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ncert solutions for class 7 maths chapter 1 Integer

प्रश्नावली − 1
पूर्णांक
गणित

ncert class 7 maths chapter 1
class 7th math
Ex 1.1 
प्रश्नावली 1.1

प्रश्नावली 1.1

1. किसी विशिष्ट दिन विभिन्न स्थानों के तापमान को डिग्री सेल्सियस (°C) में निम्नलिखित संख्या रेखा द्वारा दर्शाया गया है :

(a) इस संख्या रेखा को देखिए और इस पर अंकित स्थानों के तापमान लिखिए।
(b) उपर्युक्त स्थानों में से सबसे गर्म और ठंडे स्थानों के तापमानों में क्या अंतर है?
(c) लाहुलस्पिति एवं श्रीनगर के तापमानों में क्या अंतर है?
(d) क्या हम कह सकते हैं कि शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है? क्या इन दोनों स्थानों के तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से भी कम है?

उत्तर −
(a) इस संख्या रेखा को देखिए और इस पर अंकित स्थानों के तापमान लिखिए।

स्थान	तापमान
लाहुलस्पिति	− 8°C
श्रीनगर	− 2°C
शिमला	+ 5°C
ऊटी	+ 15°C
बैंगलौर	+ 22°C

(b) उपर्युक्त स्थानों में से सबसे गर्म और ठंडे स्थानों के तापमानों में क्या अंतर है?
हल : सबसे गर्म स्थान बैंगलौर का तापमान = + 22°C
सबसे ठंडा स्थान लाहुलस्पिति का तापमान = − 8°C
सबसे गर्म और ठंडे स्थानों के तापमानों में अंतर = + 22 − (− 8) 
= + 22 + 8
= + 30°C

(c) लाहुलस्पिति एवं श्रीनगर के तापमानों में क्या अंतर है?
हल : लाहुलस्पिति का तापमान = − 8°C
श्रीनगर का तापमान = − 2°C
लाहुलस्पिति एवं श्रीनगर के तापमानों में अंतर = − 2 − (− 8)
= − 2 + 8
= 6°C

(d) क्या हम कह सकते हैं कि शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है? क्या इन दोनों स्थानों के तापमानों का योग श्रीनगर के तापमान से भी कम है?
हल : शिमला का तापमान = 5°C
श्रीनगर का तापमान = − 2°C
शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग = 5 + (− 2)
= 5 − 2
= 3°C
शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग < शिमला का तापमान
3°C < 5°C
हाँ, शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग शिमला के तापमान से कम है।

शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग < कश्मीर का तापमान
3°C > − 2°C
नहीं, शिमला और श्रीनगर के तापमानों का योग कश्मीर के तापमान से कम नहीं है।

2. किसी प्रश्नोत्तरी में सही उत्तर के लिए धनात्मक अंक दिए जाते हैं और गलत उत्तर के लिए ऋणात्मक अंक दिए जाते हैं। यदि पांच उत्तरोतर चक्करों (rounds) में जैक द्वारा प्राप्त किये अंक 25, − 5, − 10, 15 और 10 थे, तो बताइए अंत में उसके अंकों का कुल योग कितना था।
हल :
जैक द्वारा प्राप्त अंक = 25, − 5, − 10, 15 और 10
जैक द्वारा प्राप्त अंकों का योग = 25 + (− 5) + (− 10) + 15 + 10
= 25 − 5 − 10 + 15 + 10
= 25 + 15 + 10 − 5 − 10
= 50 − 15
= 35 अंक

3. सोमवार को श्रीनगर का तापमान − 5°C था और मंगलवार को तापमान 2°C कम हो गया। मंगलवार को श्रीनगर का तापमान क्या था? बुधवार को तापमान 4°C बढ़ गया। बुधवार को तापमान कितना था?
हल :
सोमवार को श्रीनगर का तापमान = − 5°C
मंगलवार को तापमान में कमी = − 2°C
मंगलवार को श्रीनगर का तापमान = − 5 + (− 2)
= − 5 − 2
= − 7°C
मंगलवार को श्रीनगर का तापमान = − 7°C
बुधवार को तापमान में वृद्धि = + 4°C (वृद्धि को धनात्मक में दर्शाया जाता है।)
बुधवार को तापमान = − 7 + 4
= − 3°C

4. एक हवाई जहाज़ समुद्र तल से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। एक विशिष्ट बिंदु पर यह हवाई जहाज़ समुद्र तल से 1200 मीटर नीचे तैरती हुई पनडुब्बी के ठीक ऊपर है। पनडुब्बी और हवाई जहाज़ के बीच की ऊर्ध्वाधर दुरी कितनी है?
हल :
हवाई जहाज़ की समुद्र तल से ऊँचाई = + 5000 मीटर
पनडुब्बी की समुद्र तल से गहराई = − 1200 मीटर
पनडुब्बी और हवाई जहाज़ के बीच की ऊर्ध्वाधर दुरी = 5000 − (− 1200)
= 5000 + 1200
= + 6200 मीटर

