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NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 6

Square and Square Root
पाठ – 8
वर्ग और वर्गमूल
गणित

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 6
class 8th math
Ex 6.1 
प्रश्नावली 6.1

प्रश्नावली 6.1

1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?

(i) 81	(ii) 272	(iii) 799	(iv) 3853
(v) 1234	(vi) 26387	(vii) 52698	(viii) 99880
(ix) 12796	(x) 55555

हल :
(i) 81
हल : संख्या 81 का इकाई का अंक 1 है।
∴ 1 × 1 = 1
अतः संख्या 81 के वर्ग का इकाई का अंक = 1 होगा।

(ii) 272
हल : संख्या 272 का इकाई का अंक 2 है।
∴ 2 × 2 = 4
अतः संख्या 272 के वर्ग का इकाई का अंक = 4 होगा।

(iii) 799
हल : संख्या 799 का इकाई का अंक 9 है।
∴ 9 × 9 = 81
अतः संख्या 799 के वर्ग का इकाई का अंक = 1 होगा।

(vi) 3853
हल : संख्या 3853 का इकाई का अंक 3 है।
∴ 3 × 3 = 9
अतः संख्या 3853 के वर्ग का इकाई का अंक = 9 होगा।

(v) 1234
हल : संख्या 1234 का इकाई का अंक 4 है।
∴ 4 × 4 = 16
अतः संख्या 1234 के वर्ग का इकाई का अंक = 6 होगा।

(vi) 26387
हल : संख्या 26387 का इकाई का अंक 7 है।
∴ 7 × 7 = 49
अतः संख्या 26387 के वर्ग का इकाई का अंक = 9 होगा।

(vii) 52698
हल : संख्या 52698 का इकाई का अंक 8 है।
∴ 8 × 8 = 64
अतः संख्या 52698 के वर्ग का इकाई का अंक = 4 होगा।

(viii) 99880
हल : संख्या 99880 का इकाई का अंक 0 है।
∴ 0 × 0 = 0
अतः संख्या 99880 के वर्ग का इकाई का अंक = 0 होगा।

(xi) 12796
हल : संख्या 12796 का इकाई का अंक 6 है।
∴ 6 × 6 = 36
अतः संख्या 12796 के वर्ग का इकाई का अंक = 6 होगा।

(x) 55555
हल : संख्या 55555 का इकाई का अंक 5 है।
∴ 5 × 5 = 25
अतः संख्या 55555 के वर्ग का इकाई का अंक = 5 होगा।

2. निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए।

(i) 1057	(ii) 23453	(iii) 7928	(iv) 222222
(v) 64000	(vi) 89722	(vii) 222000	(viii) 505050

हल : जिन संख्याओं के इकाई का अंक 2, 3, 7 या 8 होती है, वे संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती है।
संख्या के अंत में विषम शून्य होने पर भी वह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होगी। 

(i) 1057
हल : संख्या 1057 का इकाई का अंक 7 है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(ii) 23453
हल : संख्या 23453 का इकाई का अंक 3 है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(iii) 7928
हल : संख्या 7928 का इकाई का अंक 8 है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(iv) 222222
हल : संख्या 222222 का इकाई का अंक 2 है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(v) 64000
हल : संख्या 64000 के अंत में 3 शून्य है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(vi) 89722
हल : संख्या 89722 का इकाई का अंक 2 है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(vii) 222000
हल : संख्या 222000 के अंत में 3 शून्य है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

(viii) 505050
हल : संख्या 505050 के अंत में 1 शून्य है, अतः ये पूर्ण वर्ग सख्या नहीं हैं।

3. निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?

(i) 431

(ii) 2826

(iii) 7779

(vi) 82004

हल : विषम संख्याओं का वर्ग विषम संख्या ही होता है।

(i) 431
हल : संख्या 431 एक विषम संख्या है, अतः इसका वर्ग भी विषम संख्या होगा।

(ii) 2826
हल : संख्या 2826 एक सम संख्या है, अतः इसका वर्ग भी सम संख्या होगा।

(iii) 7779
हल : संख्या 7779 एक विषम संख्या है, अतः इसका वर्ग भी विषम संख्या होगा।

(iv) 82004
हल : संख्या 2826 एक सम संख्या है, अतः इसका वर्ग भी सम संख्या होगा।

4. निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए।

11²	=	121
101²	=	10201
1001²	=	1002001
100001²	=	1………..2……….1
10000001²	=	………………………………

हल :

11²	=	121
101²	=	10201
1001²	=	1002001
100001²	=	10000200001
10000001²	=	100000020000001

5. निम्न प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए :

11²	=	121
101²	=	10201
10101²	=	102030201
1010101²	=	………………………..
…………………²	=	10203040504030201

हल :

11²	=	121
101²	=	10201
10101²	=	102030201
1010101²	=	1020304030201
101010101²	=	10203040504030201

6. दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को प्राप्त कीजिए :
1^² + 2^² + 2^² = 3^²
2^² + 3^² + 6^² = 7^²
3^² + 4^² + 12^² = 13^²
4^² + 5^² + __² = 21²
5^² + __² + 30^² = 31^²
6^² + 7^² + __² = __²
हल : दिए गए प्रतिरूप में दिस्री संख्या पहली संख्या में 1 जोड़ने पर प्राप्त होती है। पहली संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करने पर तीसरी संख्या प्राप्त होती है तथा बराबर के चिह्ण के बाद वाली संख्या तीसरी संख्या में एक जोड़ने पर प्राप्त होती है।
1^² + 2^² + 2^² = 3^²
2^² + 3^² + 6^² = 7^²
3^² + 4^² + 12^² = 13^²
4^² + 5^² + 20² = 21²
5^² + 6² + 30^² = 31^²
6^² + 7^² + 42² = 43²

7. योग संक्रिया किए बिना योगफल ज्ञात कीजिए :
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
हल : पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² होता है।
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
पहली 5 विषम प्राकृत संख्याओं का योग = 5²
= 25

(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
पहली 10 विषम प्राकृत संख्याओं का योग = 10²
= 100

(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
पहली 12 विषम प्राकृत संख्याओं का योग = 12²
= 144

8. (i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
हल :
(i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² होता है।
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² होता है।
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

9. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?

