Tuesday, November 28, 2023
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# NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 8 Comparing Quantities | एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित अध्याय 8 राशियों की तुलना

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## NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 Maths Chapter 8ncert class 8 maths solutions pdf

### प्रश्नावली – 8राशियों की तुलनाComparing Quantitiesगणितप्रश्नावली 8.1

1. निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए :
(a) एक साइकिल की 15 km प्रतिघंटे की गति का एक स्कूटर की 30 km प्रतिघंटे की गति से।
हल : साइकिल की चाल : स्कूटर की चाल
15 km : 30 km
दोनों संख्याएँ 15 से विभाजित है अतः सरल अनुपात
1 : 2

(b) 5 m का 10 km से
हल : km को m में बदलने पर –
10 km = 10000 m
अतः अनुपात = 5 : 10000
= 1 : 2000

(c) 50 पैसे का 5 रु से
हल : रु को पैसे में बदलने पर –
5 रु = 500 पैसे
अतः अनुपात = 5 : 500
= 1 : 100

2. निम्नलिखित अनुपातों को प्रतिशत में परिवर्तित कीजिए :
(a) 3 : 4
हल : प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुणा करने पर –
= $$\displaystyle \frac{3}{4}$$
= 3 × 25
= 75%

(b) 2 : 3
हल : प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुणा करने पर –
= $$\displaystyle \frac{2}{3}\times 100$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{200}}{3}\\=66\frac{2}{3}\end{array}$$

3. 25 विद्यार्थियों में से 72% विद्यार्थी गणित में अच्छे हैं। कितने विद्यार्थी गणित में अच्छे नहीं हैं ?
हल : कुल विद्यार्थी = 25
गणित में अच्छे विद्यार्थियों का प्रतिशत = 72%
अतः उन विद्यार्थियों का प्रतिशत जो गणित में अच्छे नहीं हैं = 100 – 72 = 28%

4. एक फुटबॉल टीम ने कुल जितने मैच खेले उनमें से 10 में जीत हसिल की। यदि उनकी जीत का प्रतिशत 40 था तो उस टीम ने कुल कितने मैच खेले ?
हल : मानाकि टीम ने कुल मैच खेले = ?
जीत का प्रतिशत = 40%
जीते मैचों की संख्या = 10
अतः x का 40% = 10
$$\displaystyle x\times \frac{{40}}{{100}}=10$$
40x = 1000 (वज्र गुणा से)
$$\displaystyle x=\frac{{1000}}{{40}}$$
? = 25 मैच

5. यदि चमेली के पास अपने धन का 75% खर्च करने के बाद 600 रुपये बचे तो ज्ञात कीजिए कि उसके पास शुरू में कितने रुपये थे ?
हल : मानाकि की कुल धन = ?
खर्च का प्रतिशत = 75%
इसलिए बचत का प्रतिशत = 100 – 75 = 25%
अतः ? का 25% = 600
? × 25 / 100 = 600
25? = 60000
$$\displaystyle x=\frac{{60000}}{{25}}$$
? = 2400 रुपये

6. यदि किसी शहर में 60% व्यक्ति क्रिकेट पसंद करते है, 30% फुटबॉल पसंद करते हैं और शेष अन्य खेल पसंद करते हैं, तो ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत व्यक्ति अन्य खेल पसंद करते है ? यदि कुल व्यक्ति 50 लाख हैं तो प्रत्येक प्रकार के खेल को पसंद करने वाले व्यक्तियों की यथार्थ संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : शहर में क्रिकेट पसंद करने वालो का प्रतिशत = 60%
फुटबॉल पसंद करने वालो का प्रतिशत = 30%
अतः अन्य खेल पसंद करने वालो का प्रतिशत = 100 – 60 – 30
= 100 – 90
= 10%
यदि कुल व्यक्तियों की संख्या = 50 लाख
तो क्रिकेट पसंद करने वालों की संख्या = $$\displaystyle \frac{{50L\times 60}}{{100}}$$
= 5 × 6
= 30 लाख
फुटबॉल पसंद करने वालो की संख्या = $$\displaystyle \frac{{50L\times 30}}{{100}}$$
= 5 × 3
= 15 लाख
अन्य खेल पसंद करने वालों की संख्या = $$\displaystyle \frac{{50L\times 10}}{{100}}$$
= 5 लाख

### NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 Maths Chapter 8class 8th mathsncert class 8 maths solutions pdf प्रश्नावली 8.2