5. मोहन अपने बैंक में रु 2000 जमा करता है और अगले दिन इसमें से रु 1642 निकाल लेता है। यदि खाते में से निकली गई राशि ऋणात्मक संख्या से निरूपित किया जाता है, तो खाते में जमा की गई राशि को आप कैसे निरूपित करोगे? निकासी के पश्चात् मोहन के खाते में शेष राशि ज्ञात कीजिए।
हल : 
मोहन के बैंक खाते में जमा राशि = रु 2000
अगले दिन निकले = रु − 1642
जमा की गई राशि को हम धनात्मक रूप में निरूपित करेंगे।
निकासी के पश्चात् मोहन के खाते में शेष राशि = 2000 − 1642
= रु 358

6. रीता बिंदु A से पूर्व की ओर बिंदु B तक 20 किलोमीटर की दूरी तय करती है। उसी सड़क के अनुदिश बिंदु B से वह 30 किलोमीटर की दूरी पश्चिम की ओर तय करती है। यदि पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो पश्चिम की ओर तय दूरी को आप कैसे निरूपित करोगे? बिंदु A से उसकी अंतिम स्थिति को किस पूर्णांक से निरूपित करोगे?

हल :
रीता द्वारा बिंदु A से पूर्व की ओर बिंदु B तक तय दूरी = 20 किलोमीटर (धनात्मक)
सड़क के अनुदिश बिंदु B से पश्चिम की ओर तय दूरी = − 30 किलोमीटर 
नोट : यदि पूर्व की ओर तय की गई दूरी को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो पश्चिम की ओर तय दूरी को हम ऋणात्मक पूर्णांक में व्यक्त करेंगे।
बिंदु A से उसकी अंतिम स्थिति = 20 + (− 30)
= 20 − 30
= − 10 

7. किसी मायावी वर्ग में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ एवं प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान होता है। बताइए निम्नलिखित में से कौनसा वर्ग मायावी वर्ग है।
हल :
वर्ग (i) में पहली पंक्ति का योग = 5 + (− 1) + (− 4) = 5 − 1 − 4 = 5 − 5 = 0
वर्ग (i) में दूसरी पंक्ति का योग = − 5 + (− 2) + 7 = − 5 − 2 + 7 = − 7 + 7 = 0
वर्ग (i) में तीसरी पंक्ति का योग = 0 + 3 + (− 3) = 0 + 3 − 3 = 3 − 3 = 0
वर्ग (i) में पहले स्तंभ का योग = 5 + (− 5) + 0 = 5 − 5 = 0
वर्ग (i) में दूसरे स्तंभ का योग = − 5 + (− 5) + 0 = − 5 − 5 + 0 = 0
वर्ग (i) में तीसरे स्तंभ का योग = − 1 + (− 2) + 3 = − 1 − 2 + 3 = − 3 + 3 = 0
वर्ग (i) में पहले विकर्ण का योग = 5 + (− 2) + (− 3) = 5 − 2 − 3 = 5 − 5 = 0
वर्ग (i) में दूसरे विकर्ण का योग = − 4 + (− 2) + 0 = − 4 − 2 + 0 = − 6
वर्ग (i) में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ एवं प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान नहीं है अतः यह एक मायावी वर्ग नहीं है।

वर्ग (ii) में पहली पंक्ति का योग = 1 + (− 10) + 0 = 1 − 10 = − 9
वर्ग (ii) में दूसरी पंक्ति का योग = − 4 + (− 3) + (− 2) = − 4 − 3 − 2 = − 9
वर्ग (ii) में तीसरी पंक्ति का योग = − 6 + 4 + (− 7) = − 6 + 4 − 7 = − 13 + 4 = − 9
वर्ग (ii) में पहले स्तंभ का योग = 1 + (− 4) + (− 6) = 1 − 4 − 6 = 1 − 10 = − 9
वर्ग (ii) में दूसरे स्तंभ का योग = − 4 + (− 3) + (− 2) = − 4 − 3 − 2 = − 9 
वर्ग (ii) में तीसरे स्तंभ का योग = − 6 + 4 + (− 7) = − 6 + 4 − 7 = − 13 + 4 = − 9
वर्ग (ii) में पहले विकर्ण का योग = 1 + (− 3) + (− 7) = 1 − 3 − 7 = 1 − 10 = − 9
वर्ग (ii) में दूसरे विकर्ण का योग = 0 + (− 3) + (− 6) = − 3 − 6 = − 9
वर्ग (ii) में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ एवं प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान है अतः यह एक मायावी वर्ग है।

8. a और b के निम्नलिखित मानों के लिए a − (− b) = a + b का सत्यापन कीजिए :

(i) a = 21, b = 18	(ii) a = 118, b = 125
(iii) a = 75, b = 84	(iv) a = 28, b = 11

