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Ncert solutions for class 10 maths Chapter 4 Quadratic Equation

class 10th maths Exercise − 4 Quadratic Equation
प्रश्नावली − 4 द्विघात समीकरण
ncert solutions for class 10 maths Chapter 4 Quadratic Equation
class 10th maths solution ex 4.1 प्रश्नावली 4.1

1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :

(i) (x + 1)2 = 2 (x − 3)	(ii) x2 − 2x = (− 2) (3 − x)
(iii) (x − 2) (x + 1) = (x − 1) (x + 3)	(iv) (x − 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x − 1) (x − 3) = (x + 5) (x − 1)	(vi) x2 + 3x + 1 = (x − 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 − 1)	(viii) x3 − 4x2 − x + 1 = (x − 2)3

हल :
(i) (x + 1)² = 2 (x − 3)
बायाँ पक्ष = (x + 1)² = x² + 2x + 1
दायाँ पक्ष = 2 (x − 3) = 2x − 6
अतः x² + 2x + 1 − 2x + 6 = 0
⇒ x² + 2x − 2x + 6 + 1 = 0
⇒ x² + 7 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 1, b = 0, c = 7 है।
अतः यह समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) x² − 2x = (− 2) (3 − x)
बायाँ पक्ष = x² − 2x
दायाँ पक्ष = (− 2) (3 − x) = − 6 + 2x
अतः x² − 2x = − 6 + 2x
⇒ x² − 2x + 6 − 2x = 0
⇒ x² − 2x − 2x + 6 = 0
⇒ x² − 4x + 6 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 1, b = − 4, c = 6 है।
अतः यह समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
बायाँ पक्ष = (x – 2) (x + 1) 
= x (x + 1) − 2 (x + 1)
= x² + x − 2x − 2
= x² − x − 2
दायाँ पक्ष = (x – 1) (x + 3)
= x (x + 3) − 1 (x + 3)
= x² + 3x − x − 3
= x² + 2x − 3
अतः x² − x − 2 = x² + 2x − 3
⇒ x² − x − 2 − x² − 2x + 3 = 0
⇒ x² − x² − x − 2x − 2 + 3 = 0
⇒ − 3x + 1 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 0, b = − 3, c = 1 है।
अतः यह नहीं समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iv) (x − 3) (2x + 1) = x (x + 5)
बायाँ पक्ष = (x − 3) (2x + 1)
= x (2x + 1) − 3 (2x + 1)
= 2x² + x − 6x − 1
= 2x² − 5x − 1
दायाँ पक्ष = x (x + 5)
= x² + 5x
अतः 2x² − 5x − 1 = x² + 5x
⇒ 2x² − 5x − 1 − x² − 5x = 0
⇒ 2x² − x² − 5x − 5x − 1 = 0
⇒ x² − 10x − 1 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 1, b = − 10, c = − 1 है।
अतः यह समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) (2x − 1) (x − 3) = (x + 5) (x − 1)
बायाँ पक्ष = (2x − 1) (x − 3)
= 2x (x − 3) − 1 (x − 3)
= 2x² − 6x − x + 3
= 2x² − 5x + 3
दायाँ पक्ष = (x + 5) (x − 1)
= x (x − 1) + 5 (x − 1)
= x² − x + 5x − 5
= x² + 4x − 5
अतः 2x² − 5x + 3 = x² + 4x − 5
⇒ 2x² − 5x + 3 − x² − 4x + 5 = 0
⇒ 2x² − x² − 5x − 4x + 3 + 5 = 0
⇒ x² − 9x + 8 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 1, b = − 9, c = 8 है।
अतः यह समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) x² + 3x + 1 = (x − 2)²
बायाँ पक्ष = x² + 3x + 1
दायाँ पक्ष = (x − 2)² 
= x² − 4x + 4
अतः x² + 3x + 1 = x² − 4x + 4
⇒ x² + 3x + 1 − x² + 4x − 4 = 0
⇒ x² − x² + 3x + 4x − 4 + 1 = 0
⇒ 7x − 3 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 0, b = 7, c = − 3 है।
अतः यह नहीं समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
बायाँ पक्ष = (x + 2)³ = x³ + (3x² × 2) + (3 × x × 2²)+ 2³
= x³ + 6x² + 12x + 8
दायाँ पक्ष = 2x (x² – 1) = 2x³ − 2x
अतः x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ − 2x
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 − 2x³ + 2x = 0
⇒ x³ − 2x³ + 6x² + 12x + 2x + 8 = 0
⇒ − x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = 0, b = 5, c = 6 है।
अतः यह नहीं समीकरण द्विघात समीकरण है।

