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# Ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variable | एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित अध्याय 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण के समाधान

Ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variable class 8th maths एक चर वाले रैखिक समीकरण. Here We learn what is in class 8 maths chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण and how to solve questions with easiest method. एनसीइआरटी कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण के सभी प्रश्न उत्तर सवालों के जवाब सम्मिलित है। In this chapter we solve the question of NCERT class 8 maths chapter 2 exercise 2.1, maths, class 8 maths chapter 2 exercise 2.2, class 8 maths solutions exercise 2.3, class 8 maths chapter 2 exercise 2.4 and ncert solutions for class 8 maths chapter 2 exercise 2.5. ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variable class 8th maths
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# Ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variableclass 8th maths

## NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 class 8th mathEx 2.1गणितप्रश्नावली – 2एक चर वाले रैखिक समीकरण प्रश्नावली 2.1

निम्न समीकरणों को हल कीजिए :
1. ? – 2 = 7
हल : ? – 2 = 7
? = 7 + 2    (पक्षान्तरण से)
? = 9

2. ? + 3 = 10
हल : ? + 3 = 10
? = 10 – 3    (पक्षान्तरण से)
? = 7

3. 6 = ? + 2
हल : 6 = ? + 2
6 – 2 = ?    (पक्षान्तरण से)
? = 4

4. $$\displaystyle \frac{3}{7}+x=\frac{{17}}{7}$$

हल : $$\displaystyle \frac{3}{7}+x=\frac{{17}}{7}$$$$\displaystyle x=\frac{{17}}{7}-\frac{3}{7}$$   (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{17-3}}{7}\\x=\frac{{14}}{2}\end{array}$$
? = 2

5. 6? = 12

हल : 6? = 12
$$\displaystyle x=\frac{{12}}{6}$$
? = 2

6. $$\displaystyle \frac{t}{5}=10$$हल : $$\displaystyle \frac{t}{5}=10$$? = 10 × 5    (वज्र गुणा से)
? = 50

7. $$\displaystyle \frac{{2x}}{3}=18$$हल : $$\displaystyle \frac{{2x}}{3}=18$$2? = 18 × 3    (वज्र गुणा से)
2? = 54
$$\displaystyle x=\frac{{54}}{2}$$? = 27

8. $$\displaystyle 1.6=\frac{y}{{1.5}}$$हल : $$\displaystyle 1.6=\frac{y}{{1.5}}$$? = 1.5 × 1.6    (वज्र गुणा से)
? = 2.4

9. 7? – 9 = 16
हल : 7? – 9 = 16
7? = 16 + 9    (पक्षान्तरण से)
7? = 25
$$\displaystyle x=\frac{{25}}{7}$$

10. 14? – 8 = 13
हल : 14? – 8 = 13
14? = 13 + 8    (पक्षान्तरण से)
14? = 21
$$\displaystyle \begin{array}{l}y=\frac{{21}}{{14}}\\y=\frac{3}{2}\end{array}$$

11. 17 + 6? = 9
हल : 17 + 6? = 9
6? = 9 – 17    (पक्षान्तरण से)
6? = – 8
$$\displaystyle \begin{array}{l}p=\frac{{-8}}{{6}}\\p=\frac{-4}{3}\end{array}$$

12. $$\displaystyle \frac{x}{3}+1=\frac{7}{{15}}$$
हल : $$\displaystyle \frac{x}{3}+1=\frac{7}{{15}}$$
$$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{7}{{15}}-1$$   (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{3}=\frac{{7-15}}{{15}}\\\frac{x}{3}=\frac{{-8}}{{15}}\end{array}$$
15? = – 8 × 3
15? = – 24
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{-24}}{{15}}\\x=\frac{{-8}}{5}\end{array}$$

### ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variableclass 8th mathEx 2.2 प्रश्नावली 2.2

1. अगर आपको किसी संख्या से $$\displaystyle \frac{1}{2}$$ घटाने और परिणाम को $$\displaystyle \frac{1}{2}$$ से गुणा करने पर $$\displaystyle \frac{1}{8}$$ प्राप्त होता है, तो वह संख्या क्या है ?
हल : मानाकि वह संख्या ? है।
? में से $$\displaystyle \frac{1}{2}$$ घटाने पर = $$\displaystyle x-\frac{1}{2}$$
परिणाम को $$\displaystyle \frac{1}{2}$$ से गुणा करने पर = $$\displaystyle \left( {x-\frac{1}{2}} \right)\times \frac{1}{2}$$
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle \begin{array}{l}\left( {x-\frac{1}{2}} \right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\\\frac{x}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\end{array}$$$$\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$    (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{{1+2}}{8}\\\frac{x}{2}=\frac{3}{8}\end{array}$$
8 × ? = 3 × 2    (वज्र गुणा से)
8? = 6
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{6}{8}\\x=\frac{3}{4}\end{array}$$

2. एक आयताकार टार्न-ताल (swimming pool) की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है, तो इसकी लंबाई व  चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि तरण-ताल की चौड़ाई = ? मीटर
तो लंबाई होगी = 2? + 2
दिया है
आयत का परिमाप = 154 मीटर
2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 154
लंबाई और चौड़ाई के मान रखने पर –
2 × (2? + 2 + ?) = 154
4? + 4 + 2? = 154
6? + 4 = 154
6? = 154 – 4    (पक्षान्तरण से)
6? = 150
? = 150 ÷ 6
? = 25
अतः तरण-ताल की चौड़ाई ? = 25 मीटर
तथा तरण-ताल की लंबाई = 2? + 2
= 2 × 25 + 2
= 50 + 2 = 52 मीटर

3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार $$\displaystyle \frac{4}{3}$$ cm तथा उसका परिमाप $$\displaystyle 4\frac{2}{{15}}$$ cm हैं। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि दोनों बराबर भुजाएँ = ? व ? है।
आधार = $$\displaystyle \frac{4}{3}$$ cm
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = $$\displaystyle 4\frac{2}{{15}}$$ cm
समान भुजाओं का योग + आधार = $$\displaystyle x+x+\frac{4}{3}=4\frac{2}{{15}}$$
$$\displaystyle 2x=\frac{{62}}{{15}}-\frac{4}{3}$$   (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}2x=\frac{{62-20}}{{15}}\\2x=\frac{{42}}{{15}}\\x=\frac{{42}}{{15\times 2}}\\x=\frac{7}{5}\\x=1\frac{2}{5}\end{array}$$

4. दो संख्याओं  योगफल 95 है। यदि संख्या दूसरी से 15 अधिक है, तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पहली संख्या = ?
दूसरी संख्या = ? + 15
प्रश्नानुसार
? + ? + 15 = 95
2? + 15 = 95
2? = 95 – 15    (पक्षान्तरण से)
2? = 80
? = 80 ÷ 2
अतः पहली संख्या ? = 40
तथा दूसरी संख्या ? + 15
= 40 + 15
= 55

5. दो संख्याओं में अनुपात 5 : 3 है। यदि उनमें अंतर 18 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पहली संख्या = 5?
तथा दूसरी संख्या = 3?
प्रश्नानुसार
5? – 3? = 18
2? = 18
$$\displaystyle x=\frac{{18}}{2}$$
अतः पहली संख्या 5?
= 5 × 9
= 45
दूसरी संख्या = 3?
= 3 × 9
= 27

6. तीन लगातार पूर्णांकों का योग 51 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पहला पूर्णांक = ?
दूसरा पूर्णांक = ? + 1
तथा तीसरा पूर्णांक = ? + 2
प्रश्नानुसार –
? + ? + 1 + ? + 2 = 51
3? + 3 = 51
3? = 51 – 3    (पक्षान्तरण से)
3? = 48
$$\displaystyle x=\frac{{48}}{3}$$अतः पहला पूर्णांक ? = 16
दूसरा पूर्णांक ? + 1
= 16 + 1
= 17
तीसरा पूर्णांक ? + 2
= 16 + 2
= 18

7. 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पहला गुणज = ?
दूसरा गुणज = ? + 8
तीसरा गुणज = ? + 16
प्रश्नानुसार
? + ? + 8 + ? + 16 = 888
3? + 24 = 888
3? = 888 – 24    (पक्षान्तरण से)
3? = 864
$$\displaystyle x=\frac{{864}}{3}$$
? = 288
अतः पहला गुणज ? = 288
दूसरा गुणज ? + 8
= 288 + 8
= 296
तीसरा गुणज ? + 16
= 288 + 16
= 304

8. तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमशः 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर शेषफल 74 प्राप्त है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पहला पूर्णांक = ?
दूसरा पूर्णांक = ? + 1
तीसरा पूर्णांक = ? + 2
प्रश्नानुसार
? × 2 + (? + 1) × 3 + (? + 2) × 4 = 74
2? + 3? + 3 + 4? + 8 = 74
9? + 11 = 74
9? = 74 – 11    (पक्षान्तरण से)
9? = 63
? = 63 ÷ 9
? = 7
अतः पहला पूर्णांक ? = 7
दूसरा पूर्णांक = ? + 1
= 7 + 1 = 8
तीसरा पूर्णांक = ? + 2
= 7 + 2 = 9

9. राहुल और हारुन की वर्तमान आयु में अनुपात 5 : 7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जाएगा। उनकी आयु क्या है ?
हल : मानाकि राहुल की आयु = 5?
हारुन की आयु = 7?
4 वर्ष बाद राहुल की आयु = 5? + 4
4 वर्ष बाद हारुन की आयु = 7? + 4
प्रश्नानुसार
5? + 4 + 7? + 4 = 56
12? + 8 = 56
12? = 56 – 8    (पक्षान्तरण से)
12? = 48
? = 48 ÷ 12
? = 4
अतः राहुल की आयु = 5?
= 5 × 4
= 20 वर्ष
हारुन की आयु = 7?
= 7 × 4
= 28 वर्ष

10. किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7 : 5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं ?
हल : मानाकि बालकों की संख्या = 7?
तथा बालिकाओं की संख्या = 5?
प्रश्नानुसार
7? = 5? + 8
7? – 5? = 8
2? = 8
? = 8 ÷ 2
? = 4
बालकों की संख्या = 7?
= 7 × 4
= 28
तथा बालिकाओं की संख्या = 5?
= 5 × 4
= 20
अतः कुल विद्यार्थियों की संख्या = 28 + 20
= 48

11. बाइचुंग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि बाइचुंग के पिताजी की आयु = ?
इसलिए दादाजी की आयु = ? + 26
तथा बाइचुंग की आयु = ? – 29
प्रश्नानुसार
? + ? + 26 + ? – 29 = 135
3? – 3 = 135
3? = 135 + 3
3? = 138
? = 138 ÷ 3
? = 46
अतः बाइचुंग के पिताजी की आयु ? = 46 वर्ष
दादाजी की आयु = ? + 26
= 46 + 26
= 72 वर्ष
तथा बाइचुंग की आयु = ? – 29
= 46 – 29
= 17 वर्ष

12. 15 वर्ष बाद रवि की आयु, उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है ?
हल : मानाकि की रवि की वर्तमान आयु = ?
15 वर्ष बाद रवि की आयु = ? + 15
प्रश्नानुसार –
4? = (? + 15)
प्रश्नानुसार –
प्रश्नानुसार

4? = (? + 15)
4? – ? = 15
3? = 15
$$\displaystyle x=\frac{{15}}{3}$$
? = 5 वर्ष

13. एक परिमेय संख्या को $$\displaystyle \frac{5}{2}$$ से गुणा कर $$\displaystyle \frac{2}{3}$$ जोड़ने पर $$\displaystyle -\frac{7}{{12}}$$ प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है ?
हल : मानाकि परिमेय संख्या = ? है।
परिमेय संख्या ? को $$\displaystyle \frac{5}{2}$$ से गुणा करने पर = $$\displaystyle \frac{5x}{2}$$
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle \frac{{5x}}{2}+\frac{2}{3}=-\frac{7}{{12}}$$
$$\displaystyle \frac{{5x}}{2}=-\frac{7}{{12}}-\frac{2}{3}$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{5x}}{2}=\frac{{-7-8}}{{12}}\\\frac{{5x}}{2}=\frac{{-15}}{{12}}\end{array}$$5x × 12 = – 15 × 2      (वज्र गुणा से)
60x = – 30
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{-30}}{{60}}\\x=\frac{{-1}}{2}\end{array}$$अतः वह परिमेय संख्या $$\displaystyle -\frac{1}{{2}}$$ है।

14. लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास नगदी के रूप में ₹ 100, ₹ 50 व ₹ 10 वाले नोट हैं। उनकी संख्याओं में क्रमशः 2 : 3 : 5 का अनुपात है और उनका कुल मूल्य ₹ 4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने नोट हैं ?
उत्तर – ₹ 100, ₹ 50 व ₹ 10 वाले नोट का अनुपात क्रमशः 2 : 3 : 5
मानाकि ₹ 100 वाले नोटों की संख्या = 2?
₹ 100 वाले नोटों का मूल्य = 2? × 100 = 200?
₹ 50 वाले नोटों की संख्या = 3? × 50
₹ 50 वाले नोटों का मूल्य = 3? × 50 = 150?
₹ 10 वाले नोटों की संख्या = 5?
₹ 50 वाले नोटों का मूल्य = 5? × 10 = 50?
प्रश्नानुसार –
200? + 150? + 50? = 4,00,000
400? = 4,00,000
$x = \frac{{400000}}{{400}}$
? = 1000
अतः ₹ 100 वाले नोटों की संख्या = 2 × 1000
= 2000
₹ 50 वाले नोटों की संख्या = 3 × 1000
= 3000
₹ 10 वाले नोटों की संख्या = 5 × 1000
= 5000

15. मेरे पास ₹ 300 मूल्य के, ₹ 1, ₹ 2 और ₹ 5 वाले सिक्के हैं। ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने सिक्के हैं ?
हल : मानाकि ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या = ?
₹ 5 वाले नोटों का मूल्य = 5 × ? = 5?
तथा ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3?
₹ 2 वाले नोटों का मूल्य = 2 × 3? = 6?
₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = (160 – 3? – ?) = 160 – 4?
₹ 1 वाले नोटों का मूल्य = 1 × (160 – 4?) = 160 – 4?
प्रश्नानुसार –
5? + 6? + 160 – 4? = 300        (पक्षान्तरण से)
7? = 300 – 160
7? = 140
$$\displaystyle x=\frac{{140}}{7}$$
? = 20
अतः ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या = ? = 20
तथा ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3? = 3 × 20 = 60
₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 160 – 4? = 160 – 4 × 20 = 80

16. निबंध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को ₹ 100 और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को ₹ 25 पुरुस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरुस्कारों में बाँटी गई राशि ₹ 3,000 थी तो कुल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं  संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि विजेताओं की संख्या = ?
तथा अन्य की संख्या = 63 – ?
अतः विजेताओं को दी गई कुल राशि = ? × 100 = 100?
तथा अन्य को दी जाने वाली राशि = (63 – ?) × 25
= 1575 – 25?
प्रश्नानुसार –
100? + 1575 – 25? = 3000    (पक्षान्तरण से)
75? = 3000 – 1575
75? = 1425
$$\displaystyle x=\frac{{1425}}{75}$$
? = 19

#### ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variableclass 8th mathEx 2.3प्रश्नावली 2.3

निम्न समीकरणों को हल कीजिए और अपने उत्तर  जाँच कीजिए।

1. 3? = 2? + 18
हल : 3? = 2? + 18
3? – 2? = 18    (पक्षान्तरण से)
? = 18
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
3 × 18 = 2 × 18 + 18
54 = 36 + 18
54 = 54