हल :
(i) a = 21, b = 18
a − (− b) = a + b में a और b का मान रखने पर − 
21 − (− 18) = 21 + 18
21 + 18 = 21 + 18
39 = 39
L.H.S = R.H.S

(ii) a = 118, b = 125
a − (− b) = a + b में a और b का मान रखने पर − 
118 − (− 125) = 118 + 125
118 + 125 = 118 + 125
243 = 243
L.H.S = R.H.S 

(iii) a = 75, b = 84
a − (− b) = a + b में a और b का मान रखने पर − 
75 − (− 84) = 75 + 84
75 + 84 = 75 + 84
159 = 159
L.H.S = R.H.S 

(iv) a = 28, b = 11
a − (− b) = a + b में a और b का मान रखने पर − 
28 − (− 11) = 28 + 11
28 + 11 = 28 + 11
39 = 39
L.H.S = R.H.S 

9. निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए, बॉक्स में संकेत >, < अथवा = का उपयोग कीजिए :

(a)	(− 8) + (− 4)	. . . .	(− 8) − (− 4)
(b)	(− 3) + 7 − (19)	. . . .	15 − 8 + (− 19)
(c)	23 − 41 + 11	. . . .	23 − 41 − 11
(d)	39 + (− 24) − (15)	. . . .	23 − 41 − 11
(e)	39 + (− 24) − (15)	. . . .	36 + (− 52) − (− 36)

हल :
(a) (− 8) + (− 4) . . . . (− 8) − (− 4)
− 8 − 4 . . . . − 8 + 4
− 12 < − 4

(b) (− 3) + 7 − (19) . . . . 15 − 8 + (− 19)
− 3 + 7 − 19 . . . . 15 − 8 − 19
− 22 + 7 . . . . 15 − 27
− 15 < − 12

(c) 23 − 41 + 11 . . . . 23 − 41 − 11
23 + 11 − 41 . . . . 23 − 52
34 − 41 . . . . − 29
− 7 > − 29

(d) 39 + (− 24) − (15) . . . . 36 + (− 52) − (− 36)
39 − 24 − 15 . . . . 36 − 52 + 36
39 − 39 . . . . 36 + 36 − 52
0 . . . . 72 − 52
0 < 20

(e) − 231 + 79 + 51 . . . . − 399 + 159 + 81
− 231 + 130 . . . . − 399 + 240
− 101 > − 159

10. पानी के एक तालाब में अंदर की ओर सीढियाँ हैं। एक बंदर सबसे ऊपर वाली सीढ़ी (यानी पहली सीढ़ी) पर बैठा हुआ है। पानी नौवीं सीढ़ी पर है।
(i) वह एक छलाँग में तीन सीढियाँ नीचे की ओर और अगली छलाँग में दो सीढियाँ ऊपर की ओर जाता है। कितनी छलाँगों में वह पानी के स्तर तक पहुँच पाएगा।
(ii) पानी पीने के पश्चात् वह वापस जाना चाहता है। इस कार्य के लिए वह छलाँग में 4 सीढ़ियाँ ऊपर की ओर अगली छलाँग में 2 सीढ़ियाँ नीचे ओर जाता है। कितनी छलाँगों में वह वापस सबसे ऊपर वाली सीढ़ी पर पहुँच पाएगा?
(iii) यदि नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो निम्नलिखित को पूरा करते हुए भाग (i) और (ii) में उसकी गति को निरूपित कीजिए :

(a) − 3 + 2 + . . . = − 8

(b) 4 − 2 + . . . = 8.

(a) में योग (− 8) आठ सीढ़ियाँ नीचे जाने को निरूपित करता है, तो 
(b) में योग 8 किसको निरूपित करेगा?

हल :
(i) वह एक छलाँग में तीन सीढियाँ नीचे की ओर और अगली छलाँग में दो सीढियाँ ऊपर की ओर जाता है। कितनी छलाँगों में वह पानी के स्तर तक पहुँच पाएगा।
बन्दर पहली सीढ़ी पर बैठा हुआ है।
छलाँगों के बाद बन्दर की स्थिति निम्न प्रकार होगी :
पहली छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 4 सीढ़ी
दूसरी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 4 − 2 = 2 सीढ़ी
तीसरी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 2 + 3 = 5 सीढ़ी
चौथी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 5 − 2 = 3 सीढ़ी
पाँचवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 3 + 3 = 6 सीढ़ी
छठवी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 6 − 2 = 4 सीढ़ी
सातवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 4 + 3 = 7 सीढ़ी
आठवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 7 − 2 = 5 सीढ़ी
नौवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 5 + 3 = 8 सीढ़ी
दसवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 8 – 2 = 6 सीढ़ी
ग्यारहवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 6 + 3 = 9 सीढ़ी
अत: वह नौवीं सीढ़ी जो पानी के स्तर पर है 11 छलाँगों में पहुँच पाएगा।