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
बायाँ पक्ष = x³ – 4x² – x + 1
दायाँ पक्ष = (x – 2)³ = x³ − 2
अतः x³ – 4x² – x + 1 = x³ − 2
⇒ x³ − 4x² − x + 1 − x³ + 2 = 0
⇒ x³ − x³ − 4x² − x + 1 + 2 = 0
⇒ − 4x² − x + 3 = 0
चूँकि दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। 
जहाँ a = − 4, b = − 1, c = 3 है।
अतः यह समीकरण द्विघात समीकरण है।

2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
मानाकि आयताकार क्षेत्र की चौड़ाई = x मीटर
तथा लम्बाई = 2x + 1
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m²
लम्बाई × चौड़ाई = 528 m²
अतः x × (2x + 1) = 528
⇒ 2x² + x = 528 
⇒ 2x² + x − 528 = 0
अतः जहाँ x (मीटर में) भूखंड की चौड़ाई है।

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
मानाकि पहला धनात्मक पूर्णांक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णांक = x + 1
प्रश्नानुसार 
⇒ x × (x + 1) = 306
⇒ x² + x = 306
⇒ x² + x − 306 = 0
अतः जहाँ x लघुतर पूर्णांक है।

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
मानाकि रोहन की आयु = x वर्ष
तथा उसकी माँ की आयु = x + 26 वर्ष
तीन वर्ष बाद 
रोहन की आयु = x + 3
उसकी माँ की आयु = x + 26 + 3 = x + 29
प्रश्नानुसार 
अतः (x + 3) × (x + 29) = 360
⇒ x (x + 29) + 3 (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 − 360 = 0
⇒ x² + 32x − 273 = 0
अतः जहाँ x रोहन की वर्तमान आयु है।

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
मानाकि रेलगाड़ी की प्रारम्भिक चाल = x km/h
रेलगाड़ी द्वारा तय दूरी = 480 km
रेलगाड़ी द्वारा 480 km की दूरी तय करने में लगा समय = चाल / समय
समय = \(\displaystyle \frac{{480}}{x}\) घंटे

काल्पनिक चाल = (x − 8) km/h
काल्पनिक चाल से 480 km दूरी तय करने में लगा समय = चाल / समय
समय = \(\displaystyle \frac{{480}}{{x−8}}\) घंटे
प्रश्नानुसार 
\(\displaystyle \frac{{480}}{{x−8}}−\frac{{480}}{x}=3\)
⇒ \(\displaystyle 480\left[ {\frac{1}{{x−8}}−\frac{1}{x}} \right]=3\)
⇒ \(\displaystyle \left[ {\frac{{x−x+8}}{{x(x−8)}}} \right]=\frac{3}{{480}}\)
⇒ \(\displaystyle \frac{x}{{{{x}^{2}}−8x}}=\frac{1}{{160}}\)
⇒ x² − 8x = 160 × 8 (व्रज गुणा से)
⇒ x² − 8x = 1280
⇒ x² − 8x − 1280 = 0
अतः जहाँ x ट्रेन की चाल है।

class 10th maths Exercise − 4 Quadratic Equation
प्रश्नावली − 4 द्विघात समीकरण
ncert solutions for class 10 maths Chapter 4 Quadratic Equation
class 10th maths solution ex 4.2 प्रश्नावली 4.2

1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

(i) x2 – 3x – 10 = 0	(ii) 2x2 + x – 6 = 0
(iii) \(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0\)	(iv) \(\displaystyle 2{{x}^{2}}−x+\frac{1}{8}=0\)
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0

