NCERT Solutions Class 8 Maths Chapter 13 Direct and Inverse Proportions | एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित अध्याय 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात के समाधान class 8th maths

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NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 13 Direct and Inverse Proportions
class 8th maths
कक्षा – 8 गणित
प्रश्नावली 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 13
class 8th maths
Ex 13.1 
प्रश्नावली 13.1

प्रश्नावली 13.1 

1. एक रेलवे स्टेशन के निकट कार पार्किंग शुल्क इस प्रकार है –

4 घंटों तक ₹ 60
8 घंटों तक ₹ 100
12 घंटो तक ₹ 140
24 घंटो तक  ₹ 180

जांच कीजिए कि क्या कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के के प्रत्यक्ष अनुपात में है।

हल :- 
जैसे-जैसे पार्किंग के घंटों में वृद्धि होती जाएगी, उसी अनुपात शुल्क में वृद्धि होगी।
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 4, y1 = 60 और x2 = 8, y2 = 100
∴ \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{4}{{60}}=\frac{8}{{100}}\\\frac{1}{{15}}=\frac{2}{{25}}\end{array}\)
अतः \(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}\ne \frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
दोनों पार्किंग शुल्क में प्रति घंटे का शुल्क समान नहीं है, अतः हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पार्किंग शुल्क प्रत्यक्ष अनुपात में नहीं हैं।

2. एक पेंट के मूल मिश्रण (base) के 8 भागों में लाल रंग के पदार्थ का 1 भाग मिलाकर मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित सारणी में मूल मिश्रण के वे भाग ज्ञात कीजिए जिन्हें मिलाए जाने कि आवश्यकता है :

लाल रंग के पदार्थ के भाग 1 4 7 12 20
मूल मिश्रण के भाग 8 …… …… …… ……

हल :-
हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 1, y1 = 8 तथा x2 = 4, y2 = y2
अतः \(\displaystyle \frac{1}{8}=\frac{4}{{{{y}_{2}}}}\)
y2 = 4 × 8
y2 = 32
इसीप्रकार – 
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}=\frac{{{{x}_{3}}}}{{{{y}_{3}}}}\)
x2 = 4, y2 = 32 तथा x3 = 7, y3 = y3
अतः \(\displaystyle \frac{4}{{32}}=\frac{7}{{{{y}_{3}}}}\)
4y3 = 32 × 7
\(\displaystyle {{y}_{3}}=\frac{{32\times 7}}{4}\)
y3 = 8 × 7
y3 = 56
इसीप्रकार – 
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{3}}}}{{{{y}_{3}}}}=\frac{{{{x}_{4}}}}{{{{y}_{4}}}}\)
x3 = 7, y3 = 56 तथा x4 = 12, y4 = y4
अतः \(\displaystyle \frac{7}{{56}}=\frac{12}{{{{y}_{4}}}}\)
7y4 = 12 × 56
अतः \(\displaystyle {{y}_{4}}=\frac{{12\times 56}}{7}\)
7y4 = 12 × 8
y4 = 96
इसीप्रकार – 
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{4}}}}{{{{y}_{4}}}}=\frac{{{{x}_{5}}}}{{{{y}_{5}}}}\)
x4 = 12, y4 = 96 तथा x5 = 20, y5 = y5
अतः \(\displaystyle \frac{12}{{96}}=\frac{20}{{{{y}_{5}}}}\)
12y4 = 20 × 96
अतः \(\displaystyle {{y}_{5}}=\frac{{20\times 96}}{{12}}\)
12y5 = 20 × 8
y5 = 160

लाल रंग के पदार्थ के भाग 1 4 7 12 20
मूल मिश्रण के भाग 8 32 56 96 160

3. प्रश्न 2 में यदि लाल रंग के पदार्थ के 1 भाग के लिए 75 mL मूल मिश्रण की आवश्यकता है, तो मूल मिश्रण के 1800 mL में हमें कितना लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए?
हल :-
हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 1, y1 = 75 तथा x2 = x2, y2 = 1800
75x2 = 1800
\(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{1800}}{{75}}\)
x2 = 24
अतः मूल मिश्रण के 1800 mL में हमें 24 mL लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए।