(ii) पानी पीने के पश्चात् वह वापस जाना चाहता है। इस कार्य के लिए वह छलाँग में 4 सीढ़ियाँ ऊपर की ओर अगली छलाँग में 2 सीढ़ियाँ नीचे ओर जाता है। कितनी छलाँगों में वह वापस सबसे ऊपर वाली सीढ़ी पर पहुँच पाएगा?
यहाँ, बन्दर पानी के स्तर अर्थात् नौवीं सीढ़ी पर है।
छलाँगों के बाद बन्दर की ऊपर वाली सीढ़ी से स्थिति निम्न प्रकार होगी :
पहली छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 9 – 4 = 5 सीढ़ी
दूसरी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 5 + 2 = 7 सीढ़ी
तीसरी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 7 – 4 = 3 सीढ़ी
चौथी छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 3 + 2 = 5 सीढ़ी
पाँचवीं छलाँग में वह सीढ़ी पहुँचेगा = 5 – 4 = 1 सीढ़ी 
∴ अभीष्ट छलाँगों की संख्या = 5 

(iii) यदि नीचे की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को ऋणात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है और ऊपर की ओर पार की गई सीढ़ियों की संख्या को धनात्मक पूर्णांक से निरूपित किया जाता है, तो निम्नलिखित को पूरा करते हुए भाग (i) और (ii) में उसकी गति को निरूपित कीजिए :

(a) − 3 + 2 + . . . = − 8

(b) 4 − 2 + . . . = 8.

(a) में योग (− 8) आठ सीढ़ियाँ नीचे जाने को निरूपित करता है, तो 
(b) में योग 8 किसको निरूपित करेगा?
हल :
(a) − 3 + 2 + . . . = − 8
− 3 + 2 − 3 + 2 − 3 + 2 − 3 + 2 − 3 + 2 − 3 = − 8

(b) 4 − 2 + 4 − 2 + 4 = 8
(b) में संख्या 8, ऊपर की ओर 8 सीढ़ियाँ  चढ़ने को निरूपित करता है। 

ncert class 7 maths chapter 1
class 7th math
Ex 1.2
प्रश्नावली 1.2

1. ऐसा पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका

(a) योग − 7 है

(b) अंतर − 10 है

(c) योग 0 है

हल :
(a) योग − 7 है
− 4 + (− 3) = − 7
− 10 + 3 = − 7

(b) अंतर − 10 है 
− 6 − (+4) = − 10
+ 10 − 20 = − 10

(c) योग 0 है 
− 2 + 2 = 0
− 4 + 4 = 0

2. (a) एक ऐसा ऋणात्मक पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका अंतर 8 है।
(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनका योग − 5 है।

हल :
(a) एक ऐसा ऋणात्मक पूर्णांक युग्म लिखिए जिसका अंतर 8 है।
− 4 − (− 12) = − 4 + 12 = 8

(b) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनका योग − 5 है।
6 + (− 11) = 6 − 11 = − 5

(c) एक ऋणात्मक पूर्णांक और एक धनात्मक पूर्णांक लिखिए जिनका अंतर − 3 है।
9 − (+12) = 9 − 12 = − 3

3. किसी प्रश्नोत्तरी के तीन उत्तरोत्तर चक्करों (rounds) में टीम A द्वारा प्राप्त किए गए अंक − 40, 10, 0 थे और टीम B द्वारा प्राप्त किए गए अंक 10, 0, − 40 थे। किस टीम ने अधिक अंक प्राप्त किए? क्या हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है? 
हल :
टीम A द्वारा प्राप्त किए गए अंक = − 40, 10, 0
टीम A द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का योग = − 40 + 10 + 0
= − 30
टीम B द्वारा प्राप्त किए गए अंक = 10, 0, − 40
टीम B द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का योग = 10 + 0 + (− 40)
= 10 + 0 − 40
= − 30
अतः दोनों टीमों को समान अंक − 30 प्राप्त हुए।
हाँ पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।

4. निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
(i) (− 5) + (− 8) = (− 8) + (. . . . . . . .)
(ii) – 53 + . . . . . . . . = – 53
(iii) 17 + . . . . . . . . . = 0
(iv) [13 + (– 12)] + (. . . . . . . . .) = 13 + [(– 12) + (– 7)]
(v) (– 4) + [15 + (– 3)] = [– 4 + 15] + . . . . . . . . . . .
हल :
(i) (− 5) + (− 8) = (− 8) + (. . . . . . . .)
(− 5) + (− 8) = (− 8) + (. . . . . . . .)
− 5 − 8 = (− 8) + (. . . . . . . .)
− 13 = (− 8) + (− 5)
अतः − 8 में − 5 जोड़ देने से दोनों पक्ष बराबर हो जायेगें।

(ii) – 53 + . . . . . . . . = − 53
− 53 + 0 = − 53
अतः − 53 में 0 जोड़ देने से दोनों पक्ष बराबर हो जायेगें।

