5. वासुदेवन ने 12% वार्षिक दर पर ₹ 60,000 का निवेश किया। यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि वह (i) 6 महीने के अंत में (ii) एक वर्ष के अंत में, कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा ?
हल : मूलधन = ₹ 60,000
दर = 12% (अर्धवार्षिक)
जब दर अर्धवार्षिक संयोजित हो, तो दर आधी और समय दुगुना हो जाता है।
(i) अतः जब समय 6 माह हो तो,
मूलधन = ₹ 60,000
दर = 6%
समय = 1 वर्ष 

\(\displaystyle \begin{array}{l}A=60000{{\left( {1+\frac{6}{{100}}} \right)}^{1}}\\A=60000\left( {\frac{{100+6}}{{100}}} \right)\\A=60000\times \frac{{106}}{{100}}\end{array}\)A = 600 × 106
A = ₹ 63600  
अतः जब समय 6 माह होगा तो मिश्रधन = ₹ 63,600 है।

(ii) अतः जब समय 1 वर्ष हो तो,
मूलधन = ₹ 60,000
दर = 6%
समय = 2 वर्ष 
\(\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=60000{{\left( {1+\frac{6}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=60000{{\left( {\frac{{100+6}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=60000\times {{\left( {\frac{{106}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=60000\times \frac{{106}}{{100}}\times \frac{{106}}{{100}}\end{array}\)
A = 6 × 106 × 106
A = 67,416
अतः जब समय 1 वर्ष होगा तो मिश्रधन = ₹ 67,416 है।

6. आरिफ ने एक बैंक से  ₹ 80,000 का कर्ज लिया। यदि ब्याज की दर 10% वार्षिक है तो \(\displaystyle 1\frac{1}{2}\) वर्ष पश्चात् उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशियों में अंतर ज्ञात कीजिए। यदि ब्याज (i) वार्षिक संयोजित होता है (ii) अर्धवार्षिक संयोजित होता है।
हल : (i) वार्षिक संयोजित हो
मूलधन = ₹ 80,000
ब्याज की दर = 10%
समय = \(\displaystyle 1\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=80000{{\left( {1+\frac{{10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=80000{{\left( {\frac{{100+10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=80000\times {{\left( {\frac{{110}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=80000\times \frac{{110}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}\)A = 8 × 110 × 105
A = 92,400

(ii) अर्धवार्षिक संयोजित होता है।
मूलधन = ₹ 80,000
(जब दर अर्धवार्षिक हो, समय दोगुना तथा दर आधी हो जाती है।)
ब्याज की दर = 5%
समय = 3 वर्ष 
\(\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=80000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=80000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=80000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=80000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}\)
A = 2 × 21 × 21 × 105
A = 92610 रु

7. मरिया ने किसी व्यापार में रु 8000 का निवेश किया। उसे 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान किया जाएगा। यदि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है तो 
(i) दो वर्ष के अंत में उसके नाम से जमा की गई राशि ज्ञात कीजिए।
(ii) तीसरे वर्ष का व्याज ज्ञात कीजिए।
हल : (i) दो वर्ष के अंत में उसके नाम से जमा की गई राशि ज्ञात कीजिए।
मूलधन = 8000 रु 
दर = 5% वार्षिक 
समय = 2 वर्ष 

\(\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\)\(\displaystyle \begin{array}{l}A=8000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=8\times 105\times \frac{{105}}{{10}}\end{array}\)A = 4 × 21 × 105
A = 8820 रु 

(ii) तीसरे वर्ष का व्याज ज्ञात कीजिए।
\(\displaystyle \begin{array}{l}A=8000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=8000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=8000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=8000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=\frac{{8\times 105\times 105\times 105}}{{1000}}\end{array}\)
A = 21 × 21 × 21
A = 9261 रु 
अतः 3 वर्ष और 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याजों में अंतर = 9261 – 8820
= 441 रु 

8. रु 10,000 पर \(\displaystyle 1\frac{1}{2}\) वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज और कुल राशि ज्ञात कीजिए जबकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होने है। क्या यह ब्याज उस ब्याज से अधिक होगा जो उसे वार्षिक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा ?
हल : (जब दर अर्धवार्षिक हो, समय दोगुना तथा दर आधी हो जाती है।)
मूलधन = 10,000 रु 
समय = 3 वर्ष 
दर = 5%

\(\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\)\(\displaystyle \begin{array}{l}A=10000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=\frac{{105\times 105\times 105}}{{100}}\\A=\frac{{21\times 21\times 105}}{4}\\A=\frac{{46305}}{4}\end{array}\)
A = 11576.25 ru
CI = A – P
CI = 11576.25 – 10000
CI = 1576.25 रु 