4. किसी सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में के मशीन 840 बोलतें 6 घंटे में भरती है। वह मशीन पांच घंटे में कितनी बोतले भरेगी?
हल :-
हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 840, y1 = 6 तथा x2 = x2, y2 = 5
\(\displaystyle \frac{{840}}{6}=\frac{{{{x}_{2}}}}{5}\)
6x2 = 840 × 5
\(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{840\times 5}}{6}\)
x2 = 140 × 5
x2 = 700
अतः वह मशीन पांच घंटे में 700 बोतले भरेगी।

5. एक बैक्टीरिया (bacteria) या जीवाणु के फोटोग्राफ (चित्र) को 50,000 गुना आवर्धित करने पर उसकी लंबाई 5 cm हो जाती है, जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है? इस बैक्टीरिया कि वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना आवर्धित किया जाए, तो उसकी आवर्धित लंबाई क्या होगी?
हल :-
बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई 
\(\displaystyle =\frac{5}{{50000}}=\frac{1}{{10000}}\)
= 10-4 cm

आवर्धित 50,000 20,000
लंबाई 5 cm y2

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 50,000, y1 = 5 तथा x2 = 20,000, y2 = y2
\(\displaystyle \frac{{50000}}{5}=\frac{{20000}}{{{{y}_{2}}}}\)
10000y2 = 20000
\(\displaystyle {{y}_{2}}=\frac{{20000}}{{10000}}\)
y2 = 2 cm
अतः यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना आवर्धित किया जाए, तो उसकी आवर्धित लंबाई 2 cm होगी।

6. एक जहाज के मॉडल में, उसका मस्तूल (mast) 9 cm हो  जाती है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 m ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 m है, तो उसके मॉडल की लंबाई कितनी है?
हल :-
मानाकि मॉडल के मस्तूल की लंबाई = x

जहाज के मॉडल के मस्तूल की लंबाई (cm) में 9 x
जहाज के मस्तूल की लंबाई (cm) में 12 28

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
जहाँ x1 = 9, y1 = 12 तथा x2 = x, y2 = 28
\(\displaystyle \frac{9}{{12}}=\frac{x}{{28}}\)
12x = 9 × 28
\(\displaystyle x=\frac{{9\times 28}}{{12}}\)
\(\displaystyle x=\frac{{3\times 28}}{4}\)
x = 3 × 7
x = 21
अतः जहाज के मॉडल की लंबाई 21 cm होगी। 

7. मान लीजिए 2 kg चीनी में 9 × 106 क्रिस्टल है। निम्नलिखित चीनी में कितने चीनी के क्रिस्टल होंगे? 

(i) 5 kg (ii) 1.2 kg

हल :-
मानाकि 5 kg चीनी में क्रिस्टल की संख्या = y

चीनी की मात्रा (kg में) 2 5
क्रिस्टल की संख्या 9 × 106 y

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 2, y1 = 9 × 106 तथा x2 = 5, y2 = y
\(\displaystyle \frac{2}{{9\times {{{10}}^{6}}}}=\frac{5}{y}\)
2y = 5 × 9 × 106
\(\displaystyle y=\frac{{5\times 9\times {{{10}}^{6}}}}{2}\)
y = 2.5 × 9 × 106
y = 22.5 × 106
y = 2.25 × 107
अतः 5 kg चीनी में क्रिस्टल की संख्या 2.25 × 107 होगी।

मानाकि 1.2 kg चीनी में क्रिस्टल की संख्या = y

चीनी की मात्रा (kg में) 2 1.2
क्रिस्टल की संख्या 9 × 106 y

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 2, y1 = 9 × 106 तथा x2 = 1.2, y2 = y
\(\displaystyle \frac{2}{{9\times {{{10}}^{6}}}}=\frac{1.2}{y}\)
2y = 1.2 × 9 × 106
\(\displaystyle y=\frac{{1.2\times 9\times {{{10}}^{6}}}}{2}\)
y = 0.6 × 9 × 106
y = 5.4 × 106
अतः 1.2 kg चीनी में क्रिस्टल की संख्या 5.4 × 106 होगी।