1. एक व्यक्ति के वेतन में 10% वृद्धि होती है। यदि उसका नया वेतन 1,54,000 रु है तो उसका मूल वेतन ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि मूल वेतन 100 रु है।
वृद्धि 10% या 10 रु
तो नया वेतन = 100 + 10 = 110 रु
∵ नया वेतन 110 रु तो मूल वेतन = 100 रु
∴ नया वेतन 1 रु तो मूल वेतन = $$\displaystyle \frac{{100}}{{110}}$$
∴ नया वेतन 1,54,000 रु तो मूल वेतन = $$\displaystyle \frac{{100}}{{110}}\times 15400$$
= 100 × 1400
= 140000 रु

2. रविवार को 845 व्यक्ति चिड़ियाघर गए। सोमवार को केवल 169 व्यक्ति गए। चिड़ियाघर की सैर करने वाले व्यक्तियों की संख्या में सोमवार को कितने प्रतिशत कमी हुई ?
हल : रविवार को चिड़ियाघर गए व्यक्तियों की संख्या = 845
सोमवार को चिड़ियाघर गए व्यक्तियों की संख्या = 169
कमी = 845 – 169
= 676
कमी का प्रतिशत = $$\displaystyle \frac{{676}}{{845}}\times 100$$
= 80%

3. एक दुकानदार 2400 रु में 80 वस्तुएँ खरीदता है और उन्हें 16% लाभ पर बेचता है। एक वस्तु का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : ∵ 80 वस्तुओं का क्रय मूल्य = 2400 रु
∴ 1 वस्तु का क्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{2400}}{{80}}$$
= 30 रु
मानाकि की वस्तु का क्रय मूल्य = 100 रु
लाभ 16% या 16 रु
तो विक्रय मूल्य = 100 + 16 = 116 रु
∵ क्रय मूल्य 100 रु तो विक्रय मूल्य = 116 रु
∴ क्रय मूल्य 1 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{116}}{{100}}$$
∴ क्रय मूल्य 30 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{116}}{{100}}\times 30$$
= $$\displaystyle \frac{{3480}}{{100}}$$
= 34.80 रु

4. एक वस्तु का मूल्य 15,500 रु था। 450 रु इसकी मरम्मत पर खर्च किए गए थे। यदि उसे 15% लाभ पर बेचा जाता है तो उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : वस्तु को खरीदा = 15,500 रु
मरम्मत में खर्च = 450 रु
वस्तु का कुल क्रय मूल्य = 15500 + 450
= 15950 रु
मानाकि वस्तु का क्रय मूल्य = 100 रु
लाभ = 15% या 15 रु
अतः विक्रय मूल्य = 100 + 15 = 115
∵ क्रय मूल्य 100 रु तो विक्रय मूल्य = 115 रु
∴ क्रय मूल्य 1 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{115}}{{100}}$$
∴ क्रय मूल्य 15950 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{115}}{{100}}\times 15950$$
= $$\displaystyle \frac{{115}}{{10}}\times 1595$$
= $$\displaystyle \frac{{183425}}{{10}}$$
= 18342.50 रु

5. एक VCR और TV में से प्रत्येक को ₹ 8000 में खरीदा। दुकानदार को VCR पर 4% हानि और TV पर 8% लाभ हुआ। इस पूरे लेन-देन में लाभ अथवा हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल : VCR का क्रय मूल्य = 8000 रु
मानाकि VCR का क्रय मूल्य = 100 रु
हानि हानि = 4 % या 4 रु
तो विक्रय मूल्य = 100 – 4 = 96 रु
∵ VCR का क्रय मूल्य 100 रु तो विक्रय मूल्य = 96 रु
∴ VCR का क्रय मूल्य 1 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{96}}{{100}}$$
∵ VCR का क्रय मूल्य 8000 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{96}}{{100}}\times 8000$$
= 96 × 80
= 7680 रु
इसी प्रकार TV का क्रय मूल्य = 8000 रु
मानाकि TV का क्रय मूल्य = 100 रु
लाभ = 8% या 8 रु
तो विक्रय मूल्य = 100 + 8 = 108 रु
∵ क्रय मूल्य 100 रु तो विक्रय मूल्य = 108 रु
∴ क्रय मूल्य 1 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{108}}{{100}}$$
∵ क्रय मूल्य 8000 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{108}}{{100}}\times 8000$$
= 108 × 80
= 8640 रु
कुल क्रय मूल्य = VCR का क्रय मूल्य + TV का क्रय मूल्य
= 8000 + 8000
= 16000 रु
कुल विक्रय मूल्य = VCR का क्रय मूल्य + TV का क्रय मूल्य
= 7680 + 8640
= 16320 रु
कुल लाभ = कुल विक्रय मूल्य – कुल क्रय मूल्य
= 16320 – 16000
= 320 रु
कुल लाभ प्रतिशत = (कुल लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100
= $$\displaystyle \frac{{320}}{{16000}}\times 100$$
= $$\displaystyle \frac{{320}}{{160}}$$
= 2% लाभ