हल :
(i) x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² − 5x + 2x − 10 = 0
⇒ x (x − 5) + 2 (x − 5) = 0
⇒ (x − 5) (x + 2) = 0
x² – 3x – 10 = 0 के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए (x − 5) (x + 2) = 0 हो।
अतः (x − 5) = 0 या (x + 2) = 0
⇒ (x − 5) = 0
⇒ x = 5
और (x + 2) = 0
⇒ x = − 2
अतः समीकरण के मूल − 2 और 5 होगें।

(ii) 2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² − 3x + 2x − 6 = 0
⇒ x (2x − 3) + 2 (x − 3) = 0
⇒ (2x − 3) (x + 2) = 0
2x² + x – 6 = 0 के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए (2x − 3) (x + 2) = 0 हो।
अतः (2x − 3) = 0
⇒ 2x − 3 = 0
⇒ 2x = 3
⇒ x = \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
और (x + 2) = 0
⇒ x + 2 = 0
⇒ x = − 2
अतः समीकरण के मूल\(\displaystyle \frac{3}{2}\) और − 2 होगें।

(iii) \(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0\)
⇒ \(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+5x+2x+5\sqrt{2}=0\)
⇒ \(\displaystyle x\left( {\sqrt{2}x+5} \right)+\sqrt{2}\left( {\sqrt{2}x+5} \right)=0\)
⇒ \(\displaystyle \left( {\sqrt{2}x+5} \right)\left( {x+\sqrt{2}} \right)=0\)
\(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0\) के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए \(\displaystyle \left( {\sqrt{2}x+5} \right)\left( {x+\sqrt{2}} \right)=0\) हो।
अतः \(\displaystyle \left( {\sqrt{2}x+5} \right)=0\)
⇒ \(\displaystyle \sqrt{2}x+5=0\)
⇒ \(\displaystyle \sqrt{2}x=−5\)
⇒ \(\displaystyle x=\frac{{−5}}{{\sqrt{2}}}\)
और \(\displaystyle \left( {x+\sqrt{2}} \right)=0\)
⇒ \(\displaystyle x+\sqrt{2}=0\)
⇒ \(\displaystyle x=−\sqrt{2}\)
अतः समीकरण के मूल \(\displaystyle −\frac{5}{{\sqrt{2}}}\) और \(\displaystyle −\sqrt{2}\) होगें।

(iv) \(\displaystyle 2{{x}^{2}}−x+\frac{1}{8}=0\)
सभी पदों को 8 से गुणा करने पर 
\(\displaystyle 2{{x}^{2}}\times 8−x\times 8+\frac{1}{8}\times 8=0\times 8\) ⇒ 16x² − 8x + 1 = 0
⇒ 16x² − 4x − 4x + 1 = 0
⇒ 4x (4x − 1) − 1 (4x − 1) = 0
⇒ (4x − 1) (4x − 1) = 0
\(\displaystyle 2{{x}^{2}}−x+\frac{1}{8}=0\) के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए (4x − 1) (4x − 1) = 0 हो।
अतः (4x − 1) = 0
⇒ 4x − 1 = 0
⇒ 4x = 1
⇒ x = \(\displaystyle \frac{1}{4}\) और (4x − 1) = 0
⇒ 4x − 1 = 0
⇒ 4x = 1
⇒ x = \(\displaystyle \frac{1}{4}\) अतः समीकरण के मूल \(\displaystyle \frac{1}{4}\) और \(\displaystyle \frac{1}{4}\) होगें।

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² − 10x − 10x + 1 = 0
⇒ 10x (10x − 1) − 1 (10x − 1) = 0
⇒ (10x − 1) (10x − 1) = 0
100x² – 20x + 1 = 0 के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए (10x − 1) (10x − 1) = 0 हो।
अतः (10x − 1) = 0
⇒ 10x − 1 = 0
⇒ 10x = 1
⇒ x = \(\displaystyle \frac{1}{10}\)
और (10x − 1) = 0
⇒ 10x − 1 = 0
⇒ 10x = 1
⇒ x = \(\displaystyle \frac{1}{10}\) अतः समीकरण के मूल \(\displaystyle \frac{1}{10}\) और \(\displaystyle \frac{1}{10}\) होगें।