8. रश्मि के पास एक सड़क का मानचित्र है, जिसके पैमाने में 1 cm की दूरी 18 km निरूपित करती है। वह उस सड़क पर अपनी गाड़ी से 72 km की दूरी तय करती है। उसके द्वारा तय की गई दूरी मानचित्र में क्या होगी?
हल :-
मानाकि उसके द्वारा तय की गई दूरी मानचित्र में = x

मानचित्र में पैमाना (cm में) 1 x
सड़क की लंबाई (km में) 18 72

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 1, y1 = 18 तथा x2 = x, y2 = 72
\(\displaystyle \frac{1}{{18}}=\frac{x}{{72}}\)
18x = 72
\(\displaystyle x=\frac{{72}}{{18}}\)
x = 4 cm
अतः उसके द्वारा तय की गई दूरी मानचित्र में 4 cm होगी।

9. एक 5 m 60 cm ऊँचे ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई 3 m 20 cm है। उसी समय पर ज्ञात कीजिए –

  (i) 10 m 50 cm ऊँचे एक अन्य खंभे की छाया की लंबाई 
  (ii) उस खंभे की ऊंचाई जिसके छाया की लंबाई 5 m है।

हल :-
(i) 10 m 50 cm ऊँचे एक अन्य खंभे की छाया की लंबाई 
मानाकि खंभे की छाया की लंबाई = y

खंभे की लंबाई (m में) 5.60 10.50
छाया की लंबाई (m में) 3.20 y

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 5.60, y1 = 3.20 तथा x2 = 10.50, y2 = y
\(\displaystyle \frac{{5.60}}{{3.20}}=\frac{{10.50}}{y}\)
5.60 × y = 10.50 × 3.20
\(\displaystyle y=\frac{{10.50\times 3.20}}{{5.60}}\)
\(\displaystyle y=\frac{{10.50\times 0.4}}{{0.7}}\)
y = 15 × 0.4
y = 6.0 m
अतः 10 m 50 cm ऊँचे एक अन्य खंभे की छाया की लंबाई 6.0 m होगी।

(ii) उस खंभे की ऊंचाई जिसके छाया की लंबाई 5 m है।
मानाकि खंभे की ऊंचाई = x

खंभे की लंबाई (m में) 5.60 x
छाया की लंबाई (m में) 3.20 5

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)
x1 = 5.60, y1 = 3.20 तथा x2 = x, y2 = 5
\(\displaystyle \frac{{5.60}}{{3.20}}=\frac{x}{5}\)
3.20 × x = 5.60 × 5
\(\displaystyle x=\frac{{5.60\times 5}}{{3.20}}\)
\(\displaystyle x=\frac{{7\times 5}}{4}\)
\(\displaystyle x=\frac{{35}}{4}\)
x = 8.75 m
अतः खंभे की ऊँचाई 8 m 75 cm होगी।

10. माल से लदा हुआ एक ट्रक 25 मिनट में 14 km चलता है। यदि चल वही रहे, तो वह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर पाएगा?
हल :-
मानाकि तय की गई दूरी = y

समय (min में) 25 300 (5 घंटे)
तय दूरी (km में) 14 y

हम जानते हैं कि –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{y}_{2}}}}\)

जहाँ x1 = 25, y1 = 14 तथा x2 = 300, y2 = y
\(\displaystyle \frac{{25}}{{14}}=\frac{{300}}{y}\)
25 × y = 300 × 14
\(\displaystyle y=\frac{{300\times 14}}{{25}}\)
y = 12 × 14
y = 168 km
अतः वह 5 घंटे में 168 km दूरी तय कर पाएगा।

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 13
class 8th maths
Ex 13.2
प्रश्नावली 13.2

1. निम्नलिखित में से कौन प्रतिलोम अनुपात में हैं?