(i) 12 और 13

(ii) 25 और 26

(iii) 99 और 100

हल : किन्ही दो संख्याओं के वर्गों के बीच संख्याएँ = दोनों संख्याओं के वर्ग के अंतर से 1 कम 
(i) 12 और 13
12² = 144
13² = 169
दोनों के वर्गों का अंतर = 169 – 144
= 25
25 से 1 कम = 25 – 1 = 24
अर्थात 12 और 13 के वर्गों के बीच में 24 संख्याएँ हैं।

(ii) 25 और 26 
25² = 625
26² = 676
दोनों के वर्गों का अंतर = 676 – 625
= 51
51 से 1 कम = 51 – 1 = 50
अर्थात 25 और 26 के वर्गों के बीच में 50 संख्याएँ हैं।

(iii) 99 और 100
99² = 9801
100² = 10000
दोनों के वर्गों का अंतर = 10000 – 9801
= 199
199 से 1 कम = 199 – 1 = 198
अर्थात 99 और 100 के वर्गों के बीच में 198 संख्याएँ हैं।

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 6
class 8th math
Ex 6.2 
प्रश्नावली 6.2

प्रश्नावली 6.2

1. निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए।

(i) 32	(ii) 35	(iii) 86	(iv) 93
(v) 71	(vi) 46

हल : 
(i) 32
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²
(30 + 2)² = 30² + 2 × 30 × 2 + 2²
32² = 900 + 120 + 4
32² = 1024
अतः 32 का वर्ग 1024 है।

(ii) 35
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²
(35 + 4)² = 30² + 2 × 30 × 5 + 5²
35² = 900 + 300 + 25
35² = 1225
अतः 35 का वर्ग 1225 है।

(iii) 86
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²
(80 + 6)² = 80² + 2 × 80 × 6 + 6²
86² = 6400 + 960 + 36
86² = 7396
अतः 86 का वर्ग 7396 है।

(iv) 93
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²
(90 + 3)² = 90² + 2 × 90 × 3 + 3²
93² = 8100 + 540 + 9
93² = 8649
अतः 93 का वर्ग 8649 है।

(v) 71
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²
(70 + 1)² = 70² + 2 × 70 × 1 + 1²
71² = 4900 + 140 + 1
71² = 5041
अतः 71 का वर्ग 5041 है।

(vi) 46
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b²
(40 + 6)² = 40² + 2 × 40 × 6 + 6²
40² = 1600 + 480 + 36
40² = 5041
अतः 40 का वर्ग 2116 है।

2. पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका के सदस्य है,

(i) 6

(ii) 14

(iii) 16

(iv) 18

हल : साधारण रूप 2m, m² – 1, m² + 1 से हम पाइथागोरस त्रिक पा सकते हैं।
(i) 6 
हल : यदि हम 2m = 6 लेते हैं तो –
\(\displaystyle m=\frac{{6}}{2}\)
m = 3
जो m के लिए पूर्णांक मान है।
अतः m² – 1
m का मान रखने पर –
= 3² – 1
= 9 – 1
= 8
इसीप्रकार m² + 1 में m का मान रखने पर –
3² + 1
= 9 + 1
= 10
अतः पाइथागोरस त्रिक 6, 8 एवं 10 है।

(ii) 14 
हल : यदि हम 2m = 14 लेते हैं तो –
\(\displaystyle m=\frac{{14}}{2}\)
m = 7
जो m के लिए पूर्णांक मान है।
अतः m² – 1
m का मान रखने पर –
= 7² – 1
= 49 – 1
= 48
इसीप्रकार m² + 1 में m का मान रखने पर –
7² + 1
= 49 + 1
= 50
अतः पाइथागोरस त्रिक 14, 48 एवं 50 है।

(iii) 16 
हल : यदि हम 2m = 16 लेते हैं तो –
\(\displaystyle m=\frac{{16}}{2}\)
m = 8
जो m के लिए पूर्णांक मान है।
अतः m² – 1
m का मान रखने पर –
= 8² – 1
= 64 – 1
= 63
इसीप्रकार m² + 1 में m का मान रखने पर –
8² + 1
= 64 + 1
= 65
अतः पाइथागोरस त्रिक 16, 63 एवं 65 है।

(iv) 18 
हल : यदि हम 2m = 18 लेते हैं तो –
\(\displaystyle m=\frac{{18}}{2}\)
m = 9
जो m के लिए पूर्णांक मान है।
अतः m² – 1
m का मान रखने पर –
= 9² – 1
= 81 – 1
= 80
इसीप्रकार m² + 1 में m का मान रखने पर –
9² + 1
= 81 + 1
= 82
अतः पाइथागोरस त्रिक 9, 80 एवं 82 है।

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 6
class 8th math
Ex 6.3 
प्रश्नावली 6.3

प्रश्नावली 6.3

1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में इकाई अंक की क्या संभावना हैं।

(i) 9801

(ii) 99856

(iii) 998001

(iv) 657666025

हल : 
(i) 9801
संख्या 9801 में इकाई का अंक 1 है।
अतः इकाई का अंक 1 तभी आता है जब 1 को 1 से या 9 को 9 से गुणा किया जाए।
अतः संख्या 9801 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।

