Ncert solutions for class 10 maths Chapter 5 arithmetic progression | एनसीइआरटी कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5 समान्तर श्रेढ़ी | Class 10th Maths

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ncert solutions for class 10 maths Chapter 5 arithmetic progression
class 10th maths

Exercise – 5
arithmetic progression
प्रश्नावली – 5
समान्तर श्रेढ़ी

ncert solutions for class 10 maths Chapter 5 arithmetic progression
class 10th maths solution ex 5.1 प्रश्नावली 5.1

A. P. (Arithmetic Progression) समांतर श्रेढ़ी – एक समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है।

सार्व अंतर – समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर (Common difference) कहलाता है। इसे d से प्रदर्शित करते हैं। यह धनात्मक, ऋणात्मक अथवा शून्य हो सकता है।

A. P. के पहले पद को a1 दूसरे पद को a2 ……… nवें पद को an से प्रदर्शित करते हैं।
अतः A. P. , a1, a2, ……………. an
तथा d = a2a1 = a3a2 

प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A. P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टैक्सी का का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\displaystyle \frac{1}{4}\) भाग निकल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने की लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) कहते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल :-
(i) प्रत्येक किलो मीटर के बाद का टैक्सी का का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
उत्तर – ये सूची A. P. में होगी।
प्रथम किलो मीटर का किराया = ₹ 15
दूसरे किलो मीटर का किराया = ₹ 15 + 8 = ₹ 23
तीसरे किलो मीटर का किराया = ₹ 23 + 8 = ₹ 31
अतः 15, 23, 31 ………… एक A. P. बनाते हैं क्योंकि सभी का सार्व अंतर 8 है।

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\displaystyle \frac{1}{4}\) भाग निकल देता है।
उत्तर – मानाकि बेलन में हवा का प्रारम्भिक आयतन = V
पहली बार पंप हवा निकलता है = \(\displaystyle \frac{V}{4}\)
बेलन में शेष हवा = \(\displaystyle \left( {V-\frac{V}{4}} \right)=\frac{{3V}}{4}\)
दूसरी बार पंप से \(\displaystyle \frac{3V}{4}\) का \(\displaystyle \frac{1}{4}\) = \(\displaystyle \frac{3V}{16}\) भाग हवा निकल देगा।
अतः शेष हवा = \(\displaystyle \frac{{3V}}{4}-\frac{{3V}}{{16}}=\frac{{12V-3V}}{{16}}=\frac{{9V}}{{16}}={{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{2}}V\)
तब a1 = V
a2 = \(\displaystyle \frac{3V}{4}\)
a3 = \(\displaystyle {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{2}}V\)
दो क्रमागत पदों का अंतर =
a2a1 = \(\displaystyle \frac{{3V}}{4}-V=-\frac{V}{4}\)  
a2a2 = \(\displaystyle {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{2}}V-\frac{{3V}}{4}=\frac{3}{4}V\left( {\frac{3}{4}-1} \right)=\frac{3}{4}V\times \left( {-\frac{1}{4}} \right)=-\frac{3}{{16}}V\)
दो क्रमागत पदों का अंतर नियत नहीं है अतः हवा के आयतन A. P. में नहीं हैं। 

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुँआ खोदने की लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
उत्तर – 
प्रथम मीटर का लागत = 150
दूसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200
तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250 
श्रृंखला = 150, 200, 250, ………………
सार्व अंतर = a2a1 = 200 − 150 = 50
a3a2 = 250 − 200 = 50
अतः सभी का सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A. P. है।

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
उत्तर – पहले वर्ष की राशि = 10000
चक्रवृद्धि ब्याज की दर = 8%
खाते में एक वर्ष बाद राशि a1 = \(\displaystyle 10000\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)\)
खाते में दो वर्ष बाद राशि a2 = \(\displaystyle 10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{2}}\)
खाते में तीन वर्ष बाद राशि a3 = \(\displaystyle 10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{3}}\)
सार्व अंतर = a2a1
\(\displaystyle \begin{array}{l}=10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{2}}-10000\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)\\=10000\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)\left( {1+\frac{8}{{100}}-1} \right)\\=10000\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)\left( {\frac{8}{{100}}} \right)\end{array}\)
a3a2
\(\displaystyle \begin{array}{l}=10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{3}}-10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{2}}\\=10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{2}}\left( {1+\frac{8}{{100}}-1} \right)\\=10000{{\left( {1+\frac{8}{{100}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{8}{{100}}} \right)\end{array}\)
a2a1a3a2 बराबर नहीं हैं इसलिए यह A. P. में नहीं है। 

2. दी हुई A. P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i) a = 10, d = 10 (ii) a = − 2, d = 0
(ii) a = 4, d = − 3 (iv) a = − 1, d = \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
(v) a = − 1.25, d = − 0.25  

हल – 
(i) a = 10, d = 10
पहला पद a1 = 10
सार्व अंतर d = 10
दूसरा पद a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20
तीसरा पद a3 = a2 + d = 20 + 10 = 30
चौथा पद a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40
अतः A. P. के प्रथम चार पद = 10, 20, 30, 40

(ii) a = − 2, d = 0
पहला पद a1 = – 2
सार्व अंतर d = 0
दूसरा पद a2 = a1 + d = − 2 + 0 = − 2
तीसरा पद a3 = a2 + d = − 2 + 0 = − 2
चौथा पद a4 = a3 + d = − 2 + 0 = − 2
अतः A. P. के प्रथम चार पद = − 2, − 2, − 2, − 2