6. सेल के दौरान एक दुकान सभी वस्तुओं के अंकित मूल्य पर 10% बट्टा देती हैं। ₹ 1450 अंकित मूल्य वाला एक जीन्स और दो कमीजें, जिनमें से प्रत्येक का अंकित मूल्य ₹ 850 है, को खरीदने के लिए किसी ग्राहक को कितना भुगतान करना पड़ेगा ?
हल : एक जीन्स का मूल्य = 1450 रु
दो कमीजों का मूल्य = 2 × 850 = 1700 रु
एक जीन्स और दो कमीजों का कुल क्रय मूल्य = 1450 + 1700 = 3150 रु
बट्टा प्रतिशत = 10%
बट्टा का मूल्य = $$\displaystyle \frac{{3150\times 10}}{{100}}$$
= 315 रु
अतः बट्टा काटने के बाद वस्तुओं का मूल्य = 3150 – 315
= 2835 रु
अतः ग्राहक को 2835 रु का भुगतान करना पड़ेगा।

7. एक दूधवाले ने अपनी दो भैंसों को ₹ 20,000 प्रति भैंस की दर से बेचा। एक भैंस पर उसे 5% लाभ हुआ और दूसरी 10% हानि हुई। इस सौदे में उसका कुल लाभ अथवा हानि ज्ञात कीजिए। (संकेत : पहले प्रत्येक का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए)
हल : मानाकि पहली भैंस का क्रय मूल्य = 100 रु
लाभ = 5% या 5 रु
तो विक्रय मूल्य = 100 + 5 = 105 रु
अतः ऐकिक नियम से –
∵ विक्रय मूल्य 105 रु तो क्रय मूल्य = 100 रु
∴ विक्रय मूल्य 1 रु तो क्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{105}}$$
∴ विक्रय मूल्य 20,000 रु तो क्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{105}}\times 20000$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{20}}{{21}}\times 20000\\=\frac{{400000}}{{21}}\end{array}$$
= 19047.61 रु
इसी प्रकार
मानाकि दूसरी भैंस का क्रय मूल्य = 100
हानि = 10% या 10 रु
तो विक्रय मूल्य = 100 – 10 = 90 रु
अतः ऐकिक नियम से –
∵ विक्रय मूल्य 90 रु तो क्रय मूल्य = 100 रु
∴ विक्रय मूल्य 1 रु तो क्रय मूल्य =$$\displaystyle \frac{{100}}{{90}}$$
∴ विक्रय मूल्य 20,000 रु तो क्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{90}}\times 20000$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{10}}{9}\times 20000\\=\frac{{200000}}{{21}}\end{array}$$
= 22,222.22 रु
अतः कुल विक्रय मूल्य = 20,000 + 20,000 = 40,000 रु
कुल क्रय मूल्य = पहली भैंस का क्रय मूल्य + दूसरी भैंस का क्रय मूल्य
= 19,047.61 + 22,222.22 = 41,269.83 रु
क्योकि क्रय मूल्य विक्रय मूल्य से अधिक है अतः कुल सौदे पर होगी।
हानि = क्रय मूल्य – विक्रय मूल्य
= 41,269.83 – 40,000 = 1269.83 रु

8. एक टेलीविजन का मूल्य ₹ 13,000 है। इस पर 12% की दर से बिक्री कर वसूला जाता है। यदि विनोद इस टेलीविजन को खरीदता है तो उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिये।
हल : टेलीविजन का मूल्य = 13,000 रु
बिकी कर = 12%
∴ 13,000 पर बिक्री कर = $$\displaystyle \frac{{13000\times 12}}{{100}}$$
= 130 × 12
= 1560 रु
टेलीविजन का कुल क्रय मूल्य = टेलीविजन का मूल्य + बिक्री कर
= 13,000 + 1560
=  14,560 रु
अतः विनोद उस टेलीविजन को ₹ 14,560 में खरीदेगा।