(ii) 99856
संख्या 99856 में इकाई का अंक 6 है।
अतः इकाई का अंक 6 तभी आता है जब 4 को 4 से या 6 को 6 से गुणा किया जाए।
अतः संख्या 99856 के वर्गमूल में इकाई का अंक 4 या 6 होगा।

(iii) 998001
संख्या 998001 में इकाई का अंक 1 है।
अतः इकाई का अंक 1 तभी आता है जब 1 को 1 से या 9 को 9 से गुणा किया जाए।
अतः संख्या 998001 के वर्गमूल में इकाई का अंक 1 या 9 होगा।

(iv) 657666025
संख्या 657666025 में इकाई का अंक 5 है।
अतः इकाई का अंक 5 तभी आता है जब 5 को 5 से गुणा किया जाए।
अतः संख्या 657666025 के वर्गमूल में इकाई का अंक 5 होगा।

3. बार-बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल : 
100 का वर्गमूल बार-बार घटाने की विधि से – 
जैसा की हम जानते हैं कि प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² है।

100 – 1 = 99	99 – 3 = 96	96 – 5 = 91	91 – 7 = 84
85 – 9 = 75	76 – 11 = 64	66 – 13 = 51	53 – 15 = 36
38 – 17 = 19	19 – 19 = 0

संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 100 में रूप घटाने पर 10वें पद में 0 प्राप्त होता है। अतः 100 का वर्गमूल 10 होगा।
\(\displaystyle \sqrt{{100}}=10\)

169 का वर्गमूल बार-बार घटाने की विधि से – 
जैसा की हम जानते हैं कि प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² है।

169 – 1 = 168	168 – 3 = 165	165 – 5 = 160	160 – 7 = 153
153 – 9 = 144	144 – 11 = 133	133 – 13 = 120	120 – 15 = 105
105 – 17 = 88	88 – 19 = 69	69 – 21 = 48	48 – 23 = 25
25 – 25 = 0

संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 169 में रूप घटाने पर 13वें पद में 0 प्राप्त होता है। अतः 169 का वर्गमूल 13 होगा।
\(\displaystyle \sqrt{{169}}=13\)

4. अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्न संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए :

(i) 729	(ii) 400	(iii) 1764	(iv) 4096
(v) 7744	(vi) 9604	(vii) 5929	(viii) 9216
(ix) 529	(x) 8100

हल : 
(i) 729
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{3\left| {729} \right.}}\\\underline{{3\left| {243} \right.}}\\\underline{{3\left| {81} \right.}}\\\underline{{\left. 3 \right|27}}\\\underline{{3\left| 9 \right.}}\\\underline{{3\left| 3 \right.}}\\\left. {} \right|1\end{array}\)
संख्या 729 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 
= 3 × 3 × 3
= 27
अतः \(\displaystyle \sqrt{{729}}=27\)

(ii) 400 
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {400} \right.}}\\\underline{{2\left| {200} \right.}}\\\underline{{2\left| {100} \right.}}\\\underline{{\left. 2 \right|50}}\\\underline{{5\left| {25} \right.}}\\\underline{{5\left| 5 \right.}}\\\left. {} \right|1\end{array}\)
संख्या 400 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 
= 2 × 2 × 5
= 20
अतः \(\displaystyle \sqrt{{400}}=20\)

(iii) 1764
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {1764} \right.}}\\\underline{{2\left| {882} \right.}}\\\underline{{3\left| {441} \right.}}\\\underline{{\left. 3 \right|147}}\\\underline{{7\left| {49} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\left. {} \right|1\end{array}\)
संख्या 1764 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2 × 3 × 7
= 42
अतः \(\displaystyle \sqrt{{1764}}=42\)

(iv) 4096
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {4096} \right.}}\\\underline{{2\left| {2048} \right.}}\\\underline{{2\left| {1024} \right.}}\\\underline{{2\left| {512} \right.}}\\\underline{{2\left| {256} \right.}}\\\underline{{2\left| {128} \right.}}\\\underline{{2\left| {64} \right.}}\\\underline{{2\left| {32} \right.}}\\\underline{{2\left| {16} \right.}}\\\underline{{2\left| 8 \right.}}\\\underline{{2\left| 4 \right.}}\\\underline{{2\left| 2 \right.}}\\\left. {} \right|1\end{array}\)
संख्या 4096 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64
अतः \(\displaystyle \sqrt{{4096}}=64\)

(v) 7744
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\underline{{2\left| {7744} \right.}}\\\,\,\underline{{2\left| {3872} \right.}}\\\,\,\underline{{2\left| {1936} \right.}}\\\,\,\underline{{2\left| {968} \right.}}\\\underline{{\,\,2\left| {484} \right.}}\\\underline{{\,\,2\left| {242} \right.}}\\\underline{{11\left| {121} \right.}}\\\underline{{11\left| {11} \right.}}\\\,\,\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 7744 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11
= 2 × 2 × 2 × 11
= 88
अतः \(\displaystyle \sqrt{{7744}}=88\)

(vi) 9604
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {9604} \right.}}\\\underline{{2\left| {4802} \right.}}\\\underline{{7\left| {2401} \right.}}\\\underline{{7\left| {343} \right.}}\\\underline{{7\left| {49} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 9604 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7
= 2 × 7 × 7
= 98
अतः \(\displaystyle \sqrt{{9604}}=98\)

(vii) 5929
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\,\,7\left| {5929} \right.}}\\\underline{{\,\,7\left| {847} \right.}}\\\underline{{11\left| {121} \right.}}\\\underline{{11\left| {11} \right.}}\\\,\,\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 5929 के अभाज्य गुणनखंड = 7 × 7 × 11 × 11
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 7 × 7 × 11 × 11
= 7 × 11
= 77
अतः \(\displaystyle \sqrt{{5929}}=77\)

