NCERT Solutions Class 8 Math Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities | कक्षा 8 गणित अध्याय 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

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NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 9

Algebraic Expressions and Identities
अध्याय – 9
बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ
गणित

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 9
8th class maths
Ex 9.1 
प्रश्नावली 9.1

प्रश्नावली 9.1

1. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए : 

(i) 5xyz2 − 3zy (ii) 1 + x + x2 (iii) 4x2y2 − 4x2y2z2 + z2
(iv) 3 − pq + qr – rp (v) \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-xy\) (vi) 0.3a − 0.6ab + 0.5b

हल :

    पद गुणांक
(i) 5xyz2 − 3zy इस व्यंजक में दो पद हैं
5xyz2 और 3zy
5 और − 3
(ii) 1 + x + x2 इस व्यंजक में दो पद हैं
1, x और x2
1, 1 और 1
(iii) 4x2y2 − 4x2y2z2 + z2 इस व्यंजक में तीन पद हैं
4x2y2 , − 4x2y2z2 और z2
4, − 4 और 1
(vi) 3 − pq + qr – rp इस व्यंजक में चार पद हैं 
3, − pq, qr और − rp
3, − 1, 1 और − 1
(v) \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}-xy\) इस व्यंजक में तीन पद हैं
\(\displaystyle \frac{x}{2}\) , \(\displaystyle \frac{y}{2}\) और − xy
\(\displaystyle \frac{1}{2}\) , \(\displaystyle \frac{1}{2}\) और − 1
(vi) 0.3a − 0.6ab + 0.5b इस व्यंजक में तीन पद हैं 
0.3, − 0.6ab और 0.5b
0.3, − 0.6 और 0.5

2. निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपदी एवं त्रिपदी के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?
x + y, 1000, x + x2 + x3, 7 + y + 5x, 2y − 3y2, 2y − 3y2 + 4y3, 5x − 4y + 3xy, 4z − 15z2, ab + bc + cd + da, pqr, p2q, 2p + 2q
हल :
एकपदी :- 1000, pqr
द्विपदी :- x + y, 2y − 3y2, 4z − 15z2, p2q + pq2, 2p + 2q
त्रिपदी :- 7 + y + 5x, 2y − 3y2 + 4y3, 5x − 4y + 3xy
वे बहुपद जो इन तीनों श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है :- x + x2 + x3 + x4, ab + bc + cd + da

3. निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए :

(i) ab − bc, bc − ca, ca − ab (ii) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ac
(iii) 2p2q2 − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p2q2 (iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl

हल :
(i) ab − bc, bc − ca, ca − ab
समान पदों को एक साथ लिखने पर –
= ab − bc + bc − ca + ca − ab
= ab − ab + bc − bc + ca − ca
= 0

(ii) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ac
= a − b + ab + b − c + bc + c − a + ac
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर –
= a − a + b − b + c − c + ab + bc + ac
सजातीय धनात्मक एवं ऋणात्मक पद एक-दूसरे के घटाने पर –
= ab + bc + ac

(iii) 2p2q2 − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p2q2
= 2p2q2 − 3pq + 4 + 5 + 7pq − 3p2q2

सजातीय पदों को साथ रखने पर – 
= 2p2q2 − 3p2q2 + 7pq − 3pq + 4 + 5
= − p2q2 + 4pq + 9

(iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl
= l2 + m2 + m2 + n2 + n2 + l2 + 2lm + 2mn + 2nl
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर –
= l2 + l2 + m2 + m2 + n2 + n2 + 2lm + 2mn + 2nl
= 2l2 + 2m2 + 2n2 + 2lm + 2mn + 2nl
= 2(l2 + m2 + n2 + lm + mn + nl)

4. (a) 12a − 9ab + 5b − 3 में से 4a − 7ab + 3b + 12 घटाइये।
(b) 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz − 7zx को घटाइये।
(c) 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq2 + 5p2q में से 4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10 को घटाइए।
हल :
(a) 12a − 9ab + 5b − 3 में से 4a − 7ab + 3b + 12 घटाइये।
= 12a − 9ab + 5b − 3 − (4a − 7ab + 3b + 12)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 12a − 9ab + 5b − 3 − 4a + 7ab − 3b − 12  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 12a − 4a + 5b − 3b + 7ab − 9ab − 4 − 12
= 8a + 2b − 2ab − 16