9. अरुण एक जोड़ी स्केट्स (पहियेदार जुते) किसी सेल से खरीदकर लाया जिस पर दिए गए बट्टे की दर 20% थी। यदि उसके द्वारा भुगतान की गई राशि ₹ 1600 है तो अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि जूते का अंकित मूल्य = 100 रु
बट्टा = 20% या 20 रु
अतः क्रय मूल्य = 100 – 20 = 80 रु
ऐकिक नियम से –
∵ क्रय मूल्य 80 रु तो अंकित मूल्य = 100 रु
∴ क्रय मूल्य 1 रु तो अंकित मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{80}}$$
∴ क्रय मूल्य 1600 रु तो अंकित मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{80}}\times 1600$$
= 100 × 20
= 2000 रु
अतः जूते का अंकित मूल्य 2000 रु होगा।

10. मैंने एक हेयर ड्रायर 8% वैट सहित ₹ 5400  खरीदा। वैट को जोड़ने से पहले का मूल्य ज्ञात कीजिए
हल : मानाकि हेयर ड्रायर का मूल्य = 100 रु
वैट = 8% या 8 रु
तो क्रय मूल्य = 100 + 8 = 108 रु
ऐकिक नियम से –
∵ हेयर ड्रायर का क्रय मूल्य 108 रु तो पहले का मूल्य = 100 रु
∴ हेयर ड्रायर का क्रय मूल्य 1 रु तो पहले का मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{108}}$$
∴ हेयर ड्रायर का क्रय मूल्य 5400 रु तो पहले का मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{108}}\times 5400$$
= 100 × 50
= 5000 रु
अतः हेयर ड्रायर का पहले का मूल्य = 5000 रु होगा।

11. कोई वस्तु 18% जी.एस.टी. सम्मिलित करने के बाद ₹ 1239 में खरीदी गई। जी.एस.टी. जोड़ने से पहले का उस वस्तु का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि  जी.एस.टी. से पहले वस्तु का क्रय मूल्य = 100 रु
जी.एस.टी. = 18% या 18 रु
अतः वस्तु का बाद का क्रय मूल्य = 100 + 18 = 118 रु
ऐकिक नियम से –
∵ बाद का मूल्य 118 रु तो पहले का मूल्य = 100 रु
∴ बाद का मूल्य 1 रु तो पहले का मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{118}}$$
∵ बाद का मूल्य 1239 रु तो मूल्य = $$\displaystyle \frac{{100}}{{108}}\times 1239$$
= $$\displaystyle \frac{{123900}}{{118}}$$
= 1050 रु

#### NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 Maths Chapter 8class 8th mathsncert class 8 maths solutions pdf प्रश्नावली 8.3

1. निम्नलिखित के लिए कुल राशि एवं चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए :
(a) ₹ 10,800 पर 3 वर्ष के लिए $$\displaystyle 12\frac{1}{2}$$% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
(b) ₹ 18,000 पर $$\displaystyle 2\frac{1}{2}$$ वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
(c) ₹ 62,500 पर $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
(d) ₹ 8000 पर 1 वर्ष के लिए 9% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
(आप सत्यापन करने के लिए साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हुए एक के बाद दूसरे वर्ष के लिए परिकलन कार् सकते हैं)
(e) ₹ 10,000 पर 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।

हल : (a) ₹ 10,800 पर 3 वर्ष के लिए $$\displaystyle 12\frac{1}{2}$$% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$
जहाँ A (मिश्रधन) ज्ञात करना है।
P (मूलधन) = 10,800 रु
R (दर) = $$\displaystyle 12\frac{1}{2}$$%
T (समय) = 3 वर्ष
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=10800{{\left( {1+\frac{{25}}{2}\times \frac{1}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10800{{\left( {1+\frac{1}{8}} \right)}^{3}}\\A=10800{{\left( {\frac{{8+1}}{8}} \right)}^{3}}\\A=10800{{\left( {\frac{9}{8}} \right)}^{3}}\\A=10800\times \frac{9}{8}\times \frac{9}{8}\times \frac{9}{8}\\A=1350\times 9\times \frac{9}{8}\times \frac{9}{8}\\A=\frac{{984150}}{{64}}\end{array}$$
A (मिश्रधन) = Rs 15377.34
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = मिश्रधन (A) – मूलधन (P)
CI = 15377.34 – 10800
CI = ₹ 4577.34