  (i) किसी कार्य पर लगे व्यक्तियों की संख्या और उस कार्य को पूरा करने में लगा समय
  (ii) एक समान चाल से किसी यात्रा में लिया गया समय और तय दूरी।
  (iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल।
  (iv) एक निश्चित यात्रा में लिया गया समय और वाहन की चाल।
  (v) किसी देश की जनसँख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।

हल :-
(i) किसी कार्य पर लगे व्यक्तियों की संख्या और उस कार्य को पूरा करने में लगा समय।
उत्तर – यह प्रतिलोम अनुपात है क्योंकि यदि कार्य करने वालों की संख्या में वृद्धि होगी तो कार्य करने के समय में कमी होगी।

(ii) एक समान चाल से किसी यात्रा में लिया गया समय और तय दूरी।
उत्तर – यह सीधा या प्रत्यक्ष अनुपात है क्योंकि जैसे-जैसे समय बढ़ता है वैसे-वैसे तय गई दूरी भी बढ़ती है।

(iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल।
उत्तर – यह सीधा या प्रत्यक्ष अनुपात है, क्योंकि जितना बढ़ा खेत का क्षेत्रफल होगा, उसमे कटी गई फसल भी उतनी ही ज्यादा होगी।

(iv) एक निश्चित यात्रा में लिया गया समय और वाहन की चाल।
उत्तर – यह प्रतिलोम अनुपात होगा, क्योंकि वाहन की चाल जितनी ज्यादा होगी, समय उतना ही कम लगेगा।

(v) किसी देश की जनसँख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।
उत्तर – यह प्रतिलोम अनुपात होगा क्योंकि जनसँख्या जीतनी बढ़ेगी प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल उतना ही कम होगा।

2. एक टेलीविजन गेम शो (game show) में, रु 1,00,000 की पुरस्कार राशि विजेताओं में समान रूप से वितरित की जानी है। निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार की धनराशि विजेताओं की संख्या के अनुत्क्रमानुपाती है या व्यत्क्रमानुपाती है।

विजेताओं की संख्या 1 2 4 5 8 10 20
प्रत्येक विजेता का पुरस्कार (रु में) 1,00,000 50,000 ….. ….. ….. ….. …..

हल :-
उपरोक्त सारणी से पता चलता है कि विजेताओं की संख्या और पुरस्कार में दी जाने वाली धनराशि प्रतिलोम अनुपात में हैं। यदि विजेताओं की संख्या बढ़ती है, तो दी जाने वाली पुरस्कार की धनराशि कम होती जाएगी।
अतः यदि विजेताओं की संख्या 4 हो तो, दी जाने वाली पुरस्कार धनराशि = 100000/4 
= रु 25,000
यदि विजेताओं की संख्या 5 हो तो, दी जाने वाली पुरस्कार धनराशि = 100000/5
= रु 20,000
यदि विजेताओं की संख्या 8 हो तो, दी जाने वाली पुरस्कार धनराशि = 100000/8
= रु 12,500
यदि विजेताओं की संख्या 10 हो तो, दी जाने वाली पुरस्कार धनराशि = 100000/10
= 10,000
यदि विजेताओं की संख्या 20 हो तो, दी जाने वाली पुरस्कार धनराशि = 100000/20
= रु 5,000

विजेताओं की संख्या 1 2 4 5 8 10 20
प्रत्येक विजेता का पुरस्कार (रु में) 1,00,000 50,000 25,000 20,000 12,500 10,000 5,000

3. रहमान तीलियों या डंडियों का प्रयोग करते हुए, एक पहिया बना रहा है। वह समान तीलियाँ इस प्रकार लगाना चाहता है कि किन्ही भी क्रमागत तीलियों के युग्मों के बीच के कोण बराबर हैं।
निम्नलिखित सारणी को पूरा करके, उसकी सहायता कीजिए :

तीलियों की संख्या 4 6 8 10 12
क्रमागत तीलियों के एक युग्म का कोण 90° 60° ….. ….. …..

(i) क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का प्रतिलोम समानुपात में है?
(ii) 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का परिकलित समानुपात में है?
(iii) यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी?

हल :-
उपयुक्त सारणी में प्रतिलोम अनुपात होगा क्योंकि यदि तीलियों की संख्या बढ़ेगी तो क्रमागत तीलियों के बीच का कोण का मान कम होगा।
अतः यदि तीलियों की संख्या 8 होगी तो, क्रमागत तीलियों के बीच बनने वाला कोण = 360/8
= 45°
यदि तीलियों की संख्या 10 होगी तो, क्रमागत तीलियों के बीच बनने वाला कोण = 360/10
= 36°
यदि तीलियों की संख्या 12 होगी तो, क्रमागत तीलियों के बीच बनने वाला कोण = 360/12
= 30°

तीलियों की संख्या 4 6 8 10 12
क्रमागत तीलियों के एक युग्म का कोण 90° 60° 45° 36° 30°

(i) क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का प्रतिलोम समानुपात में है?
उत्तर – हाँ, तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के मध्य बनने वाले कोण में प्रतिलोम अनुपात है।

(ii) 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का परिकलित समानुपात में है?
उत्तर – जब तीलियों की संख्या 15 है, तब तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण = 360/15
= 24°

(iii) यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी?
उत्तर – यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या = 360/40
= 9°

4. यदि किसी डिब्बे की मिठाई को 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 5 मिठाइयाँ मिलती है। यदि बच्चों की संख्या में 4 की कमी हो जाए, तो प्रत्येक को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?
हल :-

बच्चों की संख्या 24 (24 – 4) = 20
मिठाइयों की संख्या 5 x

स्पष्ट है कि यदि बच्चों की संख्या में वृद्धि होगी तो, प्रत्येक बच्चे को मिठाई कम मिलेगी।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)
जहाँ x1 = 24, y1 = 5 तथा x2 = 20, y2 = x
\(\displaystyle \frac{{24}}{{20}}=\frac{x}{5}\)
20 × x = 5 × 24
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{5\times 24}}{{20}}\\x=\frac{{24}}{4}\end{array}\)
x = 6
अतः प्रत्येक बच्चे को 6 मिठाइयां मिलेंगी।

5. एक किसान की पशुशाला में 20 पशुओं के लिए 6 दिन का पर्याप्त भोजन है। यदि इस पशुशाला में 10 पशु और आ जाएँ, तो यह भोजन कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?
हल :-

पशुओं की संख्या 20 (20 + 10) = 30
भोजन के दिन 6 x

स्पष्ट है कि यदि पशुशाला में पशुओं की संख्या में वृद्धि होगी तो, भोजन कम दिनों तक चलेगा।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)
जहाँ x1 =20, y1 = 6 तथा x2 = 30, y2 = x
\(\displaystyle \frac{{20}}{{30}}=\frac{x}{6}\)
30 × x = 20 × 6
\(\displaystyle x=\frac{{20\times 6}}{{30}}\)
\(\displaystyle x=\frac{{2\times 6}}{3}\)
x = 2 × 2
x = 4
अतः 30 पशुओं के लिए भोजन 6 दिन तक पर्याप्त होगा।

6. एक ठेकेदार यह आकलन करता है कि जसमिंदर के घर में पुनः तार लगाने का कार्य 3 व्यक्ति 4 दिन में कर सकते है। यदि वह तीन के स्थान पर चार व्यक्तियों को इस काम पर लगाता है, तो यह कार्य कितने दिन में पूरा हो जाएगा।
हल :- 

व्यक्तियों की संख्या 3 4
दिनों की संख्या 4 x

स्पष्ट है कि यदि ठेकेदार व्यक्तियों की संख्या में वृद्धि करता है, तो कार्य कम दिनों में पूरा हो जाएगा। 
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)
जहाँ x1 = 3, y1 = 4 तथा x2 = 4, y2 = x
\(\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{x}{4}\)
4 × x = 4 × 3
\(\displaystyle x=\frac{{4\times 3}}{4}\)
x = 3
चार व्यक्ति उस काम को 3 दिन में कर देंगे।

7. बोतलों के एक बैच (batch) को 25 बक्सों में रखा जाता है, जबकि प्रत्येक बॉक्स में 12 बोतलें हैं। यदि इसी बैच की बोतलों को इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक बक्स में 20 बोतलें हों, तो कितने बक्स भरे जाएँगे?
हल :-

बक्सों कि संख्या 25 x
बोतलों कि संख्या 12 20

स्पष्ट है कि यदि बोतलों की संख्या कम होगी तो, बक्सों की संख्या में वृद्धि होगी।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)
जहाँ x1 =25, y1 = 12 तथा x2 = x, y2 = 20
\(\displaystyle \frac{{25}}{x}=\frac{{20}}{{12}}\) 20 × x = 25 × 12
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{25\times 12}}{{20}}\\x=\frac{{5\times 12}}{4}\end{array}\) x = 5 × 3
x = 15
अतः यदि प्रत्येक बक्स में 20 बोतलें हों, तो 15 बक्स भरे जाएँगे।

