NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths Bijiye Vyanjak evam Sarvsamikayen कक्षा 8 गणित अध्याय 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ। class 8th maths एनसीइआरटी कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ के सभी प्रश्न उत्तर सवालों के जवाब सम्मिलित है। Here We learn what is in ncert maths class 8 chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ and how to solve questions with easiest method.  In this chapter we solve the question of NCERT 8th class maths chapter 9. NCERT class 8 maths solutions बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ (Algebraic Expressions and Identities) are part of NCERT Solutions for class 8 maths chapter 9 solution PDF. Ncert solutions for class 8 chapter 9 Bijiye Vyanjak evam Sarvsamikayen बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ with formula and solution. class 8th maths

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NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities class 8th maths

अध्याय – 9
बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ
गणित

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities
class 8th maths
Ex 9.1 
प्रश्नावली 9.1

प्रश्नावली 9.1

1. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए : 

(i) 5xyz2 − 3zy	(ii) 1 + x + x2	(iii) 4x2y2 − 4x2y2z2 + z2
(iv) 3 − pq + qr − rp	(v) \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-xy\)	(vi) 0.3a − 0.6ab + 0.5b

हल :

		पद	गुणांक
(i)	5xyz2 − 3zy	इस व्यंजक में दो पद हैं 5xyz2 और 3zy	5 और − 3
(ii)	1 + x + x2	इस व्यंजक में दो पद हैं 1, x और x2	1, 1 और 1
(iii)	4x2y2 − 4x2y2z2 + z2	इस व्यंजक में तीन पद हैं 4x2y2 , − 4x2y2z2 और z2	4, − 4 और 1
(vi)	3 − pq + qr – rp	इस व्यंजक में चार पद हैं  3, − pq, qr और − rp	3, − 1, 1 और − 1
(v)	\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-xy\)	इस व्यंजक में तीन पद हैं \(\displaystyle \frac{x}{2}\) , \(\displaystyle \frac{y}{2}\) और − xy	\(\displaystyle \frac{1}{2}\) , \(\displaystyle \frac{1}{2}\) और − 1
(vi)	0.3a − 0.6ab + 0.5b	इस व्यंजक में तीन पद हैं  0.3, − 0.6ab और 0.5b	0.3, − 0.6 और 0.5

2. निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपदी एवं त्रिपदी के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?
x + y, 1000, x + x² + x³, 7 + y + 5x, 2y − 3y², 2y − 3y² + 4y3, 5x − 4y + 3xy, 4z − 15z², ab + bc + cd + da, pqr, p²q, 2p + 2q
हल :
एकपदी :- 1000, pqr
द्विपदी :- x + y, 2y − 3y², 4z − 15z², p²q + pq², 2p + 2q
त्रिपदी :- 7 + y + 5x, 2y − 3y² + 4y³, 5x − 4y + 3xy
वे बहुपद जो इन तीनों श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है :- x + x² + x³ + x⁴, ab + bc + cd + da

3. निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :

(i) ab − bc, bc − ca, ca − ab	(ii) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ac
(iii) 2p2q2 − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p2q2	(iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl

हल :
(i) ab − bc, bc − ca, ca − ab
समान पदों को एक साथ लिखने पर –
= ab − bc + bc − ca + ca − ab
= ab − ab + bc − bc + ca − ca
= 0

(ii) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ac
= a − b + ab + b − c + bc + c − a + ac
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर –
= a − a + b − b + c − c + ab + bc + ac
सजातीय धनात्मक एवं ऋणात्मक पद एक-दूसरे के घटाने पर –
= ab + bc + ac

(iii) 2p²q² − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p²q²
= 2p²q² − 3pq + 4 + 5 + 7pq − 3p²q²
सजातीय पदों को साथ रखने पर – 
= 2p²q² − 3p²q² + 7pq − 3pq + 4 + 5
= − p²q² + 4pq + 9

(iv) l² + m², m² + n², n² + l², 2lm + 2mn + 2nl
= l² + m² + m² + n² + n² + l² + 2lm + 2mn + 2nl
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर –
= l² + l² + m² + m² + n² + n² + 2lm + 2mn + 2nl
= 2l² + 2m² + 2n² + 2lm + 2mn + 2nl
= 2(l² + m² + n² + lm + mn + nl)