(iii) 17 + . . . . . . . . . = 0
17 + (− 17) = 0
0 = 0
अतः 17 में − 17 जोड़ देने से दोनों पक्ष बराबर हो जायेगें।

(iv) [13 + (– 12)] + (. . . . . . . . .) = 13 + [(– 12) + (– 7)]
13 − 12 + . . . . . . . = 13 − 12 − 7
1 + . . . . . . . = 13 − 19
1 + . . . . . . . = − 6
1 + (− 7) = − 6
अतः 1 में − 7 जोड़ देने से दोनों पक्ष बराबर हो जायेगें।

(v) (– 4) + [15 + (– 3)] = [– 4 + 15] + . . . . . . . . . . .
− 4 + 15 − 3 = − 4 + 15 + . . . . . . . . .
− 7 + 15 = 11 + . . . . . . . 
8 = 11 + (− 3)
8 = 8
अतः 11 में − 3 जोड़ देने से दोनों पक्ष बराबर हो जायेगें।

Ncert class 7 maths chapter 1
class 7th math
Ex 1.3
प्रश्नावली 1.3

1. निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए :

(a) 3 × (– 1)	(b) (– 1) × 225
(c) (– 21) × (– 30)	(d) (– 316) × (– 1)
(e) (– 15) × 0 × (– 18)	(f) (– 12) × (– 11) × (10)
(g) 9 × (– 3) × (– 6)	(h) (– 18) × (– 5) × (– 4)
(i) (– 1) × (– 2) × (– 3) × 4	(j) (– 3) × (– 6) × (– 2) × (– 1)

(a) 3 × (– 1)
चूँकि + और − का गुणनफल − होता है।
= − 3

(b) (– 1) × 225
चूँकि + और − का गुणनफल − होता है।
= − 225

(c) (– 21) × (– 30)
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 630

(d) (– 316) × (– 1)
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 316

(e) (– 15) × 0 × (– 18)
चूँकि शून्य को किसी भी संख्या से गुणा करने पर गुणनफल शून्य प्राप्त होता है।
= 0

(f) (– 12) × (– 11) × (10)
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 132 × 10
= 1320

(g) 9 × (– 3) × (– 6)
चूँकि + और − का गुणनफल − होता है।
= − 27 × (− 6)
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 162

(h) (– 18) × (– 5) × (– 4)
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 90 × (− 4)
चूँकि + और − का गुणनफल − होता है।
= − 360

(i) (– 1) × (– 2) × (– 3) × 4
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 2 × (− 3) × 4
चूँकि − और + का गुणनफल − होता है।
= − 6 × 4
= − 24

(j) (– 3) × (– 6) × (– 2) × (– 1)
चूँकि − और − का गुणनफल + होता है।
= 18 × 2
= 36

2. निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए :
(a) 18 × [7 + (– 3)] = [18 × 7] + [18 × (– 3)]
(b) (– 21) × [(– 4) + (– 6)] = [(– 21) × (– 4)] + [(– 21) × (– 6)]
हल :
(a) 18 × [7 + (– 3)] = [18 × 7] + [18 × (– 3)]
18 × [7 − 3] = 126 + (− 54)
18 × 4 = 126 − 54
72 = 72
L.H.S. = R.H.S.

(b) (– 21) × [(– 4) + (– 6)] = [(– 21) × (– 4)] + [(– 21) × (– 6)]
− 21 × [− 4 − 6] = 84 + 126
− 21 × (− 10) = 210
210 = 210
L.H.S. = R.H.S.

3. (i) किसी भी पूर्णांक a के लिए, (− 1) × a किसके समान है?
(ii) वह पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिसका (− 1) के साथ गुणनफल है :

(a) − 22

(b) 37

(c) 0

(i) किसी भी पूर्णांक a के लिए, (− 1) × a किसके समान है?
हल : 
(− 1) × a
= − a

(ii) वह पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिसका (− 1) के साथ गुणनफल है :
(a) − 22
− 22 × (− 1)
= 22

(b) 37
37 × (− 1)
= − 37

(c) 0
0 × (− 1)
= 0

4. (– 1) × 5 से आरंभ करके विभिन्न गुणनफलों द्वारा कोई पैटर्न दर्शाते हुए (– 1) × (– 1) = 1 को निरूपित कीजिए।
हल : 
(– 1) × 5 = − 5 
(– 1) × 4 = − 4
(– 1) × 3 = − 3
(– 1) × 2 = − 2
(– 1) × 1 = − 1
(– 1) × 0 = 0
(–1) × (− 1) = 1

5. उचित गुणों का उपयोग करते हुए, गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(a) 26 × (– 48) + (– 48) × (–36)	(b) 8 × 53 × (–125)
(c) 15 × (–25) × (– 4) × (–10)	(d) (– 41) × 102
(e) 625 × (–35) + (– 625) × 65	(f) 7 × (50 – 2)
(g) (− 17) × (− 29)	(h) (− 57) × (− 19) + 57