(viii) 9216
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {9216} \right.}}\\\underline{{2\left| {4608} \right.}}\\\underline{{2\left| {2304} \right.}}\\\underline{{2\left| {1152} \right.}}\\\underline{{2\left| {576} \right.}}\\\underline{{2\left| {288} \right.}}\\\underline{{2\left| {144} \right.}}\\\underline{{2\left| {72} \right.}}\\\underline{{2\left| {36} \right.}}\\\underline{{2\left| {18} \right.}}\\\underline{{3\left| 9 \right.}}\\\underline{{3\left| 3 \right.}}\\\left. {} \right|1\end{array}\)
संख्या 9216 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 96
अतः \(\displaystyle \sqrt{{9216}}=96\)

(ix) 529
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{23\left| {529} \right.}}\\\underline{{23\left| {23} \right.}}\\\left. {\,\,\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 529 के अभाज्य गुणनखंड = 23 × 23
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 23 × 23
= 23
अतः \(\displaystyle \sqrt{{529}}=23\)

(x) 8100
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {8100} \right.}}\\\underline{{2\left| {4050} \right.}}\\\underline{{3\left| {2025} \right.}}\\\underline{{3\left| {675} \right.}}\\\underline{{3\left| {225} \right.}}\\\underline{{3\left| {75} \right.}}\\\underline{{5\left| {25} \right.}}\\\underline{{5\left| 5 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 8100 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2 × 3 × 3 × 5
अतः \(\displaystyle \sqrt{{8100}}=90\)

5. निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिये जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 252	(ii) 180	(iii) 1008	(iv) 2028
(v) 1458	(vi) 768

हल : 
(i) 252
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {252} \right.}}\\\underline{{2\left| {126} \right.}}\\\underline{{3\left| {63} \right.}}\\\underline{{3\left| {21} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 252 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
दो दो के युग्म बनाने पर 7 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 252 को 7 से गुणा करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे 
= 252 × 7
= 1764
= 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2 × 3 × 7
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{1764}}=42\)

(ii) 180
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {180} \right.}}\\\underline{{2\left| {90} \right.}}\\\underline{{3\left| {45} \right.}}\\\underline{{3\left| {15} \right.}}\\\underline{{5\left| 5 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 180 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
दो दो के युग्म बनाने पर 5 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 180 को 5 से गुणा करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे 
= 180 × 5
= 900
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2 × 3 × 5
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{900}}=30\)

(iii) 1008
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {1008} \right.}}\\\underline{{2\left| {504} \right.}}\\\underline{{2\left| {252} \right.}}\\\underline{{2\left| {126} \right.}}\\\underline{{3\left| {63} \right.}}\\\underline{{3\left| {21} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 1008 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
दो दो के युग्म बनाने पर 7 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 1008 को 5 से गुणा करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे 
= 1008 × 7
= 7056
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2 × 2 × 3 × 7
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{7056}}=84\)

(iv) 2028
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\underline{{2\left| {2028} \right.}}\\\,\,\underline{{2\left| {1014} \right.}}\\\,\,\underline{{3\left| {507} \right.}}\\\underline{{13\left| {169} \right.}}\\\underline{{13\left| {13} \right.}}\\\,\,\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 2028 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
दो दो के युग्म बनाने पर 3 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 2028 को 3 से गुणा करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे 
= 2028 × 3
= 6084
= 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
= 2 × 3 × 13
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{6084}}=78\)

(v) 1458
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {1458} \right.}}\\\underline{{3\left| {729} \right.}}\\\underline{{3\left| {243} \right.}}\\\underline{{3\left| {81} \right.}}\\\underline{{3\left| {27} \right.}}\\\underline{{3\left| 9 \right.}}\\\underline{{3\left| 3 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 1458 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
दो दो के युग्म बनाने पर 2 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 1458 को 2 से गुणा करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे 
= 1458 × 2
= 2916
= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2 × 3 × 3 × 3
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{2916}}=54\)

(vi) 768
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {768} \right.}}\\\underline{{2\left| {384} \right.}}\\\underline{{2\left| {192} \right.}}\\\underline{{2\left| {96} \right.}}\\\underline{{2\left| {48} \right.}}\\\underline{{2\left| {24} \right.}}\\\underline{{2\left| {12} \right.}}\\\underline{{2\left| 6 \right.}}\\\underline{{3\left| 3 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 768 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
दो दो के युग्म बनाने पर 3 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 768 को 3 से गुणा करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे 
= 768 × 3
= 2304
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{768}}=48\)

6. निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 252	(ii) 2925	(iii) 396	(iv) 2645
(v) 2800	(vi) 1620

हल :
(i) 252
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {252} \right.}}\\\underline{{2\left| {126} \right.}}\\\underline{{3\left| {63} \right.}}\\\underline{{3\left| {21} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\) संख्या 252 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
दो दो के युग्म बनाने पर 7 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 252 को 7 से भाग करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे।
= 252 ÷ 7
= 36
नयी संख्या 36 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3
= 2 × 3
= 6
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{36}}=6\)

(ii) 2925
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\,\,3\left| {2925} \right.}}\\\underline{{\,\,3\left| {975} \right.}}\\\underline{{\,\,5\left| {325} \right.}}\\\underline{{\,\,5\left| {65} \right.}}\\\underline{{13\left| {13} \right.}}\\\,\,\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 2925 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
दो दो के युग्म बनाने पर 13 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 2925 को 13 से भाग करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे।
= 2925 ÷ 13
= 225
नयी संख्या 225 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 5 × 5
= 3 × 5
= 15
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{225}}=15\)

