NCERT Solutions for Class 8 Math Chapter 3 Understanding of Quadrilaterals | कक्षा 8 गणित अध्याय 3 चतुर्भुजों को समझना class 8th maths

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NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 MATHS CHAPTER 3
Understanding of Quadrilaterals
class 8th maths

(b) 

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 MATHS CHAPTER 3
Understanding of Quadrilaterals
class 8th maths Ex 3.3
प्रश्नावली 3.3

1. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किये गए गुण द्वारा पूरा कीजिए।
(i) AD = ……………………..      (ii) ∠DCB = …………………….
(iii) OC = ……………………..      (iv) m∠DAB + m∠CDA = ……………………
हल : (i) AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।)     
(ii) ∠DCB = ∠DAB (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है।)
(iii) OC = OA (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते है।)     
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 180° (आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)

2. निम्न समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मानों को ज्ञात कीजिए :

हल : (i) समान्तर चतुर्भुज ABCD में –
∠B = 100°
चूँकि ∠D = ∠B (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
∠D = ∠B = 100° 
अतः ∠D = y = 100°
∠A + ∠D = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
अतः ∠A + 100° = 180°
∠A = 180° – 100°
∠A = z = 80°
∠A = 80°
चूँकि ∠A = ∠C (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
∠A = ∠C = 80° 
अतः ∠C = x = 100°

(ii) यह एक समान्तर चतुर्भुज है अतः
50° + ∠x = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
∠x = 180° – 50°
∠x = 130°
50° + ∠y = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
∠y = 180° – 50°
∠y = 130°
∠w = 50° (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
∠w + ∠z = 180° (रैखिक कोण युग्म)
50° + ∠z = 180°
∠z = 180° – 50°
∠z = 130°

(iii) ABCD एक सम चतुर्भुज है अतः

∠x = 90° (चूँकि सम चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को लम्ब समद्विभाजित करते है।)
ΔBOC में,
∠y + ∠x + 30° = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।)
∠y + 90° + 30° = 180°
∠y = 180° – 90° – 30°
∠y = 180° – 120°
∠y = 60°
∠y = ∠z (एकान्तर कोणों का मान बराबर होता है।)
अतः ∠y = ∠z = 60°
∠z = 60°

(iv) समान्तर चतुर्भुज में,
∠w = ∠y = 80 (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है।)
अतः ∠y = 80°
∠y + ∠x = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
80° + ∠x = 180°
∠x = 180° – 80°
∠x = 100°
∠y = ∠z (एकान्तर कोणों का मान बराबर होता है।)
∠y = ∠z = 80°
∠z = 80°

(v) समान्तर चतुर्भुज में,
∠D = ∠B = 112° (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
∠B = 112
∠B + ∠A = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
112 + ∠A = 180°
∠A = 180° – 112
∠A = 68°
∠w + ∠z = ∠A (चित्र में दिया है।)
40 + ∠z = 68
∠z = 68 – 40
∠z = 28°
∠x = ∠z = 28 (एकान्तर कोणों का मान बराबर होता है।)
∠x = 28°

3. क्या एक चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज हो सकता है यदि 
(i) ∠D + ∠B = 180° ?
(ii) AB =  DC = 8??, AD = 4?? और BC = 4.4?? ?
(iii) ∠A = ∠70 और ∠C = 65 ?
हल : (i) ∠D + ∠B = 180° ?
हाँ,  यह एक समान्तर चतुर्भुज हो सकता है, यदि ∠D = ∠B = 90° हो।

(ii) AB = DC = 8cm, AD = 4cm और BC = 4.4cm ?
नहीं, यह समान्तर चतुर्भुज हो ही नहीं सकता है।

(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65° ?
नहीं, यह समान्तर चतुर्भज नहीं हो सकता है।

4. एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए जो समान्तर चतुर्भुज न हो परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हो।
हल : पतंग 

5. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है. समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल : हम जानते है की समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
दोनों आसन्न कोणों का अनुपात = 3 : 2
मानाकि पहला आसन्न कोण = 3x
तथा दूसरा कोण = 2x
अतः 3x + 2x = 180°
5x = 180°
x = \(\displaystyle \frac{{150}}{5}\)
x = 36
अतः पहला आसन्न कोण = 3x = 3 × 36 = 108°
इसके सम्मुख वाला आसन्न कोण भी = 108°
तीसरा आसन्न कोण = 2x × 36 = 72°
इसके सम्मुख आसन्न कोण = 72°

6. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के माप बराबर हैं। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण A व B है तथा दोनों के मान समान है।
तब ∠A = ∠B = 90° (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।) 
∠B के सम्मुख कोण ∠C का मान भी 90° होगा तथा ∠C के आसन्न कोका मान = 90° होगा।
अतः चतुर्भुज के चारो कोणों का मान निम्न होगा –
∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 90° तथा ∠D = 90°

7. संलग्न आकृति HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है। x, y तथा z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किये गए गुणों को बताइए।
हल : ∠w + 70° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
∠w = 180° – 70°
∠w = 110°
∠w = ∠x (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
∠w = ∠x = 110°
∠x = 110°
∠E + ∠H = 180° (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180 होता है।)
110° + ∠H = 180°
∠H = 180° – 110°
∠H = 70°
40° + ∠z = ∠H (चित्र में दिया गया है।)
∠z = 70° – 40°
∠z = 30°
∠y = 40° (एकान्तर कोण का मान समान होता है।)

8. निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समान्तर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए।
हल : (i) चूँकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख भुजाएँ समान होती है।
अतः 3y – 1 = 26
3y = 26 + 1
3y = 27
y = \(\displaystyle \frac{{27}}{3}\)
y = 9
इसी प्रकार,
3x = 18
x = \(\displaystyle \frac{{18}}{3}\)
x = 6

(ii) ∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को बराबर भागों में समद्विभाजित करते है।
अतः y + 7 = 20
y = 20 – 7
y = 13
तथा x + y = 16
x + 13 = 16
x = 16 – 13
x = 3

9. दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।
हल : समान्तर चतुर्भुज RISK में,  
अतः ∠K + ∠S = 180° (समान्तर चतुर्भुज आसन्न कोणों का मान 180° होते है।) 
120° + ∠S = 180°
∠S = 180° – 120°
∠S = 60°
इसी प्रकार, समान्तर चतुर्भुज क्लू में, 
∠L = ∠E  (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
∠L = ∠E = 70°
अतः ∠E = 70°
अब त्रिभुज EOS में, 
∠E + ∠S + x = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 होता है।)
70° + 60° + x = 180°
130° + x = 180°
x = 180° – 130°
x = 50°
अतः x का मान 50° होगा।

10. बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समान्तर है ? (आकृति 3.32)
हल : दी गई आकृति में भुजा MN भुजा KL के समान्तर है, क्योंकि समान्तर भुजाओं पर बनने वाले कोणों के युग्मों का योगफल 180° होता है।
जैसा की आकृति में दिखाया गया है।
∠M + ∠N = 180°

11. आकृति 3.33 में m∠C ज्ञात कीजिए यदि \(\displaystyle \overline{{AB}}\parallel \overline{{DC}}\) है।
हल : \(\displaystyle \overline{{AB}}\parallel \overline{{DC}}\) (दिया है)
अतः ∠B + ∠C = 180° (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण का मान 180° होता है।)
120° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 120°
∠C = 60°
अतः m∠C = 60° है।