(iii) a = 4, d = − 3
पहला पद a1 = 4
सार्व अंतर d = 3
दूसरा पद a2 = a1 + d = 4 − 3 = 1
तीसरा पद a3 = a2 + d = 1 − 3 = − 2
चौथा पद a4 = a3 + d = − 2 − 3 = − 5
अतः A. P. के प्रथम चार पद = 4, 1, − 2, − 5

(iv) a = − 1, d = \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
पहला पद a1 = − 1
सार्व अंतर d = \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
दूसरा पद a2 = a1 + d = \(\displaystyle -1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)
तीसरा पद a3 = a2 + d = \(\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\)
चौथा पद a4 = a3 + d = \(\displaystyle 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
अतः A. P. के प्रथम चार पद = − 1, \(\displaystyle -\frac{1}{2}\), − 0, \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

3. निम्नलिखित में से प्रत्येक A. P. के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए :

(i) 3, 1, − 1, − 3 . . . (ii) − 5, − 1, 3, 7 . . . 
(iii) \(\displaystyle \frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{{13}}{3},…\) (iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, . . .

हल :
(i) 3, 1, − 1, − 3 . . .
A. P. के लिए प्रथम पद a1 = 3
सार्व अंतर d = a2 − a2 = 1 – 3 = − 2

(ii) − 5, − 1, 3, 7 . . .
A. P. के लिए प्रथम पद a1 = − 5
सार्व अंतर d = a2 − a2 = − 1 − (− 5) = – 1 + 5 = 4

(iii) \(\displaystyle \frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{{13}}{3},…\)
A. P. के लिए प्रथम पद a1 = \(\displaystyle \frac{1}{3}\)
सार्व अंतर d = a2 − a2 = \(\displaystyle \frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{{5-1}}{3}=\frac{4}{3}\)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, . . .
A. P. के लिए प्रथम पद a1 = 0.6
सार्व अंतर d = a2 − a2 = 1.7 − 0.6 = 1.1

4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A. P. हैं? यदि कोई A. P. है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।   

(i) 2, 4, 8, 16 . . . (ii) 2, \(\displaystyle \frac{5}{2}\), 3, \(\displaystyle \frac{7}{2}\), . . .
(iii) − 1.2, − 3.2, − 5.2, − 7.2 . . .  (iv) − 10, − 6, − 2, 2 . . .
(v) 3, 3 + \(\displaystyle \sqrt{2}\), 3 + 2\(\displaystyle \sqrt{2}\), 3 + 3\(\displaystyle \sqrt{2}\) . . . (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 . . .
(vii) 0, − 4, − 8, − 12 . . . (viii) \(\displaystyle -\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2}…\)
(xi) 1, 3, 9. 27 . . .  (x) a, 2a, 3a, 4a . . .
(xi) a, a2, a3, a4 . . . (xii) \(\displaystyle \sqrt{2},\,\sqrt{8},\,\sqrt{{18}},\,\sqrt{{32}}…\)
(xiii) \(\displaystyle \sqrt{3},\,\sqrt{6},\,\sqrt{9},\,\sqrt{{12}}…\) (xiv) 12, 32, 52, 72 . . .
(xv) 12, 52, 72, 73 . . .  

हल :
(i) 2, 4, 8, 16 . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = 4 − 2 = 2
a3 − a2 = 8 − 4 = 4
चूँकि a2 − a1 ≠ a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. नहीं है।

(ii) 2, \(\displaystyle \frac{5}{2}\), 3, \(\displaystyle \frac{7}{2}\), . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = \(\displaystyle \frac{5}{2}-2=\frac{{5-4}}{2}=\frac{1}{2}\)
a3 − a2 = \(\displaystyle 3-\frac{5}{2}=\frac{{6-5}}{2}=\frac{1}{2}\)
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = \(\displaystyle \frac{1}{2}\) है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
\(\displaystyle \frac{7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{{7+1}}{2}=\frac{8}{2}=4\) 
a6 = a5 + d
\(\displaystyle 4+\frac{1}{2}=\frac{{8+1}}{2}=\frac{9}{2}\)
a7 = a6 + d
\(\displaystyle \frac{9}{2}+\frac{1}{2}=\frac{{9+1}}{2}=\frac{{10}}{2}=5\)
अतः अगले तीन पद 4, \(\displaystyle \frac{9}{2}\) एवं 5 होंगे।

(iii) − 1.2, − 3.2, − 5.2, − 7.2 . . . 
सार्व अंतर d = a2 − a1 = − 3.2 − (− 1.2) = − 3.2 + 1.2 = − 2
a3 − a2 = − 5.2 − (− 3.2) = − 5.2 + 3.2 = − 2
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = − 2 है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
− 7.2 + (− 2) = − 7.2 − 2 = − 9.2 
a6 = a5 + d
− 9.2 + (− 2) = − 9.2 − 2 = − 11.2 
a7 = a6 + d
− 11.2 + (− 2) = − 11.2 − 2 = − 13.2 
अतः अगले तीन पद − 9.2, − 11.2 एवं − 13.2 होंगे।