हल :
(a) 26 × (– 48) + (– 48) × (– 36)
= (− 48) (26 − 36)
= (− 48) × (− 10)
= 480

(b) 8 × 53 × (–125)
= 8 × (− 125) × 53
= − 1000 × 53
= − 53000

(c) 15 × (– 25) × (– 4) × (– 10)
= 15 × (– 10) × (– 25) × (– 4)
= − 150 × 100
= − 15000

(d) (– 41) × 102
= (– 41) × (100 + 2)
= (− 41) × 100 + (− 41) × 2
= − 4100 + (− 82)
= − 4100 − 82
= − 4182

(e) 625 × (– 35) + (– 625) × 65
= 625 × (− 35 − 65)
= 625 × (− 100)
= − 62500

(f) 7 × (50 – 2)
= 7 × 50 − 7 × 2
= 350 − 14
= 336

(g) (− 17) × (− 29)
= (− 17) × (− 30 + 1)
= (− 17) × (− 30) + (− 17) × 1
= 510 − 17
= 493

(h) (− 57) × (− 19) + 57
= − 57 × (− 19 − 1)
= − 57 × (− 20)
= 1140

6. किसी हिमीकरण (ठंडा) प्रक्रिया में, कमरे के तापमान को 40°C से, 5°C प्रति घंटे की दर से कम करने की आवश्यकता है। इस प्रक्रिया के शुरू होने के 10 घंटे बाद, कमरे का तापमान क्या होगा?
हल :
कमरे का तापमान = 40°C
प्रति घंटे कमी = 5C
10 घंटे बाद तापमान में कमी = 10 × (− 5)
= − 50°C
अतः 10 घंटे बाद तापमान = 40 + (− 50)
= 40 − 50 
= − 10°C

7. दस प्रश्नों वाले एक कक्षा टेस्ट में प्रत्येक सही उत्तर के लिए 5 अंक दिए जाते हैं और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए (− 2) अंक दिए जाते हैं एवं प्रयत्न नहीं किए गए प्रश्नों के लिए शून्य दिया जाता है।
(i) मोहन चार प्रश्नों का सही और छः प्रश्नों का गलत उत्तर देता है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं?
(ii) रेशमा के पाँच उत्तर सही हैं और पाँच उत्तर गलत है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं?
(iii) हीना ने कुल सात प्रश्न किए हैं उनमें से दो का उत्तर सही है और पाँच का उत्तर गलत है। तो उसे कितने अंक प्राप्त होते हैं?
हल :
(i) मोहन चार प्रश्नों का सही और छः प्रश्नों का गलत उत्तर देता है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं?
मोहन द्वारा किए 4 सही प्रश्नों का योग = 4 × 5 = 20
मोहन द्वारा किए 6 गलत प्रश्नों का योग = 6 × (− 2) = − 12
मोहन द्वारा प्राप्त कुल अंक = 20 − 12 = 8

(ii) रेशमा के पाँच उत्तर सही हैं और पाँच उत्तर गलत है। उसके द्वारा प्राप्त अंक कितने हैं?
रेशमा द्वारा किए 5 सही प्रश्नों का योग = 5 × 5 = 25
रेशमा द्वारा प्राप्त 5 गलत प्रश्नों का योग = 5 × (− 2) = − 10
रेशमा द्वारा प्राप्त कुल अंक = 25 − 10 = 15

(iii) हीना ने कुल सात प्रश्न किए हैं उनमें से दो का उत्तर सही है और पाँच का उत्तर गलत है। तो उसे कितने अंक प्राप्त होते हैं?
हीना द्वारा किए 2 सही प्रश्नों का योग = 2 × 5 = 10
हीना द्वारा प्राप्त 5 गलत प्रश्नों का योग = 5 × (− 2) = − 10
हीना द्वारा प्राप्त कुल अंक = 10 − 10 = 0

8. एक सीमेंट कंपनी को सफ़ेद सीमेंट बेचने पर रु 8 प्रति बोरी की दर से लाभ होता है और स्लेटी (Grey) रंग की सीमेंट बेचने पर रु 5 प्रति बोरी की दर से हानि होती है।
(a) किसी महीने में वह कंपनी 3000 बोरियाँ सफ़ेद सीमेंट की और 5000 बोरियाँ स्लेटी सीमेंट की बेचती है। उसका लाभ अथवा हानि क्या है?
(b) यदि बेची गई स्लेटी सीमेंट की बोरियों की संख्या 6400 है, तो कंपनी को स्लेटी सीमेंट की कितनी बोरियाँ बेचनी चाहिए, ताकि उसे न तो लाभ हो और ना ही हानि?
हल :
(a) किसी महीने में वह कंपनी 3000 बोरियाँ सफ़ेद सीमेंट की और 5000 बोरियाँ स्लेटी सीमेंट की बेचती है। उसका लाभ अथवा हानि क्या है?
एक सफ़ेद बोरी सीमेंट बेचने पर लाभ = रु 8
3000 सफ़ेद बोरी सीमेंट बेचने पर लाभ = 8 × 3000 = रु 24000
एक स्लेटी बोरी सीमेंट बेचने पर हानि = रु 5
5000 स्लेटी बोरी सीमेंट बेचने पर हानि = 5 × 5000 = रु 25000
हानि = 24000 − 25000
= − 1000 
अतः उसे रु 1000 की हानि होगी।

(b) यदि बेची गई स्लेटी सीमेंट की बोरियों की संख्या 6400 है, तो कंपनी को स्लेटी सीमेंट की कितनी बोरियाँ बेचनी चाहिए, ताकि उसे न तो लाभ हो और ना ही हानि?
एक स्लेटी बोरी सीमेंट बेचने पर हानि = रु 5
6400 स्लेटी बोरी सीमेंट बेचने पर हानि = 5 × 6400 = रु 32000
चूँकि रु 8 का लाभ होता है = 1 बोरी पर 
अतः रु 1 का लाभ होगा = \(\displaystyle \frac{1}{8}\) बोरी पर 
रु 32000 के लाभ के लिए बेची गई सफ़ेद बोरियों की संख्या = \(\displaystyle \frac{32000}{8}\)
= 4000 बोरियाँ

9. निम्नलिखित को सत्य कथन में परिवर्तित करने के लिए, रिक्त स्थानों को एक पूर्णांक से प्रतिस्थापित कीजिए :

(a) (– 3) × _____ = 27	(b) 5 × _____ = − 35
(c) _____ × (– 8) = – 56	(d) _____ × (– 12) = 132

हल :
(a) (– 3) × _____ = 27
(− 3) × (− 9) = 27

(b) 5 × _____ = – 35
5 × (− 7) = − 35

(c) _____ × (– 8) = – 56
7 × (– 8) = – 56

(d) _____ × (– 12) = 132
(− 11) × (– 12) = 132

Ncert class 7 maths chapter 1
class 7th math
Ex 1.4
प्रश्नावली 1.4

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :

(a) (–30) ÷ 10	(b) 50 ÷ (–5)	(c) (–36) ÷ (–9)
(d) (– 49) ÷ (49)	(e) 13 ÷ [(–2) + 1]	(f) 0 ÷ (–12)
(g) (–31) ÷ [(–30) + (–1)]
(h) [(–36) ÷ 12] ÷ 3	(i) [(– 6) + 5)] ÷ [(–2) + 1]

हल :
(a) (–30) ÷ 10
= \(\displaystyle \frac{-30}{10}\)= − 3

(b) 50 ÷ (– 5)
= \(\displaystyle \frac{{50}}{{-5}}\)= − 10

(c) (–36) ÷ (–9)
= \(\displaystyle \frac{{-36}}{{-9}}\)= 4

(d) (– 49) ÷ (49)
= \(\displaystyle \frac{{-49}}{{49}}\)= − 1

(e) 13 ÷ [(–2) + 1]
= \(\displaystyle \frac{{13}}{{-1}}\)= − 13

(g) (– 31) ÷ [(– 30) + (– 1)]
= \(\displaystyle \frac{{-31}}{{(-30-1)}}\)= \(\displaystyle \frac{{-31}}{{-31}}\)= 1

(h) [(– 36) ÷ 12] ÷ 3
= \(\displaystyle \left( {\frac{{-36}}{{12}}} \right)\div 3\)= \(\displaystyle \frac{{-3}}{{3}}\)
= − 1

(i) [(– 6) + 5)] ÷ [(–2) + 1]
= \(\displaystyle \frac{{-6+5}}{{-2+1}}\)= \(\displaystyle \frac{{-1}}{{-1}}\)
= 1

2. a, b और c के निम्नलिखित मानों में से प्रत्येक के लिए, a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c) को सत्यापित कीजिए

(a) a = 12, b = – 4, c = 2

(b) a = (– 10), b = 1, c = 1

हल :
(a) a = 12, b = – 4, c = 2
a, b व c के मान a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c)
12 ÷ (− 4 + 2) ≠ 12 ÷ (− 4) + (12 ÷ 2)
12 ÷ (− 2) ≠ − 3 + 6
− 6 ≠ 3
L.H.S ≠ R.H.S.