(b) 5xy − 2yz – 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz − 7zx को घटाइये।
= 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz − (3xy + 5yz − 7zx)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz − 3xy − 5yz + 7zx  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= 5xy − 3xy − 2yz − 5yz + 7zx − 2zx + 10xyz
= 2xy − 7yz + 5zx + 10xyz

(c) 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq2 + 5p2q में से 4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10 को घटाइए।
= 18 − 3p − 11p + 5pq − 2pq2 + 5p2q − (4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10)
कोष्ठक (bracket) हटाने पर –
= 18 − 3p − 11q + 5pq − 2pq2 + 5p2q − 4p2q + 3pq − 5pq2 + 8p − 7q + 10)  (कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिन्ह होने पर अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जायेंगे।)
सजातीय पदों को साथ रखने पर –
= − 3p + 8p − 11q − 7q + 5pq + 3pq − 2pq2 − 5pq2 + 5p2q − 4p2q
= 5p − 18q + 8pq − 7pq2 + p2q

प्रश्नावली 9.2

1. निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) 4, 7p (ii) − 4p, 7p  (iii) − 4p, 7pq (iv) 4p3, − 3p
(v) 4p, 0      

हल : 
(i) 4, 7p
= 4 × 7p
= 28p

(ii)  − 4p, 7p
= − 4p × 7p
= − 28p2

(iii) − 4p, 7pq
= − 4p × 7pq
= − 28p2q

(iv) 4p3, − 3p
= 4p3 × − 3p
= − 12p4

(v) 4p, 0
= 4p × 0
= 0

2. निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लम्बाई एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(p, q); (10m, 5n); (20x2, 5y2); (4x, 3x2); (3mn, 4np)
हल :
(p, q)
लम्बाई = p
चौड़ाई = q
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= p × q
= pq वर्ग इकाई

(10m, 5n)
लम्बाई = 10m
चौड़ाई = 5n
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 10m × 5n
= 50mn वर्ग इकाई

(20x2, 5y2)
लम्बाई = 20x2
चौड़ाई = 5y2
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 20x2 × 5y2
= 100x2y2 वर्ग इकाई

(4x, 3x2)
लम्बाई = 4x
चौड़ाई = 3x2
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 4x × 3x2
= 12x3 वर्ग इकाई

(3mn, 4np)
लम्बाई = 3mn
चौड़ाई = 4np
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 3mn × 4np
= 12mn2p वर्ग इकाई

3. गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए :

प्रथम एकपदी
द्वितीय एकपदी
2x − 5y  3x2 − 4xy 7x2y − 9x2y2
2x 4x2          
− 5y     − 15x2y      
3x2            
− 4xy            
7x2y            
− 9x2y2            

हल : 

प्रथम एकपदी
द्वितीय एकपदी
2x − 5y  3x2 − 4xy 7x2y − 9x2y2
2x 4x2 − 10xy 6×3 − 8x2y 14x3y − 18x3y2
− 5y − 10xy 25y2 − 15x2y 20xy2 − 35x2y2 45x2y3
3x2 6x3 − 15x2y 9x4 − 12x3y 21x4y − 27x4y2
− 4xy − 8x2y 20xy2 − 12x3y 16x2y2 − 28x3y2 36x3y3
7x2y 14x3y − 35x2y2 21x4y − 28x3y2 49x4y2 − 63x4y3
− 9x2y2 − 18x3y2 45x2y2 − 27x4y2 36x3y3 − 63x4y3 81x4y4

4. ऐसे घना आकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: निम्नलिखित हैं :

(i) 5a, 3a2, 7a4 (ii) 2p, 4q, 8r (iii) xy, 2x2y, 2xy2 (iv) a, 2b, 3c

हल : 
(i) 5a, 3a2, 7a4
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 5a × 3a2 × 7a4
= 5 × 3 × 7 × a × a2 × a4
= 105a7

(ii) 2p, 4q, 8r
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= 2p × 4q × 8r
= 2 × 4 × 8 × p × q × r
= 64pqr

(iii) xy, 2x2y, 2xy2
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= xy × 2x2y × 2xy2
= 1 × 2 × 2 × xy × x2y × xy2
= 4x4y4

(iv) a, 2b, 3c
घन का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
= a × 2b × 3c
= 1 × 2 × 3 × a × b × c
= 6abc

5. निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) xy, yz, zx (ii) a, − a2, a3 (iii) 2, 4y, 8y2, 16y3
(iv) a, 2b, 3c, 6abc (v) m, − mn, mnp  