(b) ₹ 18,000 पर $$\displaystyle 2\frac{1}{2}$$ वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
हल : $$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$
जहाँ A (मिश्रधन) ज्ञात करना है।
P (मूलधन) = ₹ 18,000
R (दर) = 10% वार्षिक
T (समय) = $$\displaystyle 2\frac{1}{2}$$ वर्ष
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=18000{{\left( {1+\frac{{10}}{{100}}} \right)}^{{2\frac{1}{2}}}}\\A=18000{{\left( {\frac{{110}}{{100}}} \right)}^{{2\frac{1}{2}}}}\\A=18000\times \frac{{110}}{{100}}\times \frac{{110}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}$$
A = 9 × 11 × 11 × 21
A (मिश्रधन) = ₹ 22869
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = मिश्रधन (A) – मूलधन (P)
CI = 22869 – 18000
CI = ₹ 4869

(c) ₹ 62,500 पर $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
हल : चूँकि दर अर्द्धवार्षिक संयोजित है अतः समय दुगुना एवं दर आधी हो जाएगी।
$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$
जहाँ A (मिश्रधन) ज्ञात करना है।
P (मूलधन) = ₹ 62,500
R (दर) = 10% अर्धवार्षिक (दर 4% हो जाएगी)
T (समय) = $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ वर्ष (समय 3 वर्ष हो जाएगा)
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=62500{{\left( {1+\frac{4}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=62500{{\left( {\frac{{104}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=62500\times \frac{{104}}{{100}}\times \frac{{104}}{{100}}\times \frac{{104}}{{100}}\end{array}$$
A = 4 × 26× 26 × 26
A = 70304
A (मिश्रधन) = ₹ 70304
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = मिश्रधन (A) – मूलधन (P)
CI = 70304 – 62500
CI = ₹ 7804

(d) ₹ 8000 पर 1 वर्ष के लिए 9% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
हल : चूँकि दर अर्द्धवार्षिक संयोजित है अतः समय दुगुना एवं दर आधी हो जाएगी।

$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$
जहाँ A (मिश्रधन) ज्ञात करना है।
P (मूलधन) = ₹ 8,000
R (दर) = 9% अर्धवार्षिक (दर 4.5% हो जाएगी)
T (समय) = 1 वर्ष (समय 2 वर्ष हो जाएगा)
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=8000{{\left( {1+\frac{{4.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000{{\left( {\frac{{104.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000\times \frac{{104.5}}{{100}}\times \frac{{104.5}}{{100}}\times \frac{{104.5}}{{100}}\end{array}$$
A = 8736.20
A (मिश्रधन) = ₹ 8736.20
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = मिश्रधन (A) – मूलधन (P)
CI = 8736.20 – 8000
CI = ₹ 736.20

(e) ₹ 10,000 पर 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर।
हल : चूँकि दर अर्द्धवार्षिक संयोजित है अतः समय दुगुना एवं दर आधी हो जाएगी।
$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$
जहाँ A (मिश्रधन) ज्ञात करना है।
P (मूलधन) = ₹ 10,000
R (दर) = 8% अर्धवार्षिक (दर 4% हो जाएगी)
T (समय) = 1 वर्ष (समय 2 वर्ष हो जाएगा)
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=10000{{\left( {1+\frac{4}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=10000{{\left( {\frac{{100+4}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=10000{{\left( {\frac{{104}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=10000\times \frac{{104}}{{100}}\times \frac{{104}}{{100}}\end{array}$$
A = 104 × 104
A = 10816
A (मूलधन) = 10816
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = मिश्रधन (A) – मूलधन (P)
CI = 10816 – 10000
CI = ₹ 816

2. कमला ने एक स्कूटर खरीदने के लिए किसी बैंक से ₹ 26,400, 15% वार्षिक दर से उधार लिए जबकि ब्याज वार्षिक संयोजित है। 2 वर्ष 4 महीने के अंत में उधार चुकता करने के लिए उसे कितनी राशि का भुगतान करना पड़ेगा?
$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$
जहाँ A (मिश्रधन) ज्ञात करना है।
P (मूलधन) = ₹ 26,400
R (दर) = 15%
T (समय) = 2 वर्ष 4 महीने या $$\displaystyle 2\frac{1}{4}$$ वर्ष
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=26400{{\left( {1+\frac{{15}}{{100}}} \right)}^{{2\frac{1}{4}}}}\\A=26400{{\left( {\frac{{100+15}}{{100}}} \right)}^{{2\frac{1}{4}}}}\\A=26400{{\left( {\frac{{115}}{{100}}} \right)}^{{2\frac{1}{4}}}}\\A=26400\times \frac{{115}}{{100}}\times \frac{{115}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=\frac{{33\times 23\times 23\times 21}}{{10}}\end{array}$$
A = 36659.70
A (मिश्रधन) = ₹ 36659.70

3. फैबिना ने ₹ 12,500  3 वर्ष के लिए 12% वार्षिक दर से साधारण व्याज पर उधार लिए और राधा ने उतनी राशि उतने ही समय के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धी ब्याज पर उधार ली जबकि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होना है। किसे अधिक ब्याज का भुगतान करना है और कितना अधिक करना है ?
हल : फैबिना द्वारा उधार ली गई राशि = मूलधन = ₹ 12,500
दर = 12%
समय = 3 वर्ष

$$\displaystyle S.I.=\frac{{PRT}}{{100}}$$$$\displaystyle S.I.=\frac{{12500\times 12\times 3}}{{100}}$$S.I. = 125 × 12 × 3
S.I = ₹ 4500

राधा द्वारा उधार ली गई राशि = मूलधन = 12,500 रु
दर = 10%
समय = 3 वर्ष

$$\displaystyle CI=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}-P$$4500-4137.50
$$\displaystyle \begin{array}{l}CI=12500{{\left( {1+\frac{{10}}{{100}}} \right)}^{3}}-12500\\CI=12500{{\left( {\frac{{100+10}}{{100}}} \right)}^{3}}-12500\\CI=12500{{\left( {\frac{{110}}{{100}}} \right)}^{3}}-12500\\CI=12500{{\left( {\frac{{11}}{{10}}} \right)}^{3}}-12500\\CI=12500\times \frac{{11}}{{10}}\times \frac{{11}}{{10}}\times \frac{{11}}{{10}}-12500\\CI=25\times \frac{{1331}}{2}-12500\\CI=\frac{{33275}}{2}-12500\end{array}$$CI = 16637.50 – 12500
CI = 4137.50
अतः फैबिना को अधिक ब्याज चुकाना पड़ा।
ब्याज में अंतर = 4500 – 4137.50
= ₹ 362.50 अधिक।

4. मैंने जमशेद से ₹ 12,000  2 वर्ष के लिए 6% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिए। यदि मैंने यह राशि 6% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि  ब्याज पर उधार ली हुई होती तो मुझे कितनी अतिरिक्त राशि का भुगतान करना पड़ता ?
हल : मूलधन = ₹ 12,000
समय = 2 वर्ष
दर = 6% वार्षिक
जब धन साधारण ब्याज पर उधार लिया गया हो तो –

$$\displaystyle S.I.=\frac{{PRT}}{{100}}$$$$\displaystyle SI=\frac{{12000\times 2\times 6}}{{100}}$$SI = 120 × 2 × 6
SI = ₹ 1440

जब धन चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार लिया गया हो तो –

$$\displaystyle CI=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}-P$$$$\displaystyle \begin{array}{l}CI=12000{{\left( {1+\frac{6}{{100}}} \right)}^{2}}-12000\\CI=12000{{\left( {\frac{{100+6}}{{100}}} \right)}^{2}}-12000\\CI=12000{{\left( {\frac{{106}}{{100}}} \right)}^{2}}-12000\\CI=12000\times \frac{{106}}{{100}}\times \frac{{106}}{{100}}-12000\\CI=12\times \frac{{106\times 106}}{{10}}-12000\\CI=\frac{{134832}}{{10}}-12000\end{array}$$CI = 13483.20 – 12000
CI = ₹ 1483.20
अतः जमशेद द्वारा ली गई राशि पर दोनों ब्याजों में अंतर = 1483.20 – 1440
= ₹ 43.20

5. वासुदेवन ने 12% वार्षिक दर पर ₹ 60,000 का निवेश किया। यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि वह (i) 6 महीने के अंत में (ii) एक वर्ष के अंत में, कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा ?
हल : मूलधन = ₹ 60,000
दर = 12% (अर्धवार्षिक)
जब दर अर्धवार्षिक संयोजित हो, तो दर आधी और समय दुगुना हो जाता है।
(i) अतः जब समय 6 माह हो तो,
मूलधन = ₹ 60,000
दर = 6%
समय = 1 वर्ष

$$\displaystyle \begin{array}{l}A=60000{{\left( {1+\frac{6}{{100}}} \right)}^{1}}\\A=60000\left( {\frac{{100+6}}{{100}}} \right)\\A=60000\times \frac{{106}}{{100}}\end{array}$$A = 600 × 106