यदि मूलधन वार्षिक ब्याज की दर पर लिया गया हो तो –
मूलधन = 10,000 रु 
दर = \(\displaystyle 1\frac{1}{2}\) वर्ष 
समय = 10%
\(\displaystyle \begin{array}{l}A=10000{{\left( {1+\frac{{10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=10000{{\left( {\frac{{100+10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=10000\times {{\left( {\frac{{110}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=10000\times \frac{{110}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}\)
A = 110 × 105
A = 11550 रु 
हाँ। अर्धवार्षिक वाला ब्याज वार्षिक दर वाले ब्याज की तुलना में अधिक है।

9. यदि राम रु 4096  18 महीने के लिए \(\displaystyle 12\frac{1}{2}\%\) वार्षिक दर पर उधार देता है और ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि राम कुल राशि प्राप्त करेगा।
हल : मूलधन = 4096 रु 
चूँकि जब दर अर्धवार्षिक हो, समय दोगुना तथा दर आधी हो जाती है।
अतः समय = 18 महीने या \(\displaystyle 1\frac{1}{2}\) = 3 वर्ष 
दर = \(\displaystyle 12\frac{1}{2}\%\) = \(\displaystyle 1\frac{25}{4}\) %

\(\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\)\(\displaystyle \begin{array}{l}A=4096{{\left( {1+\frac{{25}}{4}\times \frac{1}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=4096{{\left( {1+\frac{1}{{16}}} \right)}^{3}}\\A=4096{{\left( {\frac{{16+1}}{{16}}} \right)}^{3}}\\A=4096{{\left( {\frac{{17}}{{16}}} \right)}^{3}}\\A=4096\times \frac{{17}}{{16}}\times \frac{{17}}{{16}}\times \frac{{17}}{{16}}\end{array}\)A = 17 × 17 × 17
A = 4913 रु 

10. 5% वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2003 के अंत में एक स्थान कि जनसंख्या 54,000 हो गई। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) वर्ष 2001 में जनसंख्या
(ii) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी ?
हल : (i) वर्ष 2001 में जनसंख्या
2003 कि जनसंख्या (बाद कि जनसंख्या) = 54,000
दर = 5%
समय = 2 वर्ष 
2001 कि जनसंख्या = x

सूत्र में मान रखने पर – 
\(\displaystyle \begin{array}{l}54000=x{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{2}}\\54000=x{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\54000=x{{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{2}}\\54000=x{{\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)}^{2}}\\54000=x\times \frac{{21}}{{20}}\times \frac{{21}}{{20}}\end{array}\)
x × 21 × 21 = 54000 × 20 × 20     (व्रज गुणा से)
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{54000\times 20\times 20}}{{21\times 21}}\\x=\frac{{6000\times 20\times 20}}{{7\times 7}}\\x=\frac{{2400000}}{{49}}\end{array}\)
x = 48,980 (लगभग)

(ii) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी ?
2003 कि जनसंख्या (पूर्व कि जनसंख्या) = 54,000
दर = 5%
समय = 2 वर्ष 
2005 कि जनसंख्या = x (बाद की जनसंख्या)

सूत्र में मान रखने पर – 
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=54000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=54000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=54000{{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=54000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}\)
x = 27 × 21 × 105
x = 59535

11. एक प्रयोगशाला में, किसी निश्चित प्रयोग में बैक्टीरिया की संख्या 2.5% प्रति घंटे कि दर से बढ़ रही है। यदि प्रयोग शुरू में बैक्टीरिया की संख्या 5,06,000 थी तो 2 घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : बैक्टीरिया की पूर्व की संख्या = 5,06,000
समय = 2 घंटे 
दर = 2.5%
बाद की संख्या = x

\(\displaystyle \begin{array}{l}x=506000{{\left( {1+\frac{{2.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=506000{{\left( {\frac{{100+2.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=506000{{\left( {\frac{{102.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=506000\times \frac{{102.5}}{{100}}\times \frac{{102.5}}{{100}}\\x=506\times 102.5\times \frac{{102.5}}{{10}}\\x=\frac{{5316162.5}}{{10}}\end{array}\)
x = 531616 (लगभग)

12. एक स्कूटर रु 42,000 में ख़रीदा गया। 8% वार्षिक दर से इसके मूल्य का अवमूल्यन हो गया। 1 वर्ष के बाद स्कूटर का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : स्कूटर का मूल्य = रु 42,000
दर = – 8% (चूँकि वार्षिक दर में कमी हो रही है अतः ऋणात्मक चिन्ह लगेगा)
समय = 1 वर्ष 

\(\displaystyle \begin{array}{l}x=42000{{\left( {1-\frac{8}{{100}}} \right)}^{1}}\\x=42000{{\left( {\frac{{100-8}}{{100}}} \right)}^{1}}\\x=42000{{\left( {\frac{{92}}{{100}}} \right)}^{1}}\\x=42000\times \frac{{92}}{{100}}\end{array}\)
x = 420 × 92
x = 38,640