12. आकृति 3.34 में ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि \(\displaystyle \overline{{SP}}\parallel \overline{{RQ}}\) है। (यदि आप m∠R, ज्ञात करते है, तो क्या m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है ?)
हल : चूँकि समान्तर रेखाओं पर बनने वाले अंत: कोणों का मान 180° होता है।
अतः ∠P + ∠Q = 180°
∠P + 130° = 180°
∠P = 180° – 130°
∠P = 50°
इसी प्रकार,
∠S + ∠R = 180°
∠S + 90° = 180°
∠S = 180° – 90°
∠S = 90°
इसी प्रकार हम दूसरी विधि से भी ज्ञात कर सकते है।
चतुर्भुज के चारो कोणों का योग = 360°
अतः ∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°
∠P + 130° + 90° + 90° = 360°
∠P = 360° – 310°
∠P = 50°

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 MATHS CHAPTER 3
Understanding of Quadrilaterals
class 8th maths Ex 3.4
प्रश्नावली 3.4

1. बताइए, कथन सत्य है या असत्य :

(a) सभी आयत वर्ग होते हैं	(e) सभी पतंगे सम चतुर्भुज होती है
(b) सभी सम चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होते हैं	(f) सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं
(c) सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं	(g) सभी समांतर चतुर्भुज समलंब होते हैं
(d) सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं होते।	(h) सभी वर्ग समलंब होते हैं।

हल :
(a) सभी आयत वर्ग होते हैं 
असत्य 

(b) सभी सम चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होते हैं
सत्य

(c) सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं
सत्य

(d) सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं होते।
असत्य

(e) सभी पतंगे सम चतुर्भुज होती है
असत्य

(f) सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं
सत्य

(g) सभी समांतर चतुर्भुज समलंब होते हैं
सत्य

(h) सभी वर्ग समलंब होते हैं।
सत्य

2. उन सभी चतुर्भुजों की पहचान कीजिए जिनमें

(a) चारों भुजाएँ बराबर लम्बाई की हों

(b) चार समकोण हों

हल :
(a) चारों भुजाएँ बराबर लम्बाई की हों
समचतुर्भुज एवं वर्ग

(b) चार समकोण हों
आयत एवं वर्ग

3. बताइए कैसे एक वर्ग 

(i) एक चतुर्भुज	(ii) एक समांतर चतुर्भुज
(iii) एक समचतुर्भुज	(iv) एक आयत है।

हल : 
(i) एक चतुर्भुज
एक वर्ग एक चतुर्भुज है क्योंकि इसमें चार भुजाएँ होती है।

(ii) एक समांतर चतुर्भुज
एक वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती है।

(iii) एक समचतुर्भुज
एक वर्ग एक समचतुर्भुज है क्योंकि एक वर्ग की सभी चारों भुजाएँ बराबर होती है।

(iv) एक आयत है।
एक वर्ग एक आयत है क्योंकि एक वर्ग का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

4. एक चतुर्भुज का नाम बताइए जिसके विकर्ण 

(i) एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं	(ii) एक दूसरे पर लंब समद्विभाजक हो
(iii) बराबर हों।

हल :
(i) एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
समांतर चतुर्भुज
समचतुर्भुज
वर्ग
आयत

(ii) एक दूसरे पर लंब समद्विभाजक हो
समचतुर्भुज
वर्ग

(iii) बराबर हों।
वर्ग
आयत

5. बताइए एक आयत उत्तल चतुर्भुज कैसे है।
हल : एक आयत उत्तल चतुर्भुज है क्योंकि इसके दोनों विकर्ण इसके अभ्यन्तर में स्थित होते हैं।

6. ABC एक समकोण त्रिभुज है और ‘O’ समकोण की सम्मुख भुजा का मध्य बिंदु है। बताइए कैसे ‘O’ बिंदु A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है। (बिंदुओं से चिह्नित अतिरिक्त भुजाएँ आपकी सहायता के लिए खींची गई हैं)  

हल :
\(\displaystyle \overline{{AD}}\parallel \overline{{BC}}\)\(\displaystyle \overline{{AB}}\parallel \overline{{DC}}\)इसलिए, समांतर चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण \(\displaystyle \overline{{AC}}\) का मध्य- बिंदु O है।