8. एक फैक्ट्री को कुछ वस्तुएँ 63 दिन में बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। उतनी ही वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए, कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?
हल :- 

दिनों की संख्या 63 54
मशीनों की संख्या 42 x

स्पष्ट है कि यदि वस्तुएँ कम दिनों में बनानी है, तो अधिक मशीनों की आवश्यकता होगी।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)

जहाँ x1 =63, y1 = 42 तथा x2 = 54, y2 = x
\(\displaystyle \frac{{63}}{{54}}=\frac{x}{{42}}\) 54 × x = 63 × 42

\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{63\times 42}}{{54}}\\x=\frac{{7\times 42}}{6}\end{array}\)
x = 7 × 7
x = 49
अतः उतनी ही वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए, 49 मशीनों की आवश्यकता होगी।

9. एक कार एक स्थान तक पहुँचने में 60 km/h की चाल से चलकर 2 घंटे का समय लेती है। 80 km/h की चाल से उस कार को कितना समय लगेगा?
हल : –

चाल (km/h में) 60 80
समय (घंटे में) 2 x

स्पष्ट है कि यदि कार की चाल बढ़ेगी तो तय करने में लगा समय कम लगेगा।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)

जहाँ x1 = 60, y1 = 2 तथा x2 = 80, y2 = x
\(\displaystyle \frac{{60}}{{80}}=\frac{x}{2}\) 80 × x = 60 × 2
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{60\times 2}}{{80}}\\x=\frac{{6\times 2}}{8}\\x=\frac{{3\times 2}}{4}\\x=\frac{3}{2}\\x=1\frac{1}{2}\end{array}\) अतः 80 km/h की चाल से उस कार को \(\displaystyle 1\frac{1}{2}\) घंटे का समय लगेगा।

10. दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ 3 दिन में लगा सकते हैं।

  (i) कार्य प्रारम्भ होने से पहले, एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। अब यह कार्य कितने दिन में पूरा हो पाएगा?
  (ii) एक ही दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए, कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

हल :-
(i) कार्य प्रारम्भ होने से पहले, एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। अब यह कार्य कितने दिन में पूरा हो पाएगा?
हल :- 

व्यक्तियों की संख्या 2 1
समय 3 x

स्पष्ट है कि यदि व्यक्तियों की संख्या में कमी होगी तो, दिनों की संख्या में वृद्धि होगी।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)

जहाँ x1 = 2, y1 = 3 तथा x2 = 1, y2 = x
\(\displaystyle \frac{2}{1}=\frac{x}{3}\) x = 3 × 2
x = 6
अतः अब यह कार्य 6 दिन में पूरा हो पाएगा।

(ii) एक ही दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए, कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

व्यक्तियों की संख्या 2 x
समय 3 1

स्पष्ट है कि यदि व्यक्तियों की संख्या में कमी होगी तो, दिनों की संख्या में वृद्धि होगी।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)

जहाँ x1 = 2, y1 = 3 तथा x2 = x, y2 = 1
\(\displaystyle \frac{2}{x}=\frac{1}{3}\) x = 3 × 2
x = 6
अतः एक ही दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए, 6 व्यक्तियों की आवश्यकता होगी।

11. किसी स्कूल में, 45 मिनट अवधि के 8 कालांश होते हैं। यह कल्पना करते हुए कि स्कूल का कार्य समय उतना ही रहता है, यदि स्कूल में बराबर अवधि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश कितने समय का होगा?
हल :-

समय (min में) 45 x
कालांश 8 9

स्पष्ट है कि यदि कालांश की संख्या बढ़ेगी तो, कालांश का समय कम होगा।
अतः यह एक प्रतिलोम अनुपात है।
प्रतिलोम अनुपात में –
\(\displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{x}_{2}}}}=\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\)

जहाँ x1 = 45, y1 = 8 तथा x2 = x, y2 = 9
\(\displaystyle \frac{{45}}{x}=\frac{9}{8}\) 9 × x = 8 × 45
\(\displaystyle x=\frac{{8\times 45}}{9}\) x = 8 × 5
x = 40 मिनट
अतः यदि स्कूल में बराबर अवधि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश 40 मिनट का होगा।

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