(iii) 396
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\,\,2\left| {396} \right.}}\\\underline{{\,\,2\left| {198} \right.}}\\\underline{{\,\,3\left| {99} \right.}}\\\underline{{\,\,3\left| {33} \right.}}\\\underline{{11\left| {11} \right.}}\\\,\,\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 396 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
दो दो के युग्म बनाने पर 11 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 396 को 11 से भाग करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे।
= 396 ÷ 11
= 36
नयी संख्या 36 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3
= 2 × 3
= 6
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{36}}=6\)

(iv) 2645
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\,\,\,5\left| {2645} \right.}}\\\underline{{23\left| {529} \right.}}\\\underline{{23\left| {23} \right.}}\\\,\,\,\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 2645 के अभाज्य गुणनखंड = 5 × 23 × 23
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 5 × 23 × 23
दो दो के युग्म बनाने पर 5 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 2645 को 5 से भाग करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे।
= 2645 ÷ 5
= 529
नयी संख्या 529 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 23 × 23
= 23
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{529}}=23\)

(v) 2800
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {2800} \right.}}\\\underline{{2\left| {1400} \right.}}\\\underline{{2\left| {700} \right.}}\\\underline{{2\left| {350} \right.}}\\\underline{{5\left| {175} \right.}}\\\underline{{5\left| {35} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 2800 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
दो दो के युग्म बनाने पर 7 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 2800 को 7 से भाग करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे।
= 2800 ÷ 7
= 400
नयी संख्या 400 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2 × 2 × 5
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{400}}=20\)

(vi) 1620
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {1620} \right.}}\\\underline{{2\left| {810} \right.}}\\\underline{{3\left| {405} \right.}}\\\underline{{3\left| {135} \right.}}\\\underline{{3\left| {45} \right.}}\\\underline{{3\left| {15} \right.}}\\\underline{{5\left| 5 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
संख्या 1620 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
अभाज्य गुणनखंड के दो-दो के युग्म (जोड़े) बनाने पर = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
दो दो के युग्म बनाने पर 5 के युग्म नहीं बनते हैं अतः हम संख्या 1620 को 5 से भाग करके पूर्ण वर्ग संख्या बना लेंगे।
= 1620 ÷ 5
= 324
नयी संख्या 324 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2 × 3 × 3
अतः प्राप्त नयी संख्या का वर्गमूल \(\displaystyle \sqrt{{324}}=18\)

7. एक विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राष्ट्रीय राहत कोष में ₹ 2401 दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपये दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = x
तथा प्रत्येक विद्यार्थी ने प्रधानमंत्री राष्ट्रीय कोष में जमा करवाए = x
प्रधानमंत्री राष्ट्रीय कोष में कुल दान की गई राशि = 2401
प्रश्नानुसार –
x × x = 2401
x² = 2401
\(\displaystyle x=\sqrt{{2401}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{7\left| {2401} \right.}}\\\underline{{7\left| {343} \right.}}\\\underline{{7\left| {49} \right.}}\\\underline{{7\left| 7 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{{\underline{{7\times 7}}\times \underline{{7\times 7}}}}\)
x = 7 × 7
x = 49
अतः विद्यालय में 49 विद्यार्थी थे तथा प्रत्येक विद्यार्थी ने ₹ 49 दान दिए।

8. एक बाग़ में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने थे कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों कि संख्या हो। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों कि संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पंक्तियों की संख्या = x
प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = x
कुल पौधों की संख्या = 2025
प्रश्नानुसार –
x × x = 2025
x² = 2025
\(\displaystyle x=\sqrt{{2025}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{5\left| {2025} \right.}}\\\underline{{5\left| {405} \right.}}\\\underline{{3\left| {81} \right.}}\\\underline{{3\left| {27} \right.}}\\\underline{{3\left| 9 \right.}}\\\underline{{3\left| 3 \right.}}\\\,\,\,\left| 1 \right.\end{array}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{{\underline{{5\times 5}}\times \underline{{3\times 3}}\times \underline{{3\times 3}}}}\)
x = 5 × 3 × 3
x = 45
अतः पंक्ति की संख्या 45 तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या 45 होगी।

9. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल : इसे दो चरण में हल कर सकते हैं। सबसे पहले छोटे उभयनिष्ठ गुणज को ज्ञात करेंगे। तथा उसके बाद आवश्यक वर्ग संख्या ज्ञात करेंगे।
वह सबसे छोटी संख्या जिसमें 4, 9 और 10 का भाग जाएगा, इसकी ल.स.प. है।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {4,9,10} \right.}}\\\underline{{2\left| {2,9,5} \right.}}\\\underline{{3\left| {1,9,5} \right.}}\\\underline{{3\left| {1,3,5} \right.}}\\\underline{{5\left| {1,1,5} \right.}}\\\,\,\,\left| {1,1,1} \right.\end{array}\)
संख्या 4, 9 और 10 का ल.स.प. = 180 है।
ल.स.प. 180 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
अभाज्य गुणनखंड में देखते है कि 5 के युग्म नहीं बनते हैं। अतः 180 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए 5 के जोड़े बनाने होंगे। 
अतः 180 को 5 से गुणा करने पर 900 प्राप्त होता है जो एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

10. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाए।
हल : इसे दो चरण में हल कर सकते हैं। सबसे पहले छोटे उभयनिष्ठ गुणज को ज्ञात करेंगे। तथा उसके बाद आवश्यक वर्ग संख्या ज्ञात करेंगे।
वह सबसे छोटी संख्या जिसमें 8, 15 और 20 का भाग जाएगा, इसकी ल.स.प. है।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{2\left| {8,15,20} \right.}}\\\underline{{2\left| {4,9,10} \right.}}\\\underline{{2\left| {2,9,5} \right.}}\\\underline{{3\left| {1,9,5} \right.}}\\\underline{{3\left| {1,3,5} \right.}}\\\underline{{5\left| {1,1,5} \right.}}\\\,\,\,\left| {1,1,1} \right.\end{array}\)
संख्या 8, 15 और 20 का ल.स.प. = 360 है।
ल.स.प. 360 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
अभाज्य गुणनखंड में देखते है कि 2, 5 के युग्म नहीं बनते हैं। अतः 360 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए 2, 5 के जोड़े बनाने होंगे। 
अतः 360 को 10 से गुणा करने पर 3600 प्राप्त होता है जो एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

 

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 6
class 8th math
Ex 6.4
प्रश्नावली 6.4

1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) 2304
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,48\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\underline{{23}}\underline{{04}}\\\underline{{\left. {+4} \right|-16\,\downarrow \,}}\\\left. {\,88} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,704\\\underline{{\left. {\,\,\,\,8} \right|\,\,\,-\,\,704}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\) चरण 1 इकाई अंक से प्रारम्भ करते हुए प्रत्येक युग्म पर बार लगाते हैं। इसप्रकार संख्या को \(\displaystyle \overline{{23}}\overline{{04}}\) लिखते हैं।
चरण 2 बायीं तरफ पहला युग्म 23 है। अब हमें एक ऐसी संख्या खोजनी है, जिसे उसी से गुणा करने पर या तो 23 आयें या 23 से कम।
जैसे 4² = 4 × 4 = 16
5² = 5 × 5 = 25
तो हम संख्या 4 लेते हैं।
चरण 3 सबसे बायीं बार के नीचे भाज्य 23 के साथ भाजक और भागफल के रुप में इस संख्या को लीजिए। भाग कीजिए और शेषफल ज्ञात कीजिए।
चरण 4 अगली बार के बीचे की संख्या को शेषफल के दाँयी ओर लिखिए। अतः अगली भाज्य संख्या 704 होगी।
चरण 5 भाजक को दुगुना कीजिए और इसे दाँयें में खली स्थान के साथ लिखिए।
चरण 6 रिक्त स्थान को भरने के लिए सबसे बड़े संभावित अंक का अनुमान लगाइए जो कि भागफल में नया अंक होगा और नए भाजक को नए भागफल से गुणा करने पर गुणनफल भाज्य से कम या बराबर होगी।
इस स्थिति में 
89 × 9 = 801
88 × 8 = 704
चूँकि 88 × 8 = 704, अतः शेषफल प्राप्त करने के लिए नया अंक 8 चुनते है।
चरण 7 क्योंकि शेषफल 0 है, और दी गई संख्या में कोई अंक शेष नहीं है।
अतः \(\displaystyle \sqrt{{2304}}=48\)

(ii) 4489
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,67\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,6} \right|\,\,\,\,\,\overline{{44}}\overline{{89}}\\\underline{{\left. {+\,\,\,6} \right|-36\,\,\downarrow \,}}\\\left. {127} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,889\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,7} \right|\,\,\,\,\,-\,889}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{4489}}=67\)

(iii) 3481
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,59\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\,\overline{{34}}\overline{{81}}\\\underline{{\left. {+\,\,\,5} \right|-25\,\,\downarrow \,}}\\\left. {109} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,981\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,9} \right|\,\,\,\,\,-\,981}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{3481}}=59\)

(iv) 529
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,23\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{5}\overline{{29}}\\\underline{{\left. {+\,\,\,2} \right|-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,\,43} \right|\,\,\,\,\,\,129\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,3} \right|\,\,-\,129}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{529}}=23\)

(v) 3249
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,57\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\overline{{32}}\overline{{49}}\\\underline{{\left. {+\,\,5} \right|-25\,\,\downarrow \,}}\\\left. {107} \right|\,\,\,\,\,\,749\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,7} \right|\,\,-\,749}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{3249}}=57\)

(vi) 1369
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,37\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,3} \right|\,\,\,\overline{{13}}\overline{{69}}\\\underline{{\left. {+\,\,3} \right|-9\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,67} \right|\,\,\,\,\,469\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,7} \right|-469}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{1369}}=37\)

(vii) 5776
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,76\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,7} \right|\,\,\,\,\,\overline{{57}}\overline{{76}}\\\underline{{\left. {+\,\,7} \right|-49\,\,\downarrow \,}}\\\left. {146} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,876\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,6} \right|\,\,\,\,-876}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{5776}}=76\)

(viii) 7921
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,89\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,8} \right|\,\,\,\,\,\overline{{79}}\overline{{21}}\\\underline{{\left. {+\,\,8} \right|-64\,\,\downarrow \,}}\\\left. {169} \right|\,\,\,\,\,1521\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,9} \right|\,-1521}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{7921}}=89\)

(ix) 576
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,24\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{5}\overline{{76}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,44} \right|\,\,\,\,\,176\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,4} \right|\,-176}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{576}}=24\)

(x) 1024
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,32\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,3} \right|\,\,\,\,\,\overline{{10}}\overline{{24}}\\\underline{{\left. {+\,\,3} \right|\,\,\,\,-9\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,62} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,124\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,-124}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{1024}}=32\)

(xi) 3136
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,56\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\,\overline{{31}}\overline{{36}}\\\underline{{\left. {+\,\,5} \right|\,-25\,\,\downarrow \,}}\\\left. {106} \right|\,\,\,\,\,\,636\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,6} \right|\,\,-636}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{3136}}=56\)

(xii) 900
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,30\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,3} \right|\,\,\,\,\,\overline{9}\overline{{00}}\\\underline{{\left. {+\,\,3} \right|\,\,-9\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,60} \right|\,\,\,\,\,\,000\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,0} \right|\,\,-000}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{900}}=30\)

3. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए :

(i) 2.56	(ii) 7.29	(iii) 51.84	(iv) 42.25
(v) 31.36

हल : 
(i) 2.56
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,1.6\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,1} \right|\,\,\,\,\,\overline{2}.\overline{{56}}\\\underline{{\left. {+\,\,1} \right|\,\,-1\,\,\downarrow \,}}\\\,\,\left. {26} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,156\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,6} \right|\,\,-156}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{2.56}}=1.6\)

(ii) 7.29
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,2.7\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{7}.\overline{{29}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\,\,\left. {47} \right|\,\,\,\,\,\,329\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,7} \right|\,\,-329}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{7.29}}=2.7\)

(iii) 51.84
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,7.2\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,7} \right|\,\,\,\,\,\overline{{51}}.\overline{{84}}\\\underline{{\left. {+\,\,7} \right|\,-49\,\,\downarrow \,}}\\\left. {142} \right|\,\,\,\,\,\,\,284\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,-284}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{51.84}}=7.2\)

(iv) 42.25
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,6.5\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,6} \right|\,\,\,\,\,\overline{{42}}.\overline{{25}}\\\underline{{\left. {+\,\,6} \right|\,-36\,\,\downarrow \,}}\\\left. {125} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,625\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\,-625}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{42.25}}=6.5\)

(v) 31.36
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,5.6\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\,\overline{{31}}.\overline{{36}}\\\underline{{\left. {+\,\,5} \right|\,\,-25\,\,\downarrow \,}}\\\left. {106} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,636\\\underline{{\left. {\,\,\,\,\,6} \right|\,\,\,\,\,-636}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{31.36}}=5.6\)

4. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में से न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए :

(i) 402	(ii) 1989	(iii) 3250	(iv) 825
(v) 4000

हल : 
(i) 402
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{4}\overline{{02}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,4\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,02\end{array}\)
शेषफल 2 है, अतः 402 में से 2 घटाने पर संख्या 400 प्राप्त होती है।
जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। जिसका वर्गमूल 20 होगा।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,20\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{4}\overline{{00}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,40} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,00\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,00}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\,\end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{400}}=20\)

(ii) 1989
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\overline{{19}}\overline{{89}}\\\underline{{\left. {+\,\,4} \right|\,-16\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,\,84} \right|\,\,\,\,\,\,\,389\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\,\,336}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,53\end{array}\) 
शेषफल 53 है, अतः 1989 में से 53 घटाने पर संख्या 1936 प्राप्त होती है।
जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। जिसका वर्गमूल 44 होगा।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,44\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\overline{{19}}\overline{{36}}\\\underline{{\left. {+\,\,4} \right|\,-16\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,\,84} \right|\,\,\,\,\,\,\,336\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\,\,336}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{1936}}=44\)

(iii) 3250
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,57\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\,\overline{{32}}\overline{{50}}\\\underline{{\left. {+\,\,5} \right|\,-25\,\,\downarrow \,}}\\\left. {107} \right|\,\,\,\,\,\,\,750\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,7} \right|\,\,\,\,\,\,\,749}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\end{array}\)
शेषफल 1 है, अतः 3250 में से 1 घटाने पर संख्या 3249 प्राप्त होती है।
जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। जिसका वर्गमूल 57 होगा।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,57\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,5} \right|\,\,\,\,\,\overline{{32}}\overline{{49}}\\\underline{{\left. {+\,\,5} \right|\,-25\,\,\downarrow \,}}\\\left. {107} \right|\,\,\,\,\,\,\,749\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,7} \right|\,\,\,\,\,\,\,749}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{3249}}=57\)

(iv) 825
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,28\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{8}\overline{{25}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,48} \right|\,\,\,\,\,425\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,8} \right|\,\,\,\,\,384}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,41\end{array}\)
शेषफल 41 है, अतः 825 में से 41 घटाने पर संख्या 784 प्राप्त होती है।
जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। जिसका वर्गमूल 28 होगा।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,28\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{7}\overline{{84}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,-3\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,48} \right|\,\,\,\,\,384\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,8} \right|\,\,\,\,\,384}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\times \end{array}\)
\(\displaystyle \sqrt{{784}}=28\)

(v) 4000
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,63\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,6} \right|\,\,\,\,\,\overline{{40}}\overline{{00}}\\\underline{{\left. {+\,\,6} \right|\,-36\,\,\downarrow \,}}\\\left. {123} \right|\,\,\,\,\,\,\,400\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,3} \right|\,\,\,\,\,\,\,369}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,31\end{array}\)
शेषफल 31 है, अतः 4000 में से 31 घटाने पर संख्या 3969 प्राप्त होती है।
जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। जिसका वर्गमूल 63 होगा।

5. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए :

(i) 525	(ii) 1750	(iii) 252	(iv) 1825
(v) 6412

हल : 
(i) 525
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,22\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{5}\overline{{25}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,42} \right|\,\,\,\,\,125\\\underline{{\,\,\,\,\left. {\,2} \right|\,\,\,\,\,\,\,84}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,41\end{array}\)
संख्या 525 का भाग विधि से वर्गमूल करने पर 41 शेषफल बचते है। जो दर्शाता है कि 
22² < 525
अगली पूर्ण संख्या 23² = 529
अतः अभीष्ट संख्या = 23² – 525
529 – 525 = 4
अतः संख्या 525 में 4 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी जिसका वर्गमूल 23 होगा।