4. (a) 12a − 9ab + 5b − 3 में से 4a − 7ab + 3b + 12 घटाइये।
(b) 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz − 7zx को घटाइये।
(c) 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq² + 5p²q में से 4p²q − 3pq + 5pq² − 8p + 7q − 10 को घटाइए।
हल :
(a) 12a − 9ab + 5b − 3 में से 4a − 7ab + 3b + 12 घटाइये।
= 12a − 9ab + 5b − 3 − (4a − 7ab + 3b + 12)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 12a − 9ab + 5b − 3 − 4a + 7ab − 3b − 12  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 12a − 4a + 5b − 3b + 7ab − 9ab − 4 − 12
= 8a + 2b − 2ab − 16

(b) 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz − 7zx को घटाइये।
= 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz − (3xy + 5yz − 7zx)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz − 3xy − 5yz + 7zx  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 5xy − 3xy − 2yz − 5yz + 7zx − 2zx + 10xyz
= 2xy − 7yz + 5zx + 10xyz

(c) 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq² + 5p²q में से 4p²q − 3pq + 5pq² − 8p + 7q − 10 को घटाइए।
= 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq² + 5p²q − (4p²q − 3pq + 5pq² − 8p + 7q − 10)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 18 − 3p − 11q + 5pq − 2pq² + 5p²q − 4p²q + 3pq − 5pq² + 8p − 7q + 10)  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= − 3p + 8p − 11q − 7q + 5pq + 3pq − 2pq² − 5pq² + 5p²q − 4p²q
= 5p − 18q + 8pq − 7pq² + p²q

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities
class 8th maths
Ex 9.2 
प्रश्नावली 9.2

1. निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) 4, 7p	(ii) − 4p, 7p	(iii) − 4p, 7pq	(iv) 4p3, − 3p
(v) 4p, 0

हल : 
(i) 4, 7p
= 4 × 7p
= 28p

(ii)  − 4p, 7p
= − 4p × 7p
= − 28p²

(iii) − 4p, 7pq
= − 4p × 7pq
= − 28p²q

(iv) 4p³, − 3p
= 4p³ × − 3p
= − 12p⁴

(v) 4p, 0
= 4p × 0
= 0

2. निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लम्बाई एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(p, q); (10m, 5n); (20x², 5y²); (4x, 3x²); (3mn, 4np)
हल :
(p, q)
लम्बाई = p
चौड़ाई = q
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= p × q
= pq वर्ग इकाई

(10m, 5n)
लम्बाई = 10m
चौड़ाई = 5n
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 10m × 5n
= 50mn वर्ग इकाई

(20x², 5y²)
लम्बाई = 20x²
चौड़ाई = 5y²
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20x² × 5y²
= 100x²y² वर्ग इकाई

(4x, 3x²)
लम्बाई = 4x
चौड़ाई = 3x²
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 4x × 3x²
= 12x³ वर्ग इकाई

(3mn, 4np)
लम्बाई = 3mn
चौड़ाई = 4np
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 3mn × 4np
= 12mn²p वर्ग इकाई

3. गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए :

प्रथम एकपदी द्वितीय एकपदी	2x	− 5y	3x2	− 4xy	7x2y	− 9x2y2
2x	4x2
− 5y			− 15x2y
3x2
− 4xy
7x2y
− 9x2y2

हल : 

प्रथम एकपदी द्वितीय एकपदी	2x	− 5y	3x2	− 4xy	7x2y	− 9x2y2
2x	4x2	− 10xy	6×3	− 8x2y	14x3y	− 18x3y2
− 5y	− 10xy	25y2	− 15x2y	20xy2	− 35x2y2	45x2y3
3x2	6x3	− 15x2y	9x4	− 12x3y	21x4y	− 27x4y2
− 4xy	− 8x2y	20xy2	− 12x3y	16x2y2	− 28x3y2	36x3y3
7x2y	14x3y	− 35x2y2	21x4y	− 28x3y2	49x4y2	− 63x4y3
− 9x2y2	− 18x3y2	45x2y2	− 27x4y2	36x3y3	− 63x4y3	81x4y4

4. ऐसे घना आकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: निम्नलिखित हैं :

(i) 5a, 3a2, 7a4

(ii) 2p, 4q, 8r

(iii) xy, 2x2y, 2xy2

(iv) a, 2b, 3c

हल : 
(i) 5a, 3a², 7a⁴
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 5a × 3a² × 7a⁴
= 5 × 3 × 7 × a × a² × a⁴
= 105a⁷

(ii) 2p, 4q, 8r
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 2p × 4q × 8r
= 2 × 4 × 8 × p × q × r
= 64pqr

(iii) xy, 2x²y, 2xy²
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= xy × 2x²y × 2xy²
= 1 × 2 × 2 × xy × x²y × xy²
= 4x⁴y⁴

(iv) a, 2b, 3c
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= a × 2b × 3c
= 1 × 2 × 3 × a × b × c
= 6abc

5. निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) xy, yz, zx	(ii) a, − a2, a3	(iii) 2, 4y, 8y2, 16y3
(iv) a, 2b, 3c, 6abc	(v) m, − mn, mnp

हल :
(i) xy, yz, zx
= xy × yz × zx 
= x²y²z²

(ii) a, − a2, a³ 
= a × (− a²) × a³ 
= − a⁶

(iii) 2, 4y, 8y², 16y³
= 2 × 4y × 8y² × 16y³
= 2 × 4 × 8 × 16 × y × y2 × y³
= 1024y³

(iv) a, 2b, 3c, 6abc
= 2 × 3 × a × b × c × abc
= 6a²b²c²

(v) m, − mn, mnp
= m × (− mn) × mnp
= − m²n²p

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities
class 8th maths
Ex 9.3 
प्रश्नावली 9.3

1. निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए :

(i) 4p, q + r	(ii) ab, a − b	(iii) a + b, 7a2b2	(iv) a2 − 9, 4a
(v) pq + qr + rp, 0

हल :
(i) 4p, q + r 
= 4p × (q + r)
= 4p × q + 4p × r
= 4pq + 4pr

2. सारणी पूरा कीजिए :

	प्रथम व्यंजक	द्वितीय व्यंजक	गुणनफल
(i)	a	b + c + d	____
(ii)	x + y − 5	5xy	____
(iii)	p	6p2 − 7p + 5	____
(iv)	4p2q2	p2 − q2	____
(v)	a + b + c	abc	____

हल :

	प्रथम व्यंजक	द्वितीय व्यंजक	गुणनफल
(i)	a	b + c + d	ab + ac + ad
(ii)	x + y − 5	5xy	5x2y + 5xy2 − 25xy
(iii)	p	6p2 − 7p + 5	6p3 − 7p2 + 5p
(iv)	4p2q2	p2 − q2	4p4q2 − 4p2q4
(v)	a + b + c	abc	a2bc + ab2c + abc2

(i) a × (b + c + d)
= ab + ac + ad

(ii) (x + y − 5) × 5xy
= 5x²y + 5xy² − 25xy

(iii) p × (6p² − 7p + 5)
= 6p³ − 7p² + 5p

(iv) 4p²q² × (p² − q²)
= 4p⁴q² − 4p²q⁴

(v) (a + b + c) × abc
= a²bc + ab²c + abc2

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) (a2) × (2a22) × (4a26)	(ii) \(\displaystyle \left( {\frac{2}{3}xy} \right)\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\)
(iii) \(\displaystyle \left( {-\frac{{10}}{3}p{{q}^{3}}} \right)\times \left( {\frac{6}{5}{{p}^{3}}q} \right)\)	(iv) x × x2 × x3 × x4

हल :
(i) (a²) × (2a²²) × (4a²⁶)
= 2 × 4 × a² × a²² × a²⁶
= 8a⁵⁰

(ii) \(\displaystyle \left( {\frac{2}{3}xy} \right)\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{2}{3}\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}} \right)\left( {xy\times {{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\\=\frac{{-18}}{{30}}{{x}^{3}}{{y}^{3}}\\=\frac{{-3}}{5}{{x}^{3}}{{y}^{3}}\end{array}\)

(iii) \(\displaystyle \left( {-\frac{{10}}{3}p{{q}^{3}}} \right)\times \left( {\frac{6}{5}{{p}^{3}}q} \right)\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\left( {-\frac{{10}}{3}} \right)\times \frac{6}{5}\times p{{q}^{3}}\times {{p}^{3}}q\\=-\frac{{60}}{{15}}{{p}^{4}}{{q}^{4}}\\=-4{{p}^{4}}{{q}^{4}}\end{array}\)

(iv) x × x² × x³ × x⁴
= x¹⁰

4. (a) 3x (4x − 5) + 3 को सरल कीजिए और (i) x = 3 एवं (ii) \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
(b) a (a² + a + 1) +5 को सरल कीजिए और (i) a = 0, (ii) a = 1 (iii) a = − 1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) (i) 3x (4x − 5) + 3
= 3x × 4x − 3x × 5 + 3
= 12x² − 15x + 3 ………………………….. (i)
समी (i) में x = 3 रखने पर –
= 12 × (3)² − 9 × 5 + 3
= 12 × 9 − 45 + 3
= 108 + 3 − 45
= 111 − 45
= 66

(ii) समी (i) में \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=12\times {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2}}-15\times \frac{1}{2}+3\\=12\times \frac{1}{4}-\frac{{15}}{2}+3\\=3-\frac{{15}}{2}+3\\=\frac{{6-15+6}}{2}\\=\frac{{12-15}}{2}\\=\frac{{-3}}{2}\end{array}\)

5. (a) p (p − q), q (q − r) और r (r − p) को जोड़िए।
(b) 2x (z − x − y) और 2y (z − y − x) को जोड़िए।
(c) 4l (10n − 3m + 2l ) में से 3l (l − 4m + 5n) को घटाइए।
(d) 4c (− a + b + c ) में से 3a (a + b + c ) − 2b (a − b + c) को घटाइए।
हल : 
(a) p (p − q), q (q − r) और r (r − p) को जोड़िए।
= p (p − q) + q (q − r) + r (r − p)
= p² − pq + q² − qr + r² − rp
= p² + q² + r² − pq − qr − rp

(b) 2x (z − x − y) और 2y (z − y − x) को जोड़िए।
= 2x (z − x − y) + 2y (z − y − x)
= 2xz − 2x² − 2xy + 2yz − 2y² − 2xy
= − 2x² − 2y² − 2xy − 2xy + 2yz + 2xz
= − 2x² − 2y² − 4xy + 2yz + 2xz

(c) 4l (10n − 3m + 2l ) में से 3l (l − 4m + 5n) को घटाइए।
= 4l (10n − 3m + 2l) − 3l (l − 4m + 5n)
= 4l × 10n − 4l × 3m + 4l + 2l − 3l × l − 3l × (− 4m) − 3l × 5n
= 40ln − 12lm + 8l² − 3l² + 12lm − 15ln
= 40ln − 15ln − 12lm + 12lm + 8l² − 3l²
= 25ln − 0lm + 5l²
= 5l² + 25ln

(d) 4c (− a + b + c ) में से 3a (a + b + c) − 2b (a − b + c) को घटाइए।
= 4c (− a + b + c) − [3a (a + b + c) − 2b (a − b + c)]
= − 4ac + 4bc + 4c² − [3a² + 3ab + 3ac − 2ab + 2a² – 2bc]
= − 4ac + 4bc + 4c² − 3a² − 3ab − 3ac + 2ab − 2b² + 2bc
= − 4ac − 3ac + 4bc + 2bc − 3ab + 2ab + 4c² − 3a² − 2b²
= − 7ac + 6bc − ab + 4c² − 3a² − 2b²
=  − 3a² − 2b² + 4c² − ab + 6bc − 7ac

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities
class 8th maths
Ex 9.4
प्रश्नावली 9.4

1. द्विपदों को गुणा कीजिए :

(i) (2x + 5) और (4x − 3)	(ii) (y − 8) और (3y − 4)
(iii) (2.5l − 0.5m) और (2.5l + 0.5m)	(iv) (a + 3b) और (x + 5)
(v) (2pq + 3q2) और (3pq − 2q2)	(vi) \(\displaystyle \left( {\frac{3}{4}{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}} \right)\) और \(\displaystyle \left( {{{a}^{2}}-\frac{2}{3}{{b}^{2}}} \right)\)

हल :
(i) (2x + 5) और (4x − 3)
= 2x (4x − 3) + 5 (4x − 3)
= 2x × 4x − 2x × 3 + 5 × 4x − 5 × 3
= 8x² − 6x + 20x − 15
= 8x² + 14x − 15

(ii) (y – 8) और (3y − 4)
= y (3y − 4) − 8 (3y − 4)
= y × 3y − y × 4 − 8 × 3y − 8 × (− 4)
= 3y² − 4y − 24y + 32
= 3y² − 28y + 32

(iii) (2.5l − 0.5m) और (2.5l + 0.5m)
= 2.5l (2.5l + 0.5m) − 0.5m (2.5l + 0.5m)
= 2.5l × 2.5l + 2.5l × 0.5m – 0.5m × 2.5l − 0.5m × 0.5m
= 2.25l² + 1.25lm − 1.25lm − 0.25m²
= 2.25l² − 0.25m²

(iv) (a + 3b) और (x + 5)
= a (x + 5) + 3b (x + 5)
= a × x + a × 5 + 3b × x + 3b × 5
= ax + 5a + 3bx + 15b
= ax + 5a + 3bx + 15b

(v) (2pq + 3q²) और (3pq – 2q²)
= 2pq (3pq − 2q²) + 3q² (3pq − 2q²)
= 2pq × 3pq − 2q² × 2pq + 3q² × 3pq − 3q² × 2q²
= 2p²q² − 4pq³ + 9pq³ − 6q⁴
= 6p²q² + 5pq³ − 6q⁴

2. गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) (5 − 2x) (3 + x)	(ii) (x + 7y) (7x − y)
(iii) (a2 + b) (a + b2)	(iv) (p2 – q2) (2p + q)

हल :
(i) (5 − 2x) (3 + x)
= 5 × (3 + x) − 2x × (3 + x)
= 15 + 5x − 6x − 2x²
= 15 − x − 2x²

(ii) (x + 7y) (7x − y)
= x × (7x − y) + 7y × (7x − y)
= 7x² − xy + 49xy − 7y²
= 7x² + 48xy − 7y²

(iii) (a² + b) (a + b²)
= a² × (a + b²) + b × (a + b²)
= a³ + a²b² + ab + b²

(iv) (p² − q²) (2p + q)
= p² × (2p + q) − q² × (2p + q)
= 2p³ + p²q − 2pq² − q³

3. सरल कीजिए :  

(i) (x2 − 5) (x + 5) + 25	(ii) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5
(iii) (t + s2) (t2 − s)
(iv) (a + b) (c − d) + (a − b) (c + d) + 2 (ac + bd)
(v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x − y)	(vi) (x + y) (x2 − xy + y2)
(vii) (1.5x − 4y) (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y
(viii) (a + b + c) (a + b − c)

हल :
(i) (x² – 5) (x + 5) + 25
= x² × (x + 5) − 5 × (x + 5) + 25
= x³ + 5x² − 5x − 25 + 25
= x³ + 5x² − 5x

(ii) (a² + 5) (b³ + 3) + 5
= a² × (b³ + 3) + 5 × (b³ + 3) + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 15 + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 20

(iii) (t + s²) (t² − s)
= t × (t² − s) + s² × (t² − s)
= t³ − st + s²t² − s³

(iv) (a + b) (c − d) + (a − b) (c + d) + 2 (ac + bd)
= a × (c − d) + b × (c − d) + a × (c + d) − b × (c + d) + 2ac + 2bd
= ac − ad + bc − bd + ac + ad − bc − bd + 2ac + 2bd
= ac + ac + 2ac + bc − bc − bd − bd + 2bd − ad + ad 
= 2ac + 2ac − 2bd + 2bd
= 4ac

(v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y)
= x × (2x + y) + y × (2x + y) + x × (x − y) + 2y × (x − y)
= 2x² + xy + 2xy + y² + x² − xy + 2xy − 2y²
= 2x² + x² + xy + 2xy − xy + 2xy + y² − 2y²
= 3x² + 5xy − xy − y²
= 3x² + 4xy − y²

(vii) (1.5x − 4y) (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y
= 1.5x × (1.5x + 4y + 3) − 4y × (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y
= 2.25x² + 6.0xy + 4.5x – 6.0xy − 16y² − 12y − 4.5x − 12y
= 2.25x² + 6.0xy − 6.0xy + 4.5x − 4.5x − 16y² − 12y − 12y
= 2.25x² − 16y²

(viii) (a + b + c) (a + b − c)
= a × (a + b − c) + b × (a + b – c)  + c × (a + b − c)
= a² + ab − ac + ab + b² − bc + ac + bc − c²
= a² + ab + ab − ac + ac + b² − bc + bc − c²
= a² + 2ab + b² − c²
= a² + b² − c² + 2ab

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities
class 8th maths
Ex 9.5
प्रश्नावली 9.5

1. निम्नलिखित गुणनफलों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए उचित सर्वसमिका का उपयोग कीजिए :

(i) (x + 3) (x + 3)	(ii) (2y + 5 ) (2y + 5)
(iii) (2a – 7) (2a – 7)	(iv)
(v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)	(vi) (a2 + b2) (− a2 + b2)
(vii) (6x – 7) (6x + 7)	(viii) (– a + c) (– a + c)
(ix)	(x) (7a – 9b) (7a – 9b)

हल :
(i) (x + 3) (x + 3)
= (x + 3)²
(सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – )
= x² + 2 × x × 3 + 3²
= x² + 6x + 9

(ii) (2y + 5 ) (2y + 5)
= (2y + 5)²
(सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – )
= (2y)² + 2 × 2y × 5 + 5²
= 4y² + 20y + 25

(iii) (2a – 7) (2a – 7)
= (2a – 7)²
(सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – )
= (2a)² − 2 × 2a × 7 + 7²
= 4a² − 28a + 49

(v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)
= (1.1m)² − (0.4)²
= (सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से – )
= (1.1m)² − (0.4)²
= 1.21m² − 0.16

(vi) (a² + b²) (− a² + b²)
= (b² + a²) (b² − a²)
= (b²)² − (a²)²
= (सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से – )
= b⁴ − a⁴

(vii) (6x – 7) (6x + 7)
= (6x)² − (7)²
(सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से – )
= 36x² − 49

(viii) (– a + c) (– a + c)
= (c − a) (c − a)
= (c − a)²
(सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – )
= c² − 2 × c × a + a²
= c² − 2ca + a²

(x) (7a − 9b) (7a – 9b)
= (7a – 9b)²
(सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – )
= (7a)² − 2 × 7a × 9b + (9b)²
= 49a² − 126ab + 81b²

2. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का उपयोग कीजिए : 

(i) (x + 3) (x + 7)	(ii) (4x + 5) (4x + 1)
(iii) (4x – 5) (4x − 1)	(iv) (4x + 5) (4x – 1)
(v) (2x + 5y) (2x + 3y)	(vi) (2a2 + 9) (2a2 + 5)
(vii) (xyz – 4) (xyz – 2)

हल :
(i) (x + 3) (x + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
(x + 3) (x + 7) = x² + (3 + 7) x + 3 × 7
= x² + 10x + 21

(ii) (4x + 5) (4x + 1)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
(4x + 5) (4x + 1) = (4x)² + (5 + 1) 4x + 5 × 1
= 16x² + 6 × 4x + 5
= 16x² + 24x + 5

(iii) (4x – 5) (4x – 1) = 16x − 24x + 5
सर्वसमिका (x − a) (x − b) = x² − (a + b) x + ab से –
(4x – 5) (4x – 1) = (4x)² − (5 + 1) 4x + 5 × 1
= 16x² − 6 × 4x + 5
= 16x² − 24x + 5

(iv) (4x + 5) (4x − 1) = 16x²  − 4x + 20x − 5
सर्वसमिका (x + a) (x − b) = x² + (a − b) x − ab से –
(4x + 5) (4x – 1) = (4x)² + (5 − 1) 4x − 5 × 1
= 16x² + 4 × 4x − 5
= 16x² + 16x − 5 

(v) (2x + 5y) (2x + 3y)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
(2x + 5y) (2x + 3y) = (2x)² + (5y + 3y) 2x + 5y × 3y
= 4x² + 8y × 2x + 15y²
= 4x² + 16xy + 15y²

(vi) (2a² + 9) (2a² + 5)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
(2a² + 9) (2a² + 5) = (2a²)² + (9 + 5) 2a² + 9 × 5
= 4a⁴ + 14 × 2a² + 45
= 4a⁴ + 28a² + 45

(vii) (xyz – 4) (xyz – 2)
सर्वसमिका (x − a) (x − b) = x² − (a + b) x + ab से –
(xyz – 4) (xyz – 2) = (xyz)² − (4 + 2) xyz + 4 × 2
= x²y²z² − 6xyz + 8

3. सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए :

(i) (b − 7)2	(ii) (xy + 3z)2	(iii) (6x2 − 5y)2
(iv)	(v) (0.4p − 0.5q)2	(iv) (2xy + 5y)2

हल :
(i) (b − 7)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से –
(b − 7)² = (b)² − 2 × b × 7 + (7)²
= b² − 14b + 49

(ii) (xy + 3z)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से –
(xy + 3z)² = (xy)² + 2 × xy × 3z + (3z)²
= x²y² + 6xyz + 9z²

(iii) (6x² − 5y)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से –
(6x² − 5y)² = (6x²)² − 2 × 6x² × 5y + (5y)²
= 36x⁴ – 60x²y + 25y²

(v) (0.4p − 0.5q)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से –
(0.4p − 0.5q)² = (0.4p)² − 2 × 0.4p × 0.5q + (0.5q)²
= 0.16p² − 0.4pq + 0.25q²

(iv) (2xy + 5y)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से –
(2xy + 5y)² = (2xy)² + 2 × 2xy × 5y + (5y)²
= 4x²y² + 20xy + 25y²

4. सरल कीजिए :

(i) (a2 − b2)2	(ii) (2x + 5)2 − (2x − 5)2
(iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2	(iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2
(v) (2.5p − 1.5q)2 − (1.5p − 2.5q)2
(vi) (ab + bc)2 − 2ab2c	(vii) (m2 − n2m)2 + 2m3n2

हल :
(i) (a² − b²)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से –
(a² − b²)² = (a²)² − 2 × a² × b² + (b²)²
= a⁴ − 2a²b² + b⁴

(ii) (2x + 5)² − (2x − 5)²
(सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से – )
(2x + 5)² − (2x − 5)² = (2x + 5 + 2x − 5) {2x + 5 − (2x − 5)}
= 4x (2x + 5 − 2x + 5)
= 4x × 10
= 40x

(iii) (7m – 8n)² + (7m + 8n)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² एवं सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – 
= [(7m)² − 2 × 7m × 8n + (8n)²] + [(7m)² + 2 × 7m × 8n + (8n)²]
= 49m² − 112mn + 64n² + 49m² + 112mn + 64n²
= 49m² + 64n² + 49m² + 64n²
= 98m² + 128n²

(iv) (4m + 5n)² + (5m + 4n)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – 
= [(4m)² + 2 × 4m × 5n + (5n)²] + [(5m)² + 2 × 5m × 4n + (4n)²]
= 16m² + 40mn + 25n² + 25m² + 20mn + 16n²
= 16m² + 25m² + 80mn + 25n² + 16n²
= 41m² + 80mn + 16n²

(v) (2.5p − 1.5q)² − (1.5p − 2.5q)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से –
= [(2.5p)² − 2 × 2.5p × 1.5q + (1.5q)²] – [(1.5p)² – 2 × 1.5p × 2.5q + (2.5q)²]
= 6.25p² − 7.8pq + 2.25q² − [2.25p² − 7.8pq + 6.25q²]
= 6.25p² − 7.8pq + 2.25q² − 2.25p² + 7.8pq − 6.25q²
= 6.25p² − 2.25p² + 2.25q² − 6.25q²
= 4p² − 4q`²

(vi) (ab + bc)² − 2ab²c
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – 
= (ab)² + 2 × ab × bc + (bc)² − 2ab²c
= a²b² + 2ab²c + b²c² − 2ab²c
= a²b² + b²c² + 2ab²c − 2ab²c
= a²b² + b²c²

(vii) (m² − n²m)² + 2m³n²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – 
= (m²)² − 2 × m² × n²m + (n²m)² + 2m³n²
= m⁴ − 2m³n² + n⁴m² + 2m³n²
= m⁴ + n⁴m²

5. दर्शाइए कि :

(i) (3x + 7)2 − 84x = (3x − 7)2	(ii) (9p − 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2
(iii)
(iv) (4pq + 3q)2 − (4pq − 3q)2 = 48pq2
(v) (a − b) (a + b) + (b − c) (b + c) + (c − a) (c + a) = 0

हल :
(i) (3x + 7)² − 84x = (3x − 7)²
L.H.S.
(3x + 7)² − 84x
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – 
= (3x)² + 2 × 3x × 7 + 7² − 84x
= 9x² + 42x + 49 − 84x
= 9x² − 42x + 49
(चूँकि a² − 2ab + b² = (a − b)² 
अतः 9x² − 42x + 49 = (3x)² − 2 × 3x × 7 + (7)²
= (3x − 7)²
L.H.S. = R.H.S.

(ii) (9p − 5q)² + 180pq = (9p + 5q)²
L.H.S.
(9p − 5q)² + 180pq
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – 
= (9p)² − 2 × 9p × 5q + (5q)² + 180pq
= 81p² − 90pq + 25q² + 180pq
= 81p² + 90pq + 25q²
(चूँकि a² + 2ab + b² = (a + b)² 
अतः 81p² + 90pq + 25q² = (9p)² − 2 × 9p × 5q + (5q)²
= (9p + 5q)²
L.H.S. = R.H.S.

(iv) (4pq + 3q)² − (4pq − 3q)² = 48pq²
L.H.S.
(4pq + 3q)² − (4pq − 3q)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² और सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – 
= (4pq)² + 2 × 4pq × 3q + (3q)² − [{4pq)² − 2 × 4pq × 3q + (3q)²]
= 16p²q² + 24pq² + 9q² − [16p²q² − 24pq² + 9q²]
= 16p²q² + 24pq² + 9q² − 16p²q² + 24pq² − 9q²
= 16p²q² − 16p²q² + 9q² − 9q² + 24pq² + 24pq²
= 48pq²
L.H.S. = R.H.S.

(v) (a − b) (a + b) + (b − c) (b + c) + (c − a) (c + a) = 0
L.H.S.
(a − b) (a + b) + (b − c) (b + c) + (c − a) (c + a)
(सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से – )
= (a² − b²) + (b² − c²) + (c² − a²)
= a² − b² + b² − c² + c² − a²
= a² − a² − b² + b² − c² + c²
= 0
L.H.S. = R.H.S.

6. सर्वसमिका के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए :

(i) 712	(ii) 992	(iii) 1022	(iv) 9982
(v) 5.22	(vi) 297 × 303	(vii) 78 × 82	(viii) 8.92
(ix) 10.5 × 9.5

हल :
(i) 71²
= (70 + 1)2
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – 
(70 + 1)² = (70)² + 2 × 70 × 1 + (1)²
= 4900 + 140 + 1
= 5041

(ii) 99²
= (100 − 1)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – 
(100 − 1)² = (100)² − 2 × 100 × 1 + (1)²
= 10000 − 200 + 1
= 10001 − 200
= 9801

(iii) 102²
= (100 + 2)²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² से – 
(100 + 2)² = (100)² + 2 × 100 × 2 + (2)²
= 10000 + 400 + 4
= 10404

(iv) 998²
= (1000 − 2)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – 
(1000 − 2)² = (1000)² − 2 × (1000) × 2 + (2)²
= 1000000 − 4000 + 4
= 1000004 − 4000
= 996004

(vi) 297 × 303
= (300 − 3) (300 + 3)
सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से –
= (300)² − (3)²
= 90000 − 9
= 89991

(vii) 78 × 82
= (80 − 2) (80 + 2)
सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से –
= (80)² − (2)²
= 6400 − 4
= 6396

(viii) 8.9²
= (10.0 − 1.1)²
सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² से – 
(10.0 − 1.1)² = (10)² − 2 × 10 × 1.1 + (1.1)²
= 100 − 22 + 1.21
= 100.21 − 22
= 79.21

(ix) 10.5 × 9.5
= (10.0 + 0.5) (10.0 – 0.5)
सर्वसमिका (a)² − (b)² = (a + b) (a − b) से –
= (10)² − (0.5)²
= 100 − 0.25
= 99.75

7. a² − b² = (a + b) (a − b) का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) 512 − 492	(ii) (1.02)2 − (0.98)2
(iii) 1532 − 1472	(iv) 12.12 − 7.92

हल :
(i) 51² − 49²
सर्वसमिका a² − b² = (a + b) (a − b) से –
51² − 49² = (51 + 49) (51 − 49)
= 100 × 2
= 200

(ii) (1.02)² − (0.98)²
सर्वसमिका a² − b² = (a + b) (a − b) से –
(1.02)² − (0.98)² = (1.02 + 0.98) (1.02 − 0.98)
= 2 × 0.04
= 0.08

(iii) 153² − 147²
सर्वसमिका a² − b² = (a + b) (a − b) से –
153² − 147² = (153 + 147) (153 − 147)
= 300 × 6
= 1800

(iv) 12.1² − 7.9²
सर्वसमिका a² − b² = (a + b) (a − b) से –
12.1² − 7.9² = (12.1 + 7.9) (12.1 − 7.9)
= 20 × 4.2
= 84

8. (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए :

(i) 103 × 104	(ii) 5.1 × 5.2
(iii) 103 × 98	(iv) 9.7 × 9.8

हल :
(i) 103 × 104
= (100 + 3) (100 + 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
= (100)² + (3 + 4) 100 + 3 × 4
= 10000 + 700 + 12
= 10712

(ii) 5.1 × 5.2
= (5.0 + 0.1) (5.0 + 0.2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
= (5.0)² + (0.1 + 0.2) 5.0 + 0.1 × 0.2
= 25 + 1.5 + 0.02
= 26.52

(iii) 103 × 98
= (100 + 3) (100 – 2)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
= (100)² + {3 + (− 2} 100 + 3 × (− 2)
= 10000 + 1 × 100 + (− 6)
= 10000 + 100 − 6
= 10100 − 6
= 10094

(iv) 9.7 × 9.8
= (9.0 + 0.7) (9.0 + 0.8)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab से –
= (9)² + (0.7 + 0.8) 9 + 0.7 × 0.8
= 81 + 1.5 × 9 + 0.56
= 81 + 13.5 + 0.56
= 95.06