(iv) − 10, − 6, − 2, 2 . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = − 6 − (− 10) = − 6 + 10 = 4
a3 − a2 = − 2 − (− 6) = − 2 + 6 = 4
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = 4 है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
2 + 4 = 6 
a6 = a5 + d
6 + 4 = 10 
a7 = a6 + d
10 + 4 = 14
अतः अगले तीन पद 6, 10 एवं 14 होंगे।

(v) 3, 3 + \(\displaystyle \sqrt{2}\), 3 + 2\(\displaystyle \sqrt{2}\), 3 + 3\(\displaystyle \sqrt{2}\) . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = \(\displaystyle 3+\sqrt{2}-3=\sqrt{2}\)
a3 − a2 = \(\displaystyle 3+2\sqrt{2}-3+\sqrt{2}=\sqrt{2}\)
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = \(\displaystyle \sqrt{2}\) है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
\(\displaystyle 3+3\sqrt{2}+\sqrt{2}=3+4\sqrt{2}\)
a6 = a5 + d
\(\displaystyle 3+4\sqrt{2}+\sqrt{2}=3+5\sqrt{2}\)
a7 = a6 + d
\(\displaystyle 3+5\sqrt{2}+\sqrt{2}=3+6\sqrt{2}\)
अतः अगले तीन पद \(\displaystyle 3+4\sqrt{2}\), \(\displaystyle 3+5\sqrt{2}\) एवं \(\displaystyle 3+6\sqrt{2}\) होंगे।

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = 0.22 – 0.2 = 0.02
a3 − a2 = 0.222 − 0.22 = 0.002
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. नहीं है। जिसका सार्व अंतर d समान नहीं है।   
चूँकि a2 − a1 ≠ a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. नहीं है। 

(vii) 0, − 4, − 8, − 12 . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = − 4 − 0 = − 4
a3 − a2 = − 8 − (− 4) = − 8 + 4 = − 4
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = − 4 है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
− 12 + (− 4) = − 12 − 4 = − 16 
a6 = a5 + d
− 16 + (− 4) = − 16 − 4 = − 20
a7 = a6 + d
− 20 + (− 4) = − 20 − 4 = − 24
अतः अगले तीन पद − 16, − 20 एवं − 24 होंगे।

(viii) \(\displaystyle -\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2}…\)
सार्व अंतर d = a2 − a1 = \(\displaystyle -\frac{1}{2}-\left( {\frac{1}{2}} \right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\)
a3 − a2 = \(\displaystyle -\frac{1}{2}-\left( {\frac{1}{2}} \right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\)
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = 0 है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
\(\displaystyle -\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
a6 = a5 + d
\(\displaystyle -\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
a7 = a6 + d
\(\displaystyle -\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\)
अतः अगले तीन पद \(\displaystyle -\frac{1}{2}\), \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) एवं \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) होंगे।

(xi) 1, 3, 9. 27 . . . 
सार्व अंतर d = a2 − a1 = 3 – 1 = 2
a3 − a2 = 9 − 3 = 6
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. नहीं है जिसका सार्व अंतर समान नहीं है।   
चूँकि a2 − a1 ≠ a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. नहीं है।

(x) a, 2a, 3a, 4a . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = 2a – a = a 
a3 − a2 = 3a – 2a = a
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = a है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
4a + a = 5a
a6 = a5 + d
5a + a = 6a
a7 = a6 + d
6a + a = 7a
अतः अगले तीन पद 5a, 6a एवं 7a होंगे।

(xi) a, a2, a3, a4 . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = a2 − a = a (a − 1)
a3 − a2 = a3 − a2 = a2 (a − 1)
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर समान नहीं है।   
चूँकि a2 − a1 ≠ a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. नहीं है।

(xii) \(\displaystyle \sqrt{2},\,\sqrt{8},\,\sqrt{{18}},\,\sqrt{{32}}…\)
सार्व अंतर d = a2 − a1 = \(\displaystyle \sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\)
a3 − a2 = \(\displaystyle \sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{2}\)
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = \(\displaystyle \sqrt{2}\) है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
\(\displaystyle \sqrt{{32}}+\sqrt{2}=\sqrt{{50}}\)
a6 = a5 + d
\(\displaystyle \sqrt{{50}}+\sqrt{2}=\sqrt{{72}}\)
a7 = a6 + d
\(\displaystyle \sqrt{{72}}+\sqrt{2}=\sqrt{{98}}\)
अतः अगले तीन पद \(\displaystyle \sqrt{{50}}\), \(\displaystyle \sqrt{{72}}\) एवं \(\displaystyle \sqrt{{98}}\) होंगे। 

(xiii) \(\displaystyle \sqrt{3},\,\sqrt{6},\,\sqrt{9},\,\sqrt{{12}}…\) 
सार्व अंतर d = a2 − a1 = 32 − 12 = 23
a3 − a2 = 52 − 32 = 24
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर समान नहीं है।   
चूँकि a2 − a1 ≠ a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. नहीं है।

(xv) 12, 52, 72, 73 . . .
सार्व अंतर d = a2 − a1 = 52 − 12 = 24 
a3 − a2 = 72 − 52 = 24
संख्याओं की दी हुई सूची एक A. P. है जिसका सार्व अंतर d = 24 है।   
चूँकि a2 − a1 = a3 − a2 है, इसलिए दी हुई संख्याओं की सूची से एक A. P. है। जिसके अगले तीन पद निम्न होंगे – 
a5 = a4 + d
73 + 24 = 97
a6 = a5 + d
97 + 24 = 121
a7 = a6 + d
121 + 24 = 145
अतः अगले तीन पद 97, 121 एवं 145 होंगे। 

ncert solutions for class 10 maths Chapter 5 arithmetic progression
class 10th maths solution ex 5.2 प्रश्नावली 5.2