हल :
(i) xy, yz, zx
= xy × yz × zx 
= x2y2z2

(ii) a, − a2, a
= a × (− a2) × a3 
= − a6

(iii) 2, 4y, 8y2, 16y3
= 2 × 4y × 8y2 × 16y3
= 2 × 4 × 8 × 16 × y × y2 × y3
= 1024y3

(iv) a, 2b, 3c, 6abc
= 2 × 3 × a × b × c × abc
= 6a2b2c2

(v) m, − mn, mnp
= m × (− mn) × mnp
= − m2n2p

 

प्रश्नावली 9.3

1. निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए :

(i) 4p, q + r (ii) ab, a – b (iii) a + b, 7a2b2 (iv) a2 – 9, 4a
(v) pq + qr + rp, 0      

हल :
(i) 4p, q + r 
= 4p × (q + r)
= 4p × q + 4p × r
= 4pq + 4pr

2. सारणी पूरा कीजिए :

  प्रथम व्यंजक द्वितीय व्यंजक गुणनफल
(i) a b + c + d  ____
(ii) x + y − 5 5xy ____
(iii) p 6p2 − 7p + 5 ____
(iv) 4p2q2 p2 − q2 ____
(v) a + b + c abc ____

हल :

  प्रथम व्यंजक द्वितीय व्यंजक गुणनफल
(i) a b + c + d  ab + ac + ad
(ii) x + y − 5 5xy 5x2y + 5xy2 – 25xy
(iii) p 6p2 − 7p + 5 6p3 – 7p2 + 5p
(iv) 4p2q2 p2 − q2 4p4q2 – 4p2q4
(v) a + b + c abc a2bc + ab2c + abc2

(i) a × (b + c + d)
= ab + ac + ad

(ii) (x + y − 5) × 5xy
= 5x2y + 5xy2 − 25xy

(iii) p × (6p2 − 7p + 5)
= 6p3 – 7p2 + 5p

(iv) 4p2q2 × (p2 − q2)
= 4p4q2 – 4p2q4

(v) (a + b + c) × abc
= a2bc + ab2c + abc2

3. गुणनफल ज्ञात कीजिए :

(i) (a2) × (2a22) × (4a26) (ii) \(\displaystyle \left( {\frac{2}{3}xy} \right)\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\)
(iii) \(\displaystyle \left( {-\frac{{10}}{3}p{{q}^{3}}} \right)\times \left( {\frac{6}{5}{{p}^{3}}q} \right)\) (iv) x × x2 × x3 × x4

हल :
(i) (a2) × (2a22) × (4a26)
= 2 × 4 × a2 × a22 × a26
= 8a50

(ii) \(\displaystyle \left( {\frac{2}{3}xy} \right)\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{2}{3}\times \left( {\frac{{-9}}{{10}}} \right)\left( {xy\times {{x}^{2}}{{y}^{2}}} \right)\\=\frac{{-18}}{{30}}{{x}^{3}}{{y}^{3}}\\=\frac{{-3}}{5}{{x}^{3}}{{y}^{3}}\end{array}\)

(iii) \(\displaystyle \left( {-\frac{{10}}{3}p{{q}^{3}}} \right)\times \left( {\frac{6}{5}{{p}^{3}}q} \right)\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\left( {-\frac{{10}}{3}} \right)\times \frac{6}{5}\times p{{q}^{3}}\times {{p}^{3}}q\\=-\frac{{60}}{{15}}{{p}^{4}}{{q}^{4}}\\=-4{{p}^{4}}{{q}^{4}}\end{array}\)

(iv) x × x2 × x3 × x4
= x10

4. (a) 3x (4x − 5) + 3 को सरल कीजिए और (i) x = 3 एवं (ii) \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
(b) a (a2 + a + 1) को सरल कीजिए और (i) a = 0, (ii) a = 1 (iii) a = − 1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) (i) 3x (4x − 5) + 3
= 3x × 4x − 3x × 5 + 3
= 12x2 − 15x + 3 ………………………….. (i)
समी (i) में x = 3 रखने पर –
= 12 × (3)2 − 9 × 5 + 3
= 12 × 9 − 45 + 3
= 108 + 3 − 45
= 111 − 45
= 66

(ii) समी (i) में \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=12\times {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2}}-15\times \frac{1}{2}+3\\=12\times \frac{1}{4}-\frac{{15}}{2}+3\\=3-\frac{{15}}{2}+3\\=\frac{{6-15+6}}{2}\\=\frac{{12-15}}{2}\\=\frac{{-3}}{2}\end{array}\)

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