2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच−पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने−कितने कंचे थे।
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रुपये में) 55 में से एक दिन में निर्माण किये गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लगत रूपये 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल :
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच−पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने−कितने कंचे थे।
जॉन और जीवंती के पास कंचों की कुल संख्या = 45
मानाकि जॉन के पास कंचों की संख्या = x
तो जीवंती के पास कंचों की संख्या = (45 − x)
दोनों के पास पाँच−पाँच कंचे खो जाने के बाद 
जॉन के पास कंचों की संख्या = (x − 5)  
और जीवंती के पास कंचों की संख्या = (45 – x − 5)
प्रश्नानुसार
कंचे गुम हो जाने के बादे उनकी संख्या का गुणनफल = 124
अतः (x − 5) × (45 – x − 5) = 124
⇒ x (45 − x − 5) − 5 (45 − x − 5) = 124
⇒ 45x − x² − 5x − 225 + 5x + 25 = 124
⇒ − x² + 45x + 5x + 5x − 225 + 25 − 124 = 0
⇒ − x² + 50x − 5x − 349 + 25 = 0
⇒ − x² + 45x − 324 = 0
समीकरण को (−) से गुणा करने पर
⇒ x² − 45x + 324 = 0
⇒ x² − 36x − 9x + 324 = 0
⇒ x (x − 36) − 9 (x − 36) = 0
⇒ (x − 36) (x − 9) = 0
अतः (x − 36) = 0
x − 36 = 0
x = 36
और (x − 9) = 0
x − 9 = 0
x = 9
अतः शुरुवात में एक के पास 36 कंचे थे और दूसरे के पास 9 कंचे थे।

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रुपये में) 55 में से एक दिन में निर्माण किये गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लगत रूपये 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
मानाकि उस दिन निर्मित खिलौनों की कुल संख्या = x
उस दिन निर्मित प्रत्येक खिलौने की लगत = 55 − x
उस दिन कुल निर्माण की लागत = 750 रुपये
⇒ x (55 − x) = 750
⇒ 55x − x² = 750
⇒ − x² + 55x − 750 = 0
समीकरण को (−) से गुणा करने पर
⇒ x² − 55x + 750 = 0
⇒ x² − 30x − 25x + 750 = 0
⇒ x (x − 30) − 25 (x − 30) = 0
⇒ (x − 30) (x − 25) = 0
अतः (x − 30) = 0
x − 30 = 0
x = 30
और (x − 25) = 0
x − 25 = 0
x = 25
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x = 25
तथा उस दिन निर्मित प्रत्येक खिलौने की लगात = 55 − x = 55 − 25 = 30 रुपये 

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल :
दो संख्याओं का योग = 27
उन दो संख्याओं का गुणनफल = 182
मानाकि पहली संख्या = x
तथा दूसरी संख्या = 27 − x
प्रश्नानुसार 
⇒ x (27 − x) = 182
⇒ 27x − x² = 182
⇒ − x² + 27x − 182 = 0
समीकरण को (−) से गुणा करने पर
⇒ x² − 27x + 182 = 0
⇒ x² − 14x − 13x + 182 = 0
⇒ x (x − 14) − 13 (x − 14) = 0
⇒ (x − 13) (x − 14) = 0
अतः (x − 13) = 0
x − 13 = 0
x = 13
और (x − 14) = 0
x − 14 = 0
x = 14
अतः वह संख्याएँ 13 और 14 होगी।

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल :
मानाकि पहला धनात्मक पूर्णांक = x
तथा दूसरा धनात्मक पूर्णांक = x + 1
दोनों का वर्ग लेने पर 
पहली संख्या का वर्ग = x²
दूसरी संख्या का वर्ग = (x + 1)²
वर्गों का योग = 365
प्रश्नानुसार 
⇒ x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 365
⇒ 2x² + 2x + 1 − 365 = 0
⇒ 2x² + 2x − 364 = 0
⇒ 2 (x² + x − 364) = 0
⇒ x² + x − 182 = 0
⇒ x² + 14x − 13x − 182 = 0
⇒ x (x + 14) − 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x − 13) = 0
अतः (x + 14) = 0
x + 14 = 0
x = − 14
और (x − 13) = 0
x − 13 = 0
x = 13
चूँकि पूर्णांक धनात्मक है।
अतः पहला धनात्मक पूर्णांक x = 13 होगा।
तथा दूसरा धनात्मक पूर्णांक x + 1 = 13 + 1 = 14 