प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली एक A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d  से ज्ञात किया जा सकता है।
नोट :- an को A. P. का व्यापक पद (general term) भी कहते हैं।  
यदि किसी A.P. में m पद हैं, तो am इसके अंतिम पद को निरूपित करता है, जिसे कभी-कभी l द्वारा भी व्यक्त किया जाता है। 

1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है :

  a d n an
(i) 7 3 8 . . .
(ii) − 18 . . . 10 0
(iii) . . . − 3 18 − 5
(iv) − 18.9 2.5 . . . 3.6
(v) 3.5 0 105 . . .

हल :
(i) a = 7, d = 3, n = 8, an = ?
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
an = 7 + (8 − 1) 3
an = 7 + 7 × 3
an = 7 + 21
an = 28
समान्तर श्रेणी का 8वाँ पद 28 होगा।

(ii) a = − 18, d = ?, n = 10, an = 0
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
0 = − 18 + (10 − 1) d
0 = − 18 + (9) d
0 = − 18 + 9d
− 9d = − 18 (पक्षान्तरण से)
d = \(\displaystyle \frac{{18}}{9}\)
d = 2
समान्तर श्रेणी का सार्व अंतर d = 2 होगा।

(iii) a = ?, d = − 3, n = 18, an = − 5
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
− 5 = a + (18 − 1) − 3
− 5 = a + (17) − 3
− 5 = a + 17 × (− 3) (पक्षान्तरण से)
− 5 = a + (− 51)
− a = − 51 + 5
− a = − 46
a = 46
समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 46 होगा।

(iv) a = − 18.9, d = 2.5, n = ?, an = 3.6
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
3.6 = − 18.9 + (n − 1) 2.5
3.6 = − 18.9 + (2.5n − 2.5)
3.6 = − 18.9 + 2.5n − 2.5
− 2.5n = − 18.9 − 2.5 − 3.6 (पक्षान्तरण से)
− 2.5n = − 25
n = \(\displaystyle \frac{{-25}}{{-2.5}}\)
n = 10
समान्तर श्रेणी का nवाँ पद n = 10 होगा।

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, an = ?
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
an = 3.5 + (105 − 1) 0
an = 3.5 + 104 × 0
an = 3.5 + 0
an = 3.5
समान्तर श्रेणी का 105वाँ पद 3.5 होगा।

2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P.: 10, 7, 4, . . . . , का 30वाँ पद है :

(A) 97 (B) 77 (C) − 77 (D) − 87

हल :
a = 10, d = a2 − a1 = 7 − 10 = − 3, n = 30, an = ?
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
an = 10 + (30 − 1) − 3
an = 10 + (29) − 3
an = 10 + 29 × (− 3)
an = 10 + (− 87)
an = − 77
अतः सही विकल्प (C) होगा।

(ii) A.P.: − 3, \(\displaystyle -\frac{1}{2}\), 2, . . . . , का 11वाँ पद है :

(A) 28 (B) 22 (C) − 38 (D) \(\displaystyle -48\frac{1}{2}\)

हल :
a = − 3, n = 30, an = ?
d = a2 − a1 = \(\displaystyle -\frac{1}{2}-(-3)=-\frac{1}{2}+3=\frac{{-1+6}}{2}=\frac{5}{2}=2.5\)
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
an = − 3 + (11 − 1) 2.5
an = − 3 + (10) × 2.5
an = − 3 + 25
an = 22
अतः सही विकल्प (B) होगा।

3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :
(i) 2, . . . , 26
(ii) . . . , 13, . . . , 3
(iii) 5, . . . , . . . , \(\displaystyle 9\frac{1}{2}\)
(iv) − 4, . . . , . . . , . . . , . . . , 6
(v) . . . , 38, . . . , . . . , . . . , − 22
हल : 
(i) 2, . . . , 26 
a = 2, a3 = 26, n = 3
A. P. का nवाँ पद an = a + (n − 1) d
26 = 2 + (3 − 1) d
26 = 2 + 2d
2d = 26 − 2
2d = 24
d = \(\displaystyle \frac{{24}}{2}\)d = 12
चूँकि समांतर श्रेढ़ी का दूसरा पद ज्ञात करना है
अतः a2 = a1 + d
a2 = 2 + 12
a2 = 14 उत्तर

(ii) . . . , 13, . . . , 3
चूँकि 13 और 3 के बीच का पद = \(\displaystyle \frac{{13+3}}{2}=\frac{{16}}{2}\) = 8
अतः a4 − a3 = 3 − 8 = − 5
a3 − a2 = 8 − 13 = − 5
अतः a2 − a1 = − 5
13 − a1 = − 5
a1 = 13 + 5 
a1 = 18
अतः समांतर श्रेढ़ी 18, 13, 8, 3 होगी।

(iii) 5, . . . , . . . , \(\displaystyle 9\frac{1}{2}\)
a = 5, a4 = \(\displaystyle 9\frac{1}{2}\)
चूँकि a4 = a + 3d
9.5 = 5 + 3d
3d = 9.5 − 5
3d = 4.5
d = \(\displaystyle \frac{{4.5}}{3}\)तथा a2 = a + d
a2 = 5 + 1.5
a2 = 6.5
अतः समांतर श्रेढ़ी 5, 6.5, 8, 9.5 होगी।

(iv) − 4, . . . , . . . , . . . , . . . , 6
a = – 4, a6 = 6
चूँकि a6 = a + 5d
6 = − 4 + 5d
5d = 6 + 4
5d = 10
d = \(\displaystyle \frac{{10}}{{5}}\)
d = 2
इस समांतर श्रेढ़ी के अगले पद –
a2 = a + d = − 4 + 2 = − 2
a3 = a + 2d = − 4 + 4 = 0
a4 = a + 3d = − 4 + 6 = 2
a5 = a + 4d = − 4 + 8 = 4
अतः समांतर श्रेढ़ी − 4, − 2, 0, 2, 4, 6 होगी।

(v) . . . , 38, . . . , . . . , . . . , − 22
मानाकि प्रथम पद a1 = 38 तथा पाँचवा पद a5 = − 22
चूँकि a5 = a + 4d
− 22 = 38 + 4d
4d = − 22 − 38
4d = − 60
d = − 15
यदि दूसरा पद 38 हो तो पहला पद =
a = a2d
a = 38 + 15
a = 53
अब तीसरा एवं चौथा पद =
a3 = a + 2d
a3 = 53 + 2 (− 15) 
a3 = 53 − 30
a3 = 23
a4 = a + 3d
a4 = 53 − 45
a4 = 8
पाँचवा पद
a5 = a + 4d
a5 = 43 − 60
a5 = − 7
अतः समांतर श्रेढ़ी 53, 38, 23, 8, − 7, − 22 होगी।

4. A.P.: 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है?
हल :
a = 3, d = a2 − a1 = 8 − 3 = 5, an = 78, n = ?
an = a + (n − 1) d
78 = 3 + (n − 1) 5
78 = 3 + 5n − 5
78 = 3 − 5 + 5n
78 = − 2 + 5n (पक्षान्तरण से) 
5n = 78 + 2
5n = 80
n = \(\displaystyle \frac{{80}}{{2}}\)
n = 16
A.P.: 3, 8, 13, 18, . . . का 16वाँ पद 78 है।

5. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक में कितने पद हैं?

(i) 7, 13, 19, . . . , 205 (ii) 18, \(\displaystyle 15\frac{1}{2}\), 13, . . . , – 47

(i) 7, 13, 19, . . . , 205
a = 7
d = a2 − a1 = 13 − 7 = 6
an = 205
n = ?
an = a + (n − 1) d
205 = 7 + (n − 1) 6
205 = 7 + 6n − 6
205 = 7 − 6 + 6n
205 = 1 + 6n
6n = 205 − 1 (पक्षान्तरण से)
6n = 204 
n = \(\displaystyle \frac{{204}}{{6}}\)
n = 34
अतः समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19, . . . , 205 में 34 पद हैं।

(ii) 18, \(\displaystyle 15\frac{1}{2}\), 13, . . . , – 47
a = 18
d = a2 − a1 = \(\displaystyle 15\frac{1}{2}-18=\frac{{31}}{2}-18=\frac{{31-36}}{2}=\frac{{-5}}{2}=-2.5\)
an = − 47
n = ?
an = a + (n − 1) d
− 47 = 18 + (n − 1) − 2.5

− 47 = 18 + (− 2.5n + 2.5)
− 47 = 18 – 2.5n + 2.5
2.5 n = 18 + 2.5 + 47 (पक्षान्तरण से)
2.5n = 67.5
n = \(\displaystyle \frac{{67.5}}{{2.5}}\)
n = 27
अतः समांतर श्रेढ़ी 18, \(\displaystyle 15\frac{1}{2}\), 13, . . . , – 47 में 27 पद हैं।

6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2, . . . , का एक पद − 150 है? क्यों?
a = 11
d = a2 − a1 = 8 − 11 = − 3
an = − 150
n = ?
an = a + (n − 1) d
− 150 = 11 + (n − 1) − 3
− 150 = 11 − 3n + 3
− 150 = 14 − 3n
3n = 14 + 150
3n = 164
n = \(\displaystyle \frac{{164}}{{3}}\)
नहीं, A.P., 11, 8, 5, 2, . . . , का एक पद – 150 नहीं है, क्योंकि कोई धनात्मक पूर्णांक संख्या प्राप्त नहीं होती है।

7. उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
a11 = a + (n − 1) d
38 = a + (11 − 1) d
38 = a + 10d …………..(1)
इसी प्रकार –
a16 = a + (n − 1) d
73 = a + (17 − 1) d
73 = a + 16d …………..(2)
समीकरणों (1) और (2) के युग्म को हल करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,38=a+10d\\\,\,\,\,73=a+16d\\\underline{{-\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}\\-35=\,\,\,\,\,\,\,\,-5d\end{array}\)
d = \(\displaystyle \frac{{-35}}{{-5}}\)
d = 7
प्रथम पद ज्ञात करने के लिए –
a11 = a + (11 − 1) d
38 = a + (10) 7
38 = a + 70
a = 38 − 70
a = − 32
हमें 31वाँ पद ज्ञात करना है अतः 
a31 = a + (n − 1) d
a31 = − 32 + (31 − 1) 7 
a31 = − 32 + 30 × 7
a31 = − 32 + 210
a31 = 178
A.P. का 31वाँ पद 178 होगा।