A = ₹ 63600
अतः जब समय 6 माह होगा तो मिश्रधन = ₹ 63,600 है।

(ii) अतः जब समय 1 वर्ष हो तो,
मूलधन = ₹ 60,000
दर = 6%
समय = 2 वर्ष
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=60000{{\left( {1+\frac{6}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=60000{{\left( {\frac{{100+6}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=60000\times {{\left( {\frac{{106}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=60000\times \frac{{106}}{{100}}\times \frac{{106}}{{100}}\end{array}$$
A = 6 × 106 × 106
A = 67,416
अतः जब समय 1 वर्ष होगा तो मिश्रधन = ₹ 67,416 है।

6. आरिफ ने एक बैंक से  ₹ 80,000 का कर्ज लिया। यदि ब्याज की दर 10% वार्षिक है तो $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ वर्ष पश्चात् उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशियों में अंतर ज्ञात कीजिए। यदि ब्याज (i) वार्षिक संयोजित होता है (ii) अर्धवार्षिक संयोजित होता है।
हल : (i) वार्षिक संयोजित हो
मूलधन = ₹ 80,000
ब्याज की दर = 10%
समय = $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$

$$\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=80000{{\left( {1+\frac{{10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=80000{{\left( {\frac{{100+10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=80000\times {{\left( {\frac{{110}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=80000\times \frac{{110}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}$$A = 8 × 110 × 105
A = 92,400

(ii) अर्धवार्षिक संयोजित होता है।
मूलधन = ₹ 80,000
(जब दर अर्धवार्षिक हो, समय दोगुना तथा दर आधी हो जाती है।)
ब्याज की दर = 5%
समय = 3 वर्ष
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}\\A=80000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=80000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=80000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=80000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}$$
A = 2 × 21 × 21 × 105
A = 92610 रु

7. मरिया ने किसी व्यापार में रु 8000 का निवेश किया। उसे 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान किया जाएगा। यदि ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है तो
(i) दो वर्ष के अंत में उसके नाम से जमा की गई राशि ज्ञात कीजिए।
(ii) तीसरे वर्ष का व्याज ज्ञात कीजिए।
हल : (i) दो वर्ष के अंत में उसके नाम से जमा की गई राशि ज्ञात कीजिए।
मूलधन = 8000 रु
दर = 5% वार्षिक
समय = 2 वर्ष

$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$$$\displaystyle \begin{array}{l}A=8000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{2}}\\A=8000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=8\times 105\times \frac{{105}}{{10}}\end{array}$$A = 4 × 21 × 105

A = 8820 रु

(ii) तीसरे वर्ष का व्याज ज्ञात कीजिए।
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=8000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=8000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=8000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=8000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=\frac{{8\times 105\times 105\times 105}}{{1000}}\end{array}$$
A = 21 × 21 × 21
A = 9261 रु
अतः 3 वर्ष और 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याजों में अंतर = 9261 – 8820
= 441 रु

8. रु 10,000 पर $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज और कुल राशि ज्ञात कीजिए जबकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होने है। क्या यह ब्याज उस ब्याज से अधिक होगा जो उसे वार्षिक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा ?
हल : (जब दर अर्धवार्षिक हो, समय दोगुना तथा दर आधी हो जाती है।)
मूलधन = 10,000 रु
समय = 3 वर्ष
दर = 5%

$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$$$\displaystyle \begin{array}{l}A=10000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10000\times {{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=10000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\\A=\frac{{105\times 105\times 105}}{{100}}\\A=\frac{{21\times 21\times 105}}{4}\\A=\frac{{46305}}{4}\end{array}$$

A = 11576.25 ru
CI = A – P
CI = 11576.25 – 10000
CI = 1576.25 रु

यदि मूलधन वार्षिक ब्याज की दर पर लिया गया हो तो –
मूलधन = 10,000 रु
दर = $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ वर्ष
समय = 10%
$$\displaystyle \begin{array}{l}A=10000{{\left( {1+\frac{{10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=10000{{\left( {\frac{{100+10}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=10000\times {{\left( {\frac{{110}}{{100}}} \right)}^{{1\frac{1}{2}}}}\\A=10000\times \frac{{110}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}$$
A = 110 × 105
A = 11550 रु
हाँ। अर्धवार्षिक वाला ब्याज वार्षिक दर वाले ब्याज की तुलना में अधिक है।