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो तो, अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
मानाकि समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
तथा इसकी ऊँचाई = (x − 7) cm
कर्ण = 13 cm
पाइथागोरस प्रमेय से 
(कर्ण)² = (आधार)² + (लम्ब)2
⇒ (13)² = (x)² + (x − 7)²
⇒ 169 = x² + x² − 14x + 49
⇒ x² + x² − 14x + 49 − 169 = 0
⇒ 2x² − 14x − 120 = 0
⇒ 2 (x² − 7x − 60) = 0
⇒ x² − 7x − 60 = 0
⇒ x² − 12x + 5x − 60 = 0
⇒ x (x − 12) + 5 (x − 12) = 0
⇒ (x − 12) (x + 5) = 0
अतः (x − 12) = 0
x − 12 = 0
x = 12
और (x + 5) = 0
x + 5 = 0
x = − 5
अतः त्रिभुज का आधार x = 12 cm
तथा ऊँचाई x − 7 = 12 − 7 = 5 cm

6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपये में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत रुपये 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल : 
मानाकि कुटीर उद्योग प्रतिदिन बर्तनों का निर्माण करता है = x
तथा प्रति नग निर्माण की लागत = 2x + 3
x बर्तनों की निर्माण की लागत = x (2x + 3)
प्रश्नानुसार 
x (2x + 3) = 90
⇒ 2x² + 3x − 90 = 0
⇒ 2x² + 15x − 12x − 90 = 0
⇒ x (2x + 15) − 6 (2x − 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x + 6) = 0
अतः (2x + 15) = 0
2x + 15 = 0
2x = 15
x = \(\displaystyle \frac{15}{2}\)
और (x + 6) = 0
x + 6 = 0
x = 6
अतः कुटीर उद्योग में प्रतिदिन निर्मित बर्तनों की संख्या x = 6
तथा प्रति नग निर्माण की लागत 2x + 3 = 2 × 6 + 3 = 15

 

class 10th maths Exercise − 4 Quadratic Equation
प्रश्नावली − 4 द्विघात समीकरण
ncert solutions for class 10 maths Chapter 4 Quadratic Equation
class 10th maths solution ex 4.3 प्रश्नावली 4.3

1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) \(\displaystyle 4{{x}^{2}}+4\sqrt{{3x}}+3=0\) (iv) 2×2 + x + 4 = 0

हल :
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
दिया गया द्विघात समीकरण :
2×2 – 7x + 3 = 0
प्रत्येक पद को x2 के गुणांक 2 से गुणा करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \left( {{{x}^{2}}-\frac{7}{2}x} \right)+\frac{3}{2}=0\\\Rightarrow \left[ {{{{(x)}}^{2}}-2\times x\times \frac{7}{4}} \right]+\frac{3}{2}=0\end{array}\)
x के गुणांक के \(\displaystyle \frac{7}{2}\) के आधे का वर्ग जोड़ने व घटाने पर,
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \left[ {{{{(x)}}^{2}}-2\times x\times \frac{7}{4}+{{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}}^{2}}} \right]+\frac{3}{2}=0\\\Rightarrow \left[ {{{{(x)}}^{2}}-2(x)\times \left( {\frac{7}{4}} \right)+{{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}}^{2}}} \right]-{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}=0\end{array}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{\left( {x-\frac{7}{4}} \right)}^{2}}-\frac{{49}}{{16}}+\frac{3}{2}=0\)  {चूँकि a2 – 2ab + b2 = (a – b)2}
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow {{\left( {x-\frac{7}{4}} \right)}^{2}}-\left( {\frac{{49}}{{16}}-\frac{3}{2}} \right)=0\\\Rightarrow {{\left( {x-\frac{7}{4}} \right)}^{2}}-\left( {\frac{{49-24}}{{16}}} \right)=0\\\Rightarrow {{\left( {x-\frac{7}{4}} \right)}^{2}}-\frac{{25}}{{16}}=0\\\Rightarrow {{\left( {x-\frac{7}{4}} \right)}^{2}}-{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^{2}}=0\end{array}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {x-\frac{7}{4}+\frac{5}{4}} \right)-\left( {x-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}} \right)=0\)  (चूँकि a2 – b2 = a2 – 2ab + b2)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \left( {x-\frac{2}{4}} \right)-\left( {x-\frac{{12}}{4}} \right)=0\\\Rightarrow \left( {x-\frac{1}{2}} \right)-(x-3)=0\end{array}\)