8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
a3 = a + (n − 1) d
12 = a + (3 − 1) d
12 = a + 2d …………..(1)
इसी प्रकार –
a50 = a + (n − 1) d
106 = a + (50 − 1) d
106 = a + 49d …………..(2)
समीकरणों (1) और (2) के युग्म को हल करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,12=a+2d\\\,\,106=a+49d\\\underline{{-\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,}}\\-94=\,\,\,\,\,\,\,-47d\end{array}\)
– 47d = – 94
d = \(\displaystyle -\frac{{94}}{{47}}\)
d = 2
प्रथम पद ज्ञात करने के लिए –
a3 = a + (n − 1) d
12 = a + (3 – 1) 2
12 = a + 2 × 2
12 = a + 4
a = 12 – 4
a =  8
हमें 29वाँ पद ज्ञात करना है अतः 
a29 = a + (n − 1) d
a29 = 8 + (29 − 1) 2 
a29 = 8 + 28 × 2
a29 = 8 + 56
a29 = 64
A.P. का 29वाँ पद 64 होगा।

9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमश: 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल : 
A.P. का तीसरा पद a3 = 4
A.P. का नौवा पद a9 = – 8
a3 = a + (n − 1) d
4 = a + (3 − 1) d
4 = a + 2d …………..(1)
इसी प्रकार –
a9 = a + (n − 1) d
– 8 = a + (9 − 1) d
– 8 = a + 8d …………..(2)
समीकरणों (1) और (2) के युग्म को हल करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,4=a+2d\\\,-8=a+8d\\\underline{{+\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,}}\\\,\,12=\,\,\,\,\,-6d\end{array}\)d = \(\displaystyle \frac{{-12}}{{6}}\)
d = – 2
प्रथम पद ज्ञात करने के लिए –
a3 = a + (n − 1) d
4 = a + (3 – 1) – 2
4 = a + 2 × (- 2)
4 = a − 4 (पक्षांतरण से)
a = 4 + 4
a = 8

हमें nवाँ पद ज्ञात करना है अतः 
an = a + (n − 1) d
0 = 8 + (n − 1) – 2 
0 = 8 – 2n + 2 (पक्षान्तरण से)
2n = 10
n = 10 /2
n = 5
A.P. का 5वाँ पद 0 होगा।

10. किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल : 
मानाकि का A.P. 10वाँ पद = x
तथा A.P. का 17वाँ पद = x + 7
a10 = a + (n − 1) d
x = a + (10 − 1) d
x = a + 9 × d
– 9d = a – x …………..(1)

इसी प्रकार –
a17 = a + (n − 1) d
x + 7 = a + (17 − 1) d
x + 7 = a + 16 × d
x + 7 = a + 16d (पक्षांतरण से)
– 16d = a – x – 7 …………..(2)

समीकरणों (1) और (2) के युग्म को हल करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,-9d=a-x\\\,\,\,\,-16d=a-x-7\\\underline{{\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7d=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+7\end{array}\)d = \(\displaystyle \frac{{7}}{{7}}\)
d = 1
अतः A.P. का सार्व अंतर 1 होगा।

11. A.P.: 3, 15, 27, 39, . . . का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल :
a = 3
d = a2 – a1 = 15 – 3 = 12
A.P. का 54वाँ पद a54 = ?
a54 = a + (n − 1) d
a54 = 3 + (54 − 1) 12
a54 = 3 + 53 × 12
a54 = 3 + 636
a54 = 639
54वें पद से 132 अधिक
अतः 639 + 132 = 771
A.P. का xवाँ पद ax = ?
ax = a + (n − 1) d
771 = 3 + (x − 1) 12
771 = 3 + 12x − 12
771 = 3 + 12x − 12 
12x = 771 + 12 – 3 (पक्षान्तरण से)
12x = 783 – 3
12x = 780
x = \(\displaystyle \frac{{780}}{{12}}\)
x = 65
अतः A.P.: 3, 15, 27, 39, . . . का 65वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।

13. तीन अंकों की कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य है?
हल :
3 अंकों की पहली संख्या सात से विभाजित = 105
d = 7
अतः A.P.: 105, 112, 119, . . . , 994
3 अंकों की अंतिम संख्या सात से विभाजित = 994
अतः a = 105
d = 7
nवाँ पद = 994
an = a + (n − 1) d
994 = 105 + (n – 1) 7
994 = 105 + 7n – 7 
7n = 994 – 105 + 7 (पक्षान्तरण से)
7n = 1001 – 105
7n = 896
n = \(\displaystyle \frac{{896}}{7}\)n = 128
अतः तीन अंकों की 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य है।

14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल :
10 से बड़ा 4 का प्रथम गुणज = 12
250 से छोटा 4 का गुणज = 248
सार्व अंतर d = 4
a = 12
nवाँ पद = 248
an = a + (n − 1) d
248 = 12 + (n – 1) 4
248 = 12 + 4n – 4 
4n = 248 – 12 + 4 (पक्षान्तरण से)
4n = 252 – 12
4n = 240
n = \(\displaystyle \frac{{240}}{4}\)n = 60
अतः 10 और 250 के बीच में 4 के 60 गुणज हैं।