(ii) 1750
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,41\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\overline{{17}}\overline{{50}}\\\underline{{\left. {+\,\,4} \right|-16\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,\,81} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,150\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 1 \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,81}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,69\end{array}\)
संख्या 1750 का भाग विधि से वर्गमूल करने पर 69 शेषफल बचते है। जो दर्शाता है कि 
41² < 1750
अगली पूर्ण संख्या 42² = 1764
अतः अभीष्ट संख्या = 42² – 1750
1764 – 1750 = 14
अतः संख्या 1750 में 14 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी जिसका वर्गमूल 42 होगा।

(iii) 252
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,15\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,1} \right|\,\,\,\,\,\overline{2}\overline{{52}}\\\underline{{\left. {+\,\,1} \right|\,\,-1\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,25} \right|\,\,\,\,\,\,152\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 5 \right|\,\,\,\,\,\,125}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,27\end{array}\)
संख्या 252 का भाग विधि से वर्गमूल करने पर 27 शेषफल बचते है। जो दर्शाता है कि 
15² < 252
अगली पूर्ण संख्या 16² = 256
अतः अभीष्ट संख्या = 16² – 252
256 – 252 = 4
अतः संख्या 252 में 4 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी जिसका वर्गमूल 16 होगा।

(iv) 1825
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,42\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,4} \right|\,\,\,\,\,\overline{{18}}\overline{{25}}\\\underline{{\left. {+\,\,4} \right|\,\,-16\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,82} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,225\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 2 \right|\,\,\,\,\,\,\,\,164}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,61\end{array}\)
संख्या 252 का भाग विधि से वर्गमूल करने पर 27 शेषफल बचते है। जो दर्शाता है कि 
42² < 1825
अगली पूर्ण संख्या 43² = 1849
अतः अभीष्ट संख्या = 43² – 1825
1849 – 1825 = 24
अतः संख्या 1825 में 24 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी जिसका वर्गमूल 43 होगा।

(v) 6412
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,80\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,8} \right|\,\,\,\,\,\overline{{64}}\overline{{12}}\\\underline{{\left. {+\,\,8} \right|\,\,-64\,\,\downarrow \,}}\\\left. {160} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,012\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 0 \right|\,\,\,\,\,\,\,\,000}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,12\end{array}\)
संख्या 6412 का भाग विधि से वर्गमूल करने पर 12 शेषफल बचते है। जो दर्शाता है कि 
80² < 6412
अगली पूर्ण संख्या 81² = 6561
अतः अभीष्ट संख्या = 81² – 6412
6561 – 6412 = 149
अतः संख्या 6412 में 149 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी जिसका वर्गमूल 81 होगा।

6. किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 441 m² हैं।
हल : मानाकि वर्ग की भुजा = x हैं।
वर्ग का क्षेत्रफल = 441 m²
भुजा × भुजा = 441
x × x = 441
x² = 441
\(\displaystyle x=\sqrt{{441}}\)
भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,21\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{4}\overline{{41}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,41} \right|\,\,\,\,\,\,041\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 1 \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,41}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \end{array}\)
अतः वर्ग की भुजा x = 21 m होगी।

7. किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°
(a) यदि AB = 6 cm, BC = 8 cm, है तो AC ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AC = 13 cm, BC = 5 cm, है तो AB ज्ञात कीजिए।
हल : 
(a) यदि AB = 6 cm, BC = 8 cm, है तो AC ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि 
(कर्ण)² = (आधार)² + (लम्ब)²
(AC)² = (AB)² + (BC)²
सूत्र में मान रखने पर – 
(AC)² = (6)² + (8)²
(AC)² = 36 + 64
(AC)² = 100
\(\displaystyle AC=\sqrt{{100}}\)
AC = 10 cm

(b) यदि AC = 13 cm, BC = 5 cm, है तो AB ज्ञात कीजिए।
हल : हम जानते हैं कि 
(आधार)² = (कर्ण)² – (लम्ब)²
(AB)² = (AC)² – (BC)²
(AB)² = (13)² – (5)²
(AB)² = 169 – 25
(AB)² = 144
\(\displaystyle AB=\sqrt{{144}}\)
AB = 12 cm

8. एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।
हल : मानाकि पंक्तियों की संख्या = x
तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = x
प्रश्नानुसार 
x × x = 1000
x² = 1000
\(\displaystyle x=\sqrt{{1000}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,31\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,3} \right|\,\,\,\,\,\overline{{10}}\overline{{00}}\\\underline{{\left. {+\,\,3} \right|\,\,\,\,-9\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,91} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,100\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 1 \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,91}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\end{array}\)
संख्या 1000 का भाग विधि से वर्गमूल करने पर 9 शेषफल बचते है। जो दर्शाता है कि 
31² < 1000
अगली पूर्ण संख्या 32² = 1024
अतः अभीष्ट संख्या = 32² – 1000
1024 – 1000 = 24
अतः संख्या 1024 में 24 जोड़ने पर पूर्ण वर्ग संख्या बन जाएगी।
माली को 24 पौधों की आवश्यकता होगी।

9. एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी है। पी. टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थी को बाहर जाना होगा?
हल : मानाकि पंक्तियों की संख्या = x
तथा कॉलम की संख्या = x
प्रश्नानुसार –
x × x = 500
x² = 500
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,22\,\,\,\,\,}}\\\left. {\,\,\,\,\,2} \right|\,\,\,\,\,\overline{5}\overline{{00}}\\\underline{{\left. {+\,\,2} \right|\,-4\,\,\downarrow \,}}\\\left. {\,\,42} \right|\,\,\,\,\,\,100\\\underline{{\,\,\,\,\,\left. 2 \right|\,\,\,\,\,\,\,84}}\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,16\end{array}\)
शेषफल 16 है, अतः 500 में से 16 घटाने पर संख्या 484 प्राप्त होती है।
जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। जिसका वर्गमूल 22 होगा।
अतः व्यवस्था बनाने के लिए 16 विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा।