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NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 12 Exponents and Powers
class 8th maths

कक्षा 8 गणित
प्रश्नावली – 12
घातांक और घात

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 12 Exponents and Powers
class 8th maths
Ex 12.1 
प्रश्नावली 12.1

प्रश्नावली 12.1

1. मान ज्ञात कीजिए :

(i) 3−2

(ii) (− 4)−2

(iii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{-5}}}\)

हल :
(i) 3⁻²
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{3}^{2}}}}\)  (∵ \(\displaystyle {{a}^{{-m}}}=\frac{1}{{{{a}^{m}}}}\) )
= \(\displaystyle \frac{1}{9}\)

(ii) (− 4)⁻²
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{{(-4)}}^{{2}}}}}\)  (∵ \(\displaystyle {{a}^{{-m}}}=\frac{1}{{{{a}^{m}}}}\) )
= \(\displaystyle \frac{1}{{16}}\)

(iii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{-5}}}\)
= (2)⁵ (∵ \(\displaystyle \frac{1}{{{{a}^{{-m}}}}}={{a}^{m}}\) )
= 32

2. सरल कीजिए और उत्तर को धनात्मक घातांक के रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) (− 4)5 ÷ (− 4)8	(ii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{{{{2}^{3}}}}} \right)}^{2}}\)
(iii) \(\displaystyle {{(-3)}^{4}}\times {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^{4}}\)	(iv) (3−7 ÷ 3-10) × 3−5
(v) 2−3 × (− 7)−3

हल :
(i) (− 4)⁵ ÷ (− 4)⁸
= \(\displaystyle \left( {\frac{{-{{4}^{5}}}}{{-{{4}^{8}}}}} \right)\)  (∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) )
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{{(-4)}}^{3}}}}\)

(ii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{{{{2}^{3}}}}} \right)}^{2}}\)
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{{(2)}}^{{3\times 2}}}}}\)  (∵ (a^m)ⁿ = a^mn)
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{2}^{6}}}}\)

(iii) \(\displaystyle {{(-3)}^{4}}\times {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^{4}}\)
= \(\displaystyle {{\left\{ {\frac{{(-3)\times 5}}{3}} \right\}}^{4}}\)  {∵ a^m × b^m = (ab)^m}
= 5⁴

(iv) (3⁻⁷ ÷ 3⁻¹⁰) × 3⁻⁵
= \(\displaystyle \frac{{{{3}^{{-7}}}}}{{{{3}^{{-10}}}}}\times {{3}^{{-5}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{{{3}^{{-7+(-5)}}}}}{{{{3}^{{-10}}}}}\) {∵ a^m × b^m = (ab)^m}
= \(\displaystyle \frac{{{{3}^{{-12}}}}}{{{{3}^{{-10}}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{3}^{{-10-(-12)}}}}}\)  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) )
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{{(3)}}^{2}}}}\)

(v) 2⁻³ × (− 7)⁻³
= {2 × (− 7)}⁻³ {∵ a^m × b^m = (ab)^m}
= (− 14)⁻³
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{{(-14)}}^{3}}}}\)

3. मान ज्ञात कीजिए :

(i) (30 + 4-1) × 22	(ii) (2−1 × 4−1) ÷ 2−2
(iii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{-2}}}+{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{{-2}}}+{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{{-2}}}\)	(iv) (3−1 + 4−1 +5−1)0
(v) \(\displaystyle {{\left\{ {{{{\left( {\frac{{-2}}{3}} \right)}}^{{-2}}}} \right\}}^{2}}\)

हल :
(i) (3⁰ + 4⁻¹) × 2²
= \(\displaystyle \left( {1+\frac{1}{4}} \right)\times {{2}^{2}}\)   {∵ a⁰ = 1}
= \(\displaystyle \left( {\frac{{4+1}}{4}} \right)\times {{2}^{2}}\)
= \(\displaystyle \frac{5}{{{{2}^{2}}}}\times {{2}^{2}}\)
= 5

(ii) (2⁻¹ × 4⁻¹) ÷ 2⁻²
= \(\displaystyle \left( {\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}} \right)\div \frac{1}{{{{2}^{2}}}}\)  (∵ \(\displaystyle {{a}^{{-m}}}=\frac{1}{{{{a}^{m}}}}\) )
= \(\displaystyle \frac{1}{8}\div \frac{1}{{{{2}^{2}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{2}^{3}}}}\div \frac{1}{{{{2}^{2}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{2}^{3}}}}\times {{2}^{2}}\)
= \(\displaystyle \frac{1}{{{{2}^{{3-2}}}}}\)  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

(iii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{-2}}}+{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{{-2}}}+{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{{-2}}}\)
= 2² + 3² + 42  {∵ \(\displaystyle {{a}^{{-m}}}=\frac{1}{{{{a}^{m}}}}\) }
= 4 + 9 + 16
= 29

(iv) (3⁻¹ + 4⁻¹ +5⁻¹)⁰
= 1   {∵ a⁰ = 1}

(v) \(\displaystyle {{\left\{ {{{{\left( {\frac{{-2}}{3}} \right)}}^{{-2}}}} \right\}}^{2}}\)
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{{-2}}{3}} \right)}^{{-2\times 2}}}\)  (∵ (a^m)ⁿ = a^mn)
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{{-2}}{3}} \right)}^{{-4}}}\)  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{3}{{-2}}} \right)}^{4}}\)
= \(\displaystyle \frac{{81}}{{16}}\)

4. मान ज्ञात कीजिए :
(i) \(\displaystyle \frac{{{{8}^{{-1}}}\times {{5}^{3}}}}{{{{2}^{{-4}}}}}\)
(ii) (5⁻¹ × 2⁻¹) × 6⁻¹
हल :
(i) \(\displaystyle \frac{{{{8}^{{-1}}}\times {{5}^{3}}}}{{{{2}^{{-4}}}}}\)
= \(\displaystyle \frac{{{{{\left( {{{2}^{3}}} \right)}}^{{-1}}}\times {{5}^{3}}}}{{{{2}^{{-4}}}}}\)  (सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लेने पर)
= \(\displaystyle \frac{{{{2}^{{3\times (-1)}}}\times {{5}^{3}}}}{{{{2}^{{-4}}}}}\)  (∵ (a^m)ⁿ = a^mn)
= \(\displaystyle \frac{{{{2}^{{-3}}}\times {{5}^{3}}}}{{{{2}^{{-4}}}}}\)
= 2^{−3−(−4)} × 5³  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= 2⁻³⁺⁴ × 5³
= 2 × 5³
= 250

(ii) (5⁻¹ × 2⁻¹) × 6⁻¹
= \(\displaystyle \left( {\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}} \right)\times \frac{1}{6}\)  
= \(\displaystyle \frac{1}{{10}}\times \frac{1}{6}\)
= \(\displaystyle \frac{1}{{60}}\)

5. m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए 5^m ÷ 5⁻³ = 5⁵
हल :
\(\displaystyle \frac{{{{5}^{m}}}}{{{{5}^{{-3}}}}}={{5}^{5}}\)
5^m−(−3) = 5⁵  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
5^m+3 = 5⁵  (आधार समान होने पर दोनों आधार को cancel कर दिया जाता है।)
m + 3 = 5
m = 5 − 3
m = 2

6. मान ज्ञात कीजिए :
(i) \(\displaystyle {{\left\{ {{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}}^{{-1}}}-{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}}^{{-1}}}} \right\}}^{{-1}}}\)
(ii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^{{-7}}}\times {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{{-4}}}\)
हल :
(i) \(\displaystyle {{\left\{ {{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}}^{{-1}}}-{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}}^{{-1}}}} \right\}}^{{-1}}}\)
= (3 − 4)⁻¹  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= (− 1)⁻¹
= − 1

(ii) \(\displaystyle {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^{{-7}}}\times {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{{-4}}}\)
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{7}}\times {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{{-4}}}\)  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{{7+(-4)}}}\)
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{{7-4}}}\)
= \(\displaystyle {{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^{3}}\)
= \(\displaystyle \frac{{512}}{{125}}\)

7. सरल कीजिए।

(i) \(\displaystyle \frac{{25\times {{t}^{{-4}}}}}{{{{5}^{{-3}}}\times 10\times {{t}^{{-8}}}}}\,\,\,(t\ne 0)\)

(ii) \(\displaystyle \frac{{{{3}^{{-5}}}\times {{{10}}^{{-5}}}\times 125}}{{{{5}^{{-7}}}\times {{6}^{{-5}}}}}\)

हल :
(i) \(\displaystyle \frac{{25\times {{t}^{{-4}}}}}{{{{5}^{{-3}}}\times 10\times {{t}^{{-8}}}}}\,\,\,(t\ne 0)\)
= \(\displaystyle \frac{{{{5}^{2}}\times {{t}^{{-4}}}}}{{{{5}^{{-3}}}\times 2\times 5\times {{t}^{{-8}}}}}\)  (सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लेने पर)
= \(\displaystyle \frac{{{{5}^{{2-(-3)-1}}}{{t}^{{-4-(-8)}}}}}{2}\)  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= \(\displaystyle \frac{{{{5}^{{2+3-1}}}\times {{t}^{{-4+8}}}}}{2}\)
= \(\displaystyle \frac{{{{5}^{4}}\times {{t}^{4}}}}{2}\)
= \(\displaystyle \frac{{625\times {{t}^{4}}}}{2}\)