15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, . . . और 3, 10, 17, . . . के nवें पद बराबर हैं?
हल :
प्रथम A.P. के लिए –
a = 63
d = a2 – a1 = 65 – 63 = 2
मानाकि xवाँ पद बराबर है, अतः 
an = a + (n − 1) 2
ax = 63 + (x − 1) 2
ax = 63 + 2x − 2
दूसरी A.P. के लिए –
a = 3
d = a2 – a1 = 10 – 3 = 7
मानाकि xवाँ पद बराबर है, अतः 
an = a + (n − 1) d
ax = 3 + (x − 1) 7
ax = 3 + 7x7
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,{{a}_{x}}=63+2x-2\\\,\,\,\,{{a}_{x}}=\,\,\,\,3+7x-7\\\underline{{-\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,}}\\\,\,\,\,0\,\,\,\,=60-5x+5\end{array}\)
5x = 60 + 5 (पक्षान्तरण से) 
5x = 65
x = \(\displaystyle \frac{{65}}{5}\)
x = 13
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, . . . और 3, 10, 17, . . . के 13वें पद बराबर हैं।

16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल : 
a3 = 16
सार्व अंतर = d
अतः a7 = a1 + 6d
a5 = a1 + 4d
प्रश्नानुसार –
a7 = a5 + 12
अतः a1 + 6d = a1 + 4d + 12
6d – 4d = 12
2d = 12
d = 6
अब, a3 = a1 + 2d
16 = a1 + 12
a1 = 16 – 12
a1 = 4
अतः वह A.P. 4, 10, 16, . . . होगी।  

17. A.P.: 3, 8, 13, . . . , 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
d = a2 – a1 = 8 – 3 = 5
अतः अंतिम से पहले वाला पद = 253 – 5 = 248
समांतर श्रेढ़ी को पलटने पर 
मानाकि A.P.: 253, 248, 243, . . .
अतः अब a = 253
d = a2 – a1 = 253 – 248 = – 5
20वाँ पद = x
an = a + (n − 1) d
ax = 253 + (20 − 1) – 5
ax = 253 + (- 100 + 5)
ax = 253100 + 5
ax = 253 – 100 + 5
ax = 258 – 100
ax = 158
अतः A.P.: 3, 8, 13, . . . , 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद 158 होगा।

18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल : 
A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग = 24
a4 = a1 + 3d
a8 = a1 + 7d
प्रश्नानुसार –
a1 + 3d + a1 + 7d = 24
2a1 + 10d = 24 . . . . . . . . . . . . (1)

छठे और 10वें पदों का योग = 44
a6 = a1 + 5d
a10 = a1 + 9d
प्रश्नानुसार –
a1 + 5d + a1 + 9d = 44
2a1 + 14d = 44 . . . . . . . . . . . (2)
समीकरण (1) व (2) से –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,2{{a}_{1}}+10d=24\\\,\,\,\,2{{a}_{1}}+14d=44\\\underline{{-\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,}}\\\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,-4d\,\,\,\,=-20\end{array}\)d = \(\displaystyle \frac{{-20}}{{-4}}\)d = 5
d का मान समीकरण (2) में रखने पर –
2a1 + 14 × 5 = 44
2a1 + 70 = 44
2a1 = 44 – 70
2a1 = – 26
a1 = \(\displaystyle \frac{{-26}}{{2}}\)a1 = – 13
अतः प्रथम पद = – 13
द्वितीय पद = a1 + d = – 13 + 5 = – 8
तृतीय पद = a1 + 2d = – 13 + 2 × 5 = – 13 + 10 = – 3
इस A.P. के प्रथम तीन पद – 13, – 8 तथा – 3 होगें।

19. सुब्बा राव ने 1995 में रु 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष रु 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका रु 7000 हो गया?
हल : 
प्रारम्भिक वेतन a1 = रु 5000
वेतन वृद्धि d = रु 200
n वर्ष बाद वेतन = रु 7000
अतः an = a + (n − 1) d
7000 = 5000 + (n – 1) 200
7000 = 5000 + 200n – 200
200n = 7000 + 200 – 5000 (पक्षांतरण से)
200n = 7200 – 5000
200n = 2200
n = \(\displaystyle \frac{{2200}}{{200}}\)n = 11 वर्ष 
अतः 11वें वर्ष बाद (1995 + 11) 2006 में वेतन रु 7000 हो जायेगा।

20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में रु 50 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत रु 17.5 बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत रु 207.50 है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल : 
प्रथम सप्ताह की बचत a1 = रु 50
हर सप्ताह बचत d = रु 17.5
nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत = रु 207.50
अतः an = a + (n − 1) d
207.50 = 50 + (n – 1) × 17.5
207.50 = 50 + 17.5n – 17.5
17.5n = 207.50 + 17.5 – 50 (पक्षांतरण से)
17.5n = 225 – 50
17.5n = 175
n = \(\displaystyle \frac{{175}}{{17.5}}\)n = 10
अतः nवें सप्ताह = 10 सप्ताह