यदि x – 3 = 0 हो, तो x = 3 और यदि \(\displaystyle x-\frac{1}{2}=0\) हो, तो \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)
अतः समीकरण के मूल 3 व \(\displaystyle \frac{1}{2}\) हैं।

(ii) 2×2 + x – 4 = 0
दिया गया द्विघात समीकरण
2×2 + x – 4 = 0
सभी पदों में 2 से भाग देने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-2=0\\{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x=2\end{array}\)
दोनों पक्षों में \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{2}{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}}^{2}}} \right]\) जोड़ने पर –
\(\displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{{2x}}+{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=2+{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{2}}\)
(क्योंकि \(\displaystyle x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\))
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=2+\frac{1}{{16}}\\\Rightarrow {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=\frac{{32+1}}{{16}}\\\Rightarrow {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=\frac{{33}}{{16}}\\\Rightarrow x+\frac{1}{4}=\pm \frac{{\sqrt{{33}}}}{4}\end{array}\)
अर्थात \(\displaystyle x+\frac{1}{4}=\frac{{\sqrt{{33}}}}{4}\) या \(\displaystyle x+\frac{1}{4}=-\frac{{\sqrt{{33}}}}{4}\)
अर्थात \(\displaystyle x=\frac{{\sqrt{{33}}}}{4}-\frac{1}{4}\) या \(\displaystyle x=-\frac{{\sqrt{{33}}}}{4}-\frac{1}{4}\)
\(\displaystyle \Rightarrow x=\frac{{\sqrt{{33}}-1}}{4}\) या \(\displaystyle \Rightarrow x=-\frac{{\sqrt{{33}}-1}}{4}\)

अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \(\displaystyle \frac{{\sqrt{{33}}-1}}{4}\) और \(\displaystyle -\frac{{\sqrt{{33}}-1}}{4}\) हैं।

(iii) \(\displaystyle 4{{x}^{2}}+4\sqrt{{3x}}+3=0\)
सभी पक्षों में 4 से भाग देने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}^{2}}+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}=0\\\Rightarrow {{x}^{2}}+\sqrt{3}x=-\frac{3}{4}\end{array}\)
दोनों पक्षों में \(\displaystyle {{\left[ {\frac{1}{2}\left( {\sqrt{3}} \right)} \right]}^{2}}\) जोड़ने पर –
(क्योंकि \(\displaystyle x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\))
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow {{\left( {x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}} \right)}^{2}}=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\\\Rightarrow {{\left( {x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}} \right)}^{2}}=0\\\Rightarrow x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=0\end{array}\)
अर्थात \(\displaystyle x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \(\displaystyle -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\) और \(\displaystyle -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\) हैं।

(iv) 2×2 + x + 4 = 0
सभी पक्षों में 2 का भाग देने पर – 
\(\displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+2=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{1}{2}x=-2\)
दोनों पक्षों में \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{2}{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}}^{2}}} \right]\) जोड़ने पर – 
\(\displaystyle {{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=-2+{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{2}}\)
(क्योंकि \(\displaystyle x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\))
\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=-2+\frac{1}{{16}}\\\Rightarrow {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=\frac{{-32+1}}{{16}}\\\Rightarrow {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}=-\frac{{31}}{{16}}\\-\frac{{31}}{{16}}<0\end{array}\)

परन्तु हम जानते हैं कि किसी भी x के वास्तविक मान के लिए \(\displaystyle {{\left( {x+\frac{1}{4}} \right)}^{2}}\) ऋणात्मक नहीं हो सकता है। इसलिए x का कोई वास्तविक मान दी हुई समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकता। अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए।
(i) 2×2 – 7x + 3 = 0
2×2 – 7x + 3 = 0 के लिए
यहाँ a = 2, b = – 7 तथा c = 3 है। 
इसलिए b2 – 4ac
= b2 – 4ac
= (- 7)2 – 4 × 2 × 3
= 49 – 24
= 25
25 > 0 है।