(b) a = (– 10), b = 1, c = 1
a, b व c के मान a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c)
(– 10) ÷ (1 + 1) ≠ (− 10 ÷ 1) + (− 10 ÷ 1)
(– 10) ÷ 2 ≠ − 10 + (− 10)
− 5 ≠ 1

3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

(a) 369 ÷ _____ = 369	(b) (–75) ÷ _____ = –1
(c) (–206) ÷ _____ = 1	(d) – 87 ÷ _____ = 87
(e) _____ ÷ 1 = – 87	(f) _____ ÷ 48 = –1
(g) 20 ÷ _____ = –2	(h) _____ ÷ (4) = − 3

हल :
(a) 369 ÷ _____ = 369
369 ÷ 1 = 369

(b) (– 75) ÷ _____ = – 1
(– 75) ÷ 75 = – 1

(c) (– 206) ÷ _____ = 1
(– 206) ÷ (– 206) = 1

(d) – 87 ÷ _____ = 87
– 87 ÷ − 1 = 87

(e) _____ ÷ 1 = – 87
− 87 ÷ 1 = – 87

(f) _____ ÷ 48 = – 1
− 48 ÷ 48 = – 1

(g) 20 ÷ _____ = – 2
20 ÷ (− 10) = – 2

(h) _____ ÷ (4) = – 3
− 12 ÷ (4) = – 3

4. पाँच ऐसे पूर्णांक युग्म (a, b) लिखिए, ताकि a ÷ b = − 3 हो। ऐसा एक युग्म (6, − 2) है, क्योंकि 6 ÷ (–2) = (–3) है।
हल :
(–6, 2)
क्योंकि 6 ÷ (–2) = (– 3)

(–12, 4)
क्योंकि − 12 ÷ 4 = (– 3)

(12, – 4)
क्योंकि ÷ (– 4) = (– 3)

(9, –3)
क्योंकि 9 ÷ (– 3) = (– 3)

(– 9, 3)
क्योंकि − 9 ÷ 3 = (– 3)

(− 45, 15)
क्योंकि − 45 ÷ 15 = (– 3)

5. दोपहर 12 बजे तापमान शून्य से 10°C ऊपर था। यदि यह आधी रात तक 2°C प्रति घंटे की दर से कम होता है, तो किस समय तापमान शून्य से 8°C नीचे होगा? आधी रात को तापमान क्या होगा?
हल : 
दोपहर 12 बजे तापमान = + 10°C
रात 12 बजे तक तापमान में कमी = − 2°C
− 8°C तापमान होने के लिए तापमान में कमी = − 8 − (+ 10)
= − 18°C
− 2°C तापमान कम होने में समय लगता है = 1 घंटा
− 18°C तापमान कम होने में समय लगेगा = 18/2 = 9 घंटे

12 घंटों में तापमान में कमी = 12 × (− 2)
= − 24°C दोपहर 12 बजे से रात 12 बजे तक तापमान में कमी = − 24 + 10
= − 14°C
अतः रात 12 बजे तापमान − 14°C होगा।

6. एक कक्षा टेस्ट में प्रत्येक सही उत्तर के लिए (+ 3) अंक दिए जाते है और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए (− 2) अंक दिए जाते है और किसी प्रश्न को हल करने का प्रयत्न नहीं करने पर कोई अंक नहीं दिया जाता है। (i) राधिका ने 20 अंक प्राप्त किए। यदि उसके 12 उत्तर सही पाए जाते हैं, तो उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है। (ii) मोहिनी टेस्ट में (− 5) अंक प्राप्त करती है, जबकि उसके 7 उत्तर सही पाए जाते है। उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है?
हल :
(i) राधिका ने 20 अंक प्राप्त किए। यदि उसके 12 उत्तर सही पाए जाते हैं, तो उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है।
सही उत्तर के लिए प्राप्त अंक = + 3
राधिका के सही उत्तर = 12 
राधिका द्वारा किए गए सही उत्तर के कुल प्राप्तांक = 12 × 3
= 36 अंक
राधिका द्वारा प्राप्त अंक = 20 अंक
गलत उत्तर के अंक = 36 − 20 = 16 अंक
एक गलत उत्तर के लिए अंक = − 2 
अतः 16 अंक कटेंगे = 16/2 = 8 उत्तर 

(ii) मोहिनी टेस्ट में (− 5) अंक प्राप्त करती है, जबकि उसके 7 उत्तर सही पाए जाते है। उसने कितने प्रश्नों का उत्तर गलत दिया है?
मोहिनी द्वारा प्राप्त अंक = (− 5) अंक 
मोहिनी द्वारा दिए सही उत्तर = 7 
मोहिनी द्वारा दिए सही उत्तर के अंक = 7 × 3 = 21 अंक
मोहिनी द्वारा प्राप्त गलत उत्तर के अंक = − 5 − (+ 21)
= − 5 − 21 = − 26 अंक
अतः − 26 अंकों के लिए दिए गए गलत उत्तर = 26/2
= 13 उत्तर 

7. एक उत्थापक किसी खान कूपक में 6 m प्रति मिनट की दर से नीचे जाता है। यदि नीचे जाना भूमि तल से 10 m ऊपर से शुरु होता है, तो − 350 m पहुँचने में कितना समय लगेगा?
हल :  
कुल दूरी = − 350 − (+ 10)
= − 350 − 10
= − 360 m
चूँकि 6 m चलने में लगा समय = 1 मिनट
∴ 1 m चलने में लगा समय = 1/6 मिनट
∴ 360 m चलने में लगा समय = 1/6 × 360
= 60 मिनट अथवा 1 घंटा