × bc + (bc)2 − 2ab2c
= a2b2 + 2ab2c + b2c2 − 2ab2c
= a2b2 + b2c2 + 2ab2c − 2ab2c
= a2b2 + b2c2

(vii) (m2n2m)2 + 2m3n2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
= (m2)2 − 2 × m2 × n2m + (n2m)2 + 2m3n2
= m4 − 2m3n2 + n4m2 + 2m3n2
= m4 + n4m2

5. दर्शाइए कि :

 (i) (3x + 7)2 − 84x = (3x − 7)2 (ii) (9p − 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2 (iii) (iv) (4pq + 3q)2 − (4pq − 3q)2 = 48pq2 (v) (a − b) (a + b) + (b − c) (b + c) + (c − a) (c + a) = 0

हल :
(i) (3x + 7)2 − 84x = (3x − 7)2
L.H.S.
(3x + 7)2 − 84x
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
= (3x)2 + 2 × 3x × 7 + 72 − 84x
= 9x2 + 42x + 49 − 84x
= 9x2 − 42x + 49
(चूँकि a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
अतः 9x2 − 42x + 49 = (3x)2 − 2 × 3x × 7 + (7)2
= (3x − 7)2
L.H.S. = R.H.S.

(ii) (9p − 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2
L.H.S.
(9p − 5q)2 + 180pq
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
= (9p)2 − 2 × 9p × 5q + (5q)2 + 180pq
= 81p2 − 90pq + 25q2 + 180pq
= 81p2 + 90pq + 25q2
(चूँकि a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
अतः 81p2 + 90pq + 25q2 = (9p)2 − 2 × 9p × 5q + (5q)2
= (9p + 5q)2
L.H.S. = R.H.S.

(iv) (4pq + 3q)2 − (4pq − 3q)2 = 48pq2
L.H.S.
(4pq + 3q)2 − (4pq − 3q)2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 और सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
= (4pq)2 + 2 × 4pq × 3q + (3q)2 − [{4pq)2 − 2 × 4pq × 3q + (3q)2]
= 16p2q2 + 24pq2 + 9q2 − [16p2q2 − 24pq2 + 9q2]
= 16p2q2 + 24pq2 + 9q2 − 16p2q2 + 24pq2 − 9q2
= 16p2q2 − 16p2q2 + 9q2 − 9q2 + 24pq2 + 24pq2
= 48pq2
L.H.S. = R.H.S.

(v) (ab) (a + b) + (bc) (b + c) + (ca) (c + a) = 0
L.H.S.
(ab) (a + b) + (bc) (b + c) + (ca) (c + a)
(सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से – )
= (a2b2) + (b2c2) + (c2a2)
= a2b2 + b2c2 + c2a2
= a2a2b2 + b2c2 + c2
= 0
L.H.S. = R.H.S.

6. सर्वसमिका के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए :

 (i) 712 (ii) 992 (iii) 1022 (iv) 9982 (v) 5.22 (vi) 297 × 303 (vii) 78 × 82 (viii) 8.92 (ix) 10.5 × 9.5

हल :
(i) 712
= (70 + 1)2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
(70 + 1)2 = (70)2 + 2 × 70 × 1 + (1)2

= 4900 + 140 + 1
= 5041

(ii) 992
= (100 − 1)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(100 − 1)2 = (100)2 − 2 × 100 × 1 + (1)2
= 10000 − 200 + 1
= 10001 − 200
= 9801

(iii) 1022
= (100 + 2)2
सर्वसमिका (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से –
(100 + 2)2 = (100)2 + 2 × 100 × 2 + (2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404

(iv) 9982
= (1000 − 2)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(1000 − 2)2 = (1000)2 − 2 × (1000) × 2 + (2)2
= 1000000 − 4000 + 4
= 1000004 − 4000
= 996004

(vi) 297 × 303
= (300 − 3) (300 + 3)
सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से –
= (300)2 − (3)2
= 90000 − 9
= 89991

(vii) 78 × 82
= (80 − 2) (80 + 2)
सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से –
= (80)2 − (2)2
= 6400 − 4
= 6396

(viii) 8.92
= (10.0 − 1.1)2
सर्वसमिका (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 से –
(10.0 − 1.1)2 = (10)2 − 2 × 10 × 1.1 + (1.1)2

= 100 − 22 + 1.21
= 100.21 − 22
= 79.21

(ix) 10.5 × 9.5
= (10.0 + 0.5) (10.0 – 0.5)
सर्वसमिका (a)2 − (b)2 = (a + b) (a − b) से –
= (10)2 − (0.5)2
= 100 − 0.25
= 99.75

7. a2 − b2 = (a + b) (a − b) का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

 (i) 512 − 492 (ii) (1.02)2 − (0.98)2 (iii) 1532 − 1472 (iv) 12.12 − 7.92

हल :
(i) 512 − 492
सर्वसमिका a2 − b2 = (a + b) (a − b) से –
512 − 492 = (51 + 49) (51 − 49)
= 100 × 2
= 200

(ii) (1.02)2 − (0.98)2
सर्वसमिका a2 − b2 = (a + b) (a − b) से –
(1.02)2 − (0.98)2 = (1.02 + 0.98) (1.02 − 0.98)
= 2 × 0.04
= 0.08

(iii) 1532 − 1472
सर्वसमिका a2 − b2 = (a + b) (a − b) से –
1532 − 1472 = (153 + 147) (153 − 147)

= 300 × 6
= 1800

(iv) 12.12 − 7.92
सर्वसमिका a2 − b2 = (a + b) (a − b) से –
12.12 − 7.92 = (12.1 + 7.9) (12.1 − 7.9)

= 20 × 4.2
= 84

8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए :

 (i) 103 × 104 (ii) 5.1 × 5.2 (iii) 103 × 98 (iv) 9.7 × 9.8

हल :
(i) 103 × 104
= (100 + 3) (100 + 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
= (100)2 + (3 + 4) 100 + 3 × 4

= 10000 + 700 + 12
= 10712

(ii) 5.1 × 5.2
= (5.0 + 0.1) (5.0 + 0.2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
= (5.0)2 + (0.1 + 0.2) 5.0 + 0.1 × 0.2

= 25 + 1.5 + 0.02
= 26.52

(iii) 103 × 98
= (100 + 3) (100 – 2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
= (100)2 + {3 + (− 2} 100 + 3 × (− 2)

= 10000 + 1 × 100 + (− 6)
= 10000 + 100 − 6
= 10100 − 6
= 10094

(iv) 9.7 × 9.8
= (9.0 + 0.7) (9.0 + 0.8)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab से –
= (9)2 + (0.7 + 0.8) 9 + 0.7 × 0.8
= 81 + 1.5 × 9 + 0.56
= 81 + 13.5 + 0.56
= 95.06

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