अतः \(\displaystyle x=\frac{{7\pm \sqrt{{25}}}}{4}\)
\(\displaystyle x=\frac{{7\pm 5}}{4}\)
अर्थात \(\displaystyle x=\frac{{7+5}}{4}\)
\(\displaystyle x=\frac{{12}}{4}\)
या \(\displaystyle x=\frac{{7-5}}{4}\)
\(\displaystyle x=\frac{{2}}{4}\)
\(\displaystyle x=\frac{{1}}{2}\)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल 3 और \(\displaystyle \frac{{1}}{2}\) है।

(ii) 2×2 + x – 4 = 0
दिया गया है 2×2 + x – 4 = 0
यहाँ a = 2, b = 1 तथा c = – 4 है।
अतः b2 – 4ac
= (1)2 – 4 × 2 × (- 4)
= 1 + 32
33 > 0 है।
अतः \(\displaystyle x=\frac{{-1\pm \sqrt{{33}}}}{4}\)
(क्योंकि \(\displaystyle x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\))
अर्थात \(\displaystyle x=\frac{{\sqrt{{33}}-1}}{4}\)
या \(\displaystyle x=\frac{{-\sqrt{{33}}-1}}{4}\)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \(\displaystyle \frac{{\sqrt{{33}}-1}}{4}\) तथा \(\displaystyle \frac{{-\sqrt{{33}}-1}}{4}\) हैं।

(iii) \(\displaystyle 4{{x}^{2}}+4\sqrt{{3x}}+3=0\)
\(\displaystyle 4{{x}^{2}}+4\sqrt{{3x}}+3=0\) के लिए 
यहाँ a = 4, b = \(\displaystyle 4\sqrt{3}\) तथा c = 3 है।
अतः b2 – 4ac
\(\displaystyle {{\left( {4\sqrt{3}} \right)}^{2}}\) – 4 × 4 × 3
= 48 – 48
= 0 है।
अतः \(\displaystyle x=\frac{{-4\sqrt{3}\pm 0}}{8}\)
(क्योंकि \(\displaystyle x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\))
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{-4\sqrt{3}}}{8}\\=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\)
अर्थात \(\displaystyle x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \(\displaystyle -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\) तथा \(\displaystyle -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\) हैं।

(iv) 2×2 + x + 4 = 0
हल : 2×2 + x + 4 = 0 के लिए 
यहाँ a = 2, b = 1 तथा c = 4 है।
अतः b2 – 4ac
= (1)2 – 4 × 2 × 4
= 1 – 32
= – 31 < 0 है।
किन्तु क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
अतः \(\displaystyle \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}\) का मान वास्तविक नहीं होगा।
अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

(i) \(\displaystyle x-\frac{1}{x}=3,x\ne 0\)

(ii) \(\displaystyle \frac{1}{{x+4}}-\frac{1}{{x-7}}=\frac{{11}}{{30}},x\ne -4,7\)

हल :
(i) \(\displaystyle x-\frac{1}{x}=3,x\ne 0\) सभी पदों को x से गुणा करने पर –
\(\displaystyle x\times x-\frac{1}{x}\times x=3\times x\) ⇒ x2 – 1 = 3x
⇒ x2 – 3x – 1 = 0
⇒ x2 – 3x – 1 = 0
a= 1, b = – 3 और c = – 1 के मान द्विघात समीकरण \(\displaystyle x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\\x=\frac{{-(-3)\pm \sqrt{{{{{(-3)}}^{2}}-4\times 1\times (-1)}}}}{{2\times 1}}\\x=\frac{{3\pm \sqrt{{9-4}}}}{2}\\x=\frac{{3\pm \sqrt{{13}}}}{2}\end{array}\) अतः समीकरण के मूल –
\(\displaystyle x=\frac{{3+\sqrt{{13}}}}{2}\) और \(\displaystyle x=\frac{{3-\sqrt{{13}}}}{2}\) होंगे।