प्रश्नावली 5.2

किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग S निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त होता है:
\(\displaystyle S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)
जहाँ S = A.P. के प्रथम n पदों का योग
n = पदों की संख्या
a = सार्व अंतर       
या \(\displaystyle S=\frac{n}{2}[a+a+(n-1)d]\) 
\(\displaystyle S=\frac{n}{2}(a+{{a}_{n}})\) [चूँकि an = a + (n − 1) d]यदि किसी A.P. में केवल n ही पद हैं, तो an अंतिम पद l के बराबर होगा।
अतः \(\displaystyle S=\frac{n}{2}(a+l)\)
(इस सूत्र का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब A.P. के प्रथम और अंतिम पद दिए हों तथा सार्व अंतर नहीं दिया गया हो।  

प्रथम n धन पूर्णांकों का योग सूत्र = 
मान लीजिए Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n है।
यहाँ a = 1 और अंतिम पद l = n है।
अतः Sn = \(\displaystyle \frac{{n(1+n)}}{2}\) या Sn = \(\displaystyle \frac{{n(n+1)}}{2}\)

प्रश्नावली 5.3

1. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, . . . . 10 पदों तक (ii) – 37, – 33, – 29, . . . , 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . . , 100 पदों तक (iv) \(\displaystyle \frac{1}{{15}},\frac{1}{{12}},\frac{1}{{10}},\) . . . , 11 पदों तक

(i) 2, 7, 12, . . . . 10 पदों तक
हल : 
यहाँ a = 2, d = a2 – a1 = 7 – 2 = 5, और n = 10
चूँकि \(\displaystyle S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(\displaystyle \begin{array}{l}S=\frac{{10}}{2}[2\times 2+(10-1)\times 5]\\S=5(4+9\times 5)\\S=5(4+45)\\S=5\times 49\\S=245\end{array}\)

(ii) – 37, – 33, – 29, . . . , 12 पदों तक
हल : 
यहाँ a = – 37, d = a2 – a1 = – 33 – (- 37) = – 33 + 37 = 4, और n = 12
चूँकि \(\displaystyle S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(\displaystyle \begin{array}{l}S=\frac{{12}}{2}[2\times (-37)+(12-1)\times 4]\\S=6(-74+11\times 4)\\S=6(-74+44)\\S=6\times (-30)\\S=-180\end{array}\)

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . . , 100 पदों तक
हल :
यहाँ a = 0.6, d = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1, और n = 100
चूँकि \(\displaystyle S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(\displaystyle \begin{array}{l}S=\frac{{100}}{2}[2\times 0.6+(100-1)\times 1.1]\\S=50(1.2+99\times 1.1)\\S=50(1.2+108.9)\\S=50\times (110.1)\\S=5505\end{array}\)

(iv) \(\displaystyle \frac{1}{{15}},\frac{1}{{12}},\frac{1}{{10}},\) . . . , 11 पदों तक
हल :
यहाँ a = \(\displaystyle \frac{{1}}{15}\), d = a2 – a1 = \(\displaystyle \frac{1}{{12}}-\frac{1}{{15}}=\frac{{5-4}}{{60}}=\frac{1}{{60}}\), और n = 11
चूँकि \(\displaystyle S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(\displaystyle \begin{array}{l}S=\frac{{11}}{2}\left[ {2\times \frac{1}{{15}}+(11-1)\times \frac{1}{{60}}} \right]\\S=\frac{{11}}{2}\left[ {\frac{2}{{15}}+(10)\times \frac{1}{{60}}} \right]\\S=\frac{{11}}{2}\left[ {\frac{2}{{15}}+\frac{1}{6}} \right]\\S=\frac{{11}}{2}\left[ {\frac{{4+5}}{{30}}} \right]\\S=\frac{{11}}{2}\times \frac{9}{{30}}\\S=\frac{{33}}{{20}}\end{array}\)

2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :

(i) 7 + \(\displaystyle 10\frac{1}{2}\) + 14 + . . . + 84  (ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + . . . + (- 230)  

हल :-
(i) 7 + \(\displaystyle 10\frac{1}{2}\) + 14 + . . . + 84
सूत्र \(\displaystyle {{a}_{n}}=a+(n-1)d\) से –
जहाँ an = 84, a = 7 तथा d = a2 – a1 = \(\displaystyle \frac{{21}}{2}-7=\frac{{21-14}}{2}=\frac{7}{2}\), n = ?
\(\displaystyle \begin{array}{l}84=7+(n-1)\times \frac{7}{2}\\84=7+\frac{{7n}}{2}-\frac{7}{2}\\84=\frac{{14+7n-7}}{2}\\84\times 2=14+7n-7\\168=7+7n\\7n=168-7\\7n=161\\n=\frac{{161}}{7}\\n=23\end{array}\)चूँकि \(\displaystyle S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(\displaystyle \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{{23}}{2}[2\times 7+(23-1)\times \frac{7}{2}]\\{{S}_{n}}=\frac{{23}}{2}[14+22\times \frac{7}{2}]\\{{S}_{n}}=\frac{{23}}{2}[14+11\times 7]\\{{S}_{n}}=\frac{{23}}{2}[14+77]\\{{S}_{n}}=\frac{{23}}{2}\times 91\\{{S}_{n}}=\frac{{2093}}{2}\\{{S}_{n}}=1046\frac{1}{2}\end{array}\)

(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
सूत्र an = a+ (n – 1) d से –
जहाँ an = 10, a = 34, d = a2 – a1 = 32 – 34 = – 2, n = ?
10 = 34 + (n – 1) × (- 1)
10 = 34 – n + 1
n = 34 + 1 – 10
n = 35 – 10
n = 25

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