9. यदि राम रु 4096  18 महीने के लिए $$\displaystyle 12\frac{1}{2}\%$$ वार्षिक दर पर उधार देता है और ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि राम कुल राशि प्राप्त करेगा।
हल : मूलधन = 4096 रु
चूँकि जब दर अर्धवार्षिक हो, समय दोगुना तथा दर आधी हो जाती है।
अतः समय = 18 महीने या $$\displaystyle 1\frac{1}{2}$$ = 3 वर्ष
दर = $$\displaystyle 12\frac{1}{2}\%$$ = $$\displaystyle 1\frac{25}{4}$$ %

$$\displaystyle A=P{{\left( {1+\frac{R}{{100}}} \right)}^{T}}$$$$\displaystyle \begin{array}{l}A=4096{{\left( {1+\frac{{25}}{4}\times \frac{1}{{100}}} \right)}^{3}}\\A=4096{{\left( {1+\frac{1}{{16}}} \right)}^{3}}\\A=4096{{\left( {\frac{{16+1}}{{16}}} \right)}^{3}}\\A=4096{{\left( {\frac{{17}}{{16}}} \right)}^{3}}\\A=4096\times \frac{{17}}{{16}}\times \frac{{17}}{{16}}\times \frac{{17}}{{16}}\end{array}$$A = 17 × 17 × 17
A = 4913 रु

10. 5% वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2003 के अंत में एक स्थान कि जनसंख्या 54,000 हो गई। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) वर्ष 2001 में जनसंख्या
(ii) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी ?
हल : (i) वर्ष 2001 में जनसंख्या
2003 कि जनसंख्या (बाद कि जनसंख्या) = 54,000
दर = 5%
समय = 2 वर्ष
2001 कि जनसंख्या = x

सूत्र में मान रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}54000=x{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{2}}\\54000=x{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\54000=x{{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{2}}\\54000=x{{\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)}^{2}}\\54000=x\times \frac{{21}}{{20}}\times \frac{{21}}{{20}}\end{array}$$
x × 21 × 21 = 54000 × 20 × 20     (व्रज गुणा से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{54000\times 20\times 20}}{{21\times 21}}\\x=\frac{{6000\times 20\times 20}}{{7\times 7}}\\x=\frac{{2400000}}{{49}}\end{array}$$
x = 48,980 (लगभग)

(ii) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी ?
2003 कि जनसंख्या (पूर्व कि जनसंख्या) = 54,000
दर = 5%
समय = 2 वर्ष
2005 कि जनसंख्या = x (बाद की जनसंख्या)

सूत्र में मान रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=54000{{\left( {1+\frac{5}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=54000{{\left( {\frac{{100+5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=54000{{\left( {\frac{{105}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=54000\times \frac{{105}}{{100}}\times \frac{{105}}{{100}}\end{array}$$
x = 27 × 21 × 105
x = 59535

11. एक प्रयोगशाला में, किसी निश्चित प्रयोग में बैक्टीरिया की संख्या 2.5% प्रति घंटे कि दर से बढ़ रही है। यदि प्रयोग शुरू में बैक्टीरिया की संख्या 5,06,000 थी तो 2 घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : बैक्टीरिया की पूर्व की संख्या = 5,06,000
समय = 2 घंटे
दर = 2.5%
बाद की संख्या = x

$$\displaystyle \begin{array}{l}x=506000{{\left( {1+\frac{{2.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=506000{{\left( {\frac{{100+2.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=506000{{\left( {\frac{{102.5}}{{100}}} \right)}^{2}}\\x=506000\times \frac{{102.5}}{{100}}\times \frac{{102.5}}{{100}}\\x=506\times 102.5\times \frac{{102.5}}{{10}}\\x=\frac{{5316162.5}}{{10}}\end{array}$$
x = 531616 (लगभग)

12. एक स्कूटर रु 42,000 में ख़रीदा गया। 8% वार्षिक दर से इसके मूल्य का अवमूल्यन हो गया। 1 वर्ष के बाद स्कूटर का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : स्कूटर का मूल्य = रु 42,000
दर = – 8% (चूँकि वार्षिक दर में कमी हो रही है अतः ऋणात्मक चिन्ह लगेगा)
समय = 1 वर्ष

$$\displaystyle \begin{array}{l}x=42000{{\left( {1-\frac{8}{{100}}} \right)}^{1}}\\x=42000{{\left( {\frac{{100-8}}{{100}}} \right)}^{1}}\\x=42000{{\left( {\frac{{92}}{{100}}} \right)}^{1}}\\x=42000\times \frac{{92}}{{100}}\end{array}$$
x = 420 × 92
x = 38,640

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