(ii) \(\displaystyle \frac{{{{3}^{{-5}}}\times {{{10}}^{{-5}}}\times 125}}{{{{5}^{{-7}}}\times {{6}^{{-5}}}}}\) = \(\displaystyle \frac{{{{3}^{{-5}}}\times {{2}^{{-5}}}\times {{5}^{{-5}}}\times {{5}^{3}}}}{{{{5}^{{-7}}}\times {{2}^{{-5}}}\times {{3}^{{-5}}}}}\)  (सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लेने पर)
= 3^{−5−(−5)} × 2^{−5−(−5)} × 5^{3−5−(−7)}  {∵ \(\displaystyle \frac{{{{a}^{m}}}}{{{{a}^{n}}}}={{a}^{{m-n}}}\) }
= 3⁻⁵⁺⁵ × 2⁻⁵⁺⁵ × 5¹⁰⁻⁵
= 3⁰ × 2⁰ × 5⁵  
= 1 × 1 × 5⁵  {∵ a⁰ = 1}
= 5⁵

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 12 Exponents and Powers
class 8th maths
Ex 12.2
प्रश्नावली 12.2

प्रश्नावली 12.2

1. निम्न संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) 0.0000000000085	(ii) 0.00000000000942
(iii) 6020000000000000	(iv) 0.00000000837
(v) 31860000000

हल :
(i) 0.0000000000085
= 8.5 × 10⁻¹²

(ii) 0.00000000000942
= 9.42 × 10⁻¹²

(iii) 6020000000000000
= 6.02 × 10¹⁵

(iv) 0.00000000837
= 8.37 × 10⁻⁹

(v) 31860000000
= 3.186 × 10¹⁰

2. निम्न संख्याओं को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) 3.02 × 10−6	(ii) 4.5 × 104	(iii) 3 × 10−8
(iv) 1.0001 × 109	(v) 5.8 × 1012	(vi) 3.61492 × 106

हल :
(i) 3.02 × 10⁻⁶
= 0.00000302

(ii) 4.5 × 10⁴
= 45000

(iii) 3 × 10⁻⁸
= 0.00000003

(iv) 1.0001 × 10⁹
= 1000100000

(v) 5.8 × 10¹²
= 5800000000000

(vi) 3.61492 × 10⁶
= 3614920

3. निम्नलिखित कथनों में जो संख्या प्रकट हो रही है उन्हें मानक रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 1 माइक्रोन \(\displaystyle \frac{1}{{1000000}}\) m के बराबर होता है।
(ii) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश 0.000,000,000,000,000,000,16 कुलंब होता है।
(iii) जीवाणु की माप 0.0000005 m है।
(iv) पौधों की कोशिकाओं की माप 0.00001275 m है।
(v) मोटे कागज़ की मोटाई 0.07 mm होती है।
हल :
(i) 1 माइक्रोन \(\displaystyle \frac{1}{{1000000}}\) m के बराबर होता है।
= 1 × 10⁻⁶

(ii) एक इलेक्ट्रॉन का आवेश 0.000,000,000,000,000,000,16 कुलंब होता है।
= 1.6 × 10⁻¹⁹

(iii) जीवाणु की माप 0.0000005 m है।
= 5 × 10⁻⁷

(iv) पौधों की कोशिकाओं की माप 0.00001275 m है।
= 1.275 × 10⁻⁵

(v) मोटे कागज़ की मोटाई 0.07 mm होती है।
= 7 × 10⁻²

4. एक ढेर में पाँच किताबें हैं जिनमें प्रत्येक की मोटाई 20 mm तथा पाँच कागज़ की शीटें हैं। जिनमें प्रत्येक की मोटाई 0.016 mm है। इस ढेर की कुल मोटाई ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ 1 किताब की मोटाई = 20 mm
∴ 5 किताबों की मोटाई = 20 × 5 = 100 mm

∵ 1 कागज़ की शीट की मोटाई = 0.0016 mm
∴ 5 कागज़ की शीटों को मोटाई = 0.0016 × 5 = 0.0080 mm

ढेर की कुल मोटाई = 5 किताबों की मोटाई + 5 कागज़ की शीटों को मोटाई
= 100 + 0.0080
= 100.0080 mm
= 1.0008 × 10²