2. 5? – 3 = 3? – 5
हल : 5? – 3? = – 5 + 3    (पक्षान्तरण से)
2? = – 2
$$\displaystyle t=\frac{{-2}}{2}$$
? = – 1
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
5 × (-1) – 3 = 3 × (-1) – 5
– 5 – 3 = – 3 – 5
– 8 = – 8

3. 5? + 9 = 5 + 3?
हल : 5? + 9 = 5 + 3?
5? – 3? = 5 – 9    (पक्षान्तरण से)
2? = – 4
$$\displaystyle x=\frac{{-4}}{2}$$
? = – 2
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
5 × (-2) + 9 = 5 + 3 × (-2)
– 10 + 9 = 5 + (-6)
– 1 = -1

4. 4? + 3 = 6 + 2?
हल : 4? + 3 = 6 + 2?
4? – 2? = 6 – 3    (पक्षान्तरण से)
2? = 3
$$\displaystyle z=\frac{{3}}{2}$$उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
$$\displaystyle 4\times \frac{3}{2}+3=6+2\times \frac{3}{2}$$2 × 3 + 3 = 6 + 3
6 + 3 = 6 + 3
9 = 9

5. 2? – 1 = 14 – ?
हल : 2? – 1 = 14 – ?
2? + ? = 14 + 1    (पक्षान्तरण से)
3? = 15
$$\displaystyle x=\frac{{15}}{3}$$x = 5
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
2 × 5 – 1 = 14 – 5
10 – 1 = 9
9 = 9

6. 8? + 4 = 3 (? – 1) + 7
हल : 8? + 4 = 3 (? – 1) + 7
8? + 4 = 3? – 3 + 7
8? – 3? = 7 – 3 – 4
5? = 7 – 7
? = 0
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
8 × 0 + 4 = 3 (0 – 1) + 7
0 + 4 = 0 – 3 + 7
4 = 4

7. $$\displaystyle x=\frac{4}{5}(x+10)$$
हल : $$\displaystyle x=\frac{4}{5}(x+10)$$
$\begin{array}{l}x = \frac{{4x}}{5} + \frac{{40}}{5}\\x = \frac{{4x + 40}}{5}\end{array}$
$$\displaystyle x=\frac{{4x}}{5}+\frac{{40}}{5}$$
$$\displaystyle x-\frac{{4x}}{5}=\frac{{40}}{5}$$   (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{5x-4x}}{5}=\frac{{40}}{5}\\5x=200\\x=\frac{{200}}{5}\end{array}$$
? = 40
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}40=\frac{4}{5}\left( {40+10} \right)\\40=\frac{4}{5}\times 50\end{array}$$
40 = 4 × 10
40 = 40

8. $$\displaystyle \frac{{2x}}{3}+1=\frac{{7x}}{{15}}+3$$
हल : $$\displaystyle \frac{{2x}}{3}+1=\frac{{7x}}{{15}}+3$$$$\displaystyle \frac{{2x}}{3}-\frac{{7x}}{{15}}=3-1$$     (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{10x-7x}}{{15}}=2\\\frac{{3x}}{{15}}=2\end{array}$$
3? = 15 × 2     (व्रज गुणा से)
3? = 30
$$\displaystyle x=\frac{{30}}{3}$$
? = 10
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{2x}}{3}+1=\frac{{7x}}{{15}}+3\\\frac{{2\times 10}}{3}+1=\frac{{7\times 10}}{{15}}+3\\\frac{{20}}{3}+1=\frac{{70}}{{15}}+3\\1\frac{{20}}{3}=3\frac{{14}}{3}\\\frac{{23}}{3}=\frac{{23}}{3}\end{array}$$

9. $$\displaystyle 2y+\frac{5}{3}=\frac{{26}}{3}-y$$
हल : $$\displaystyle 2y+\frac{5}{3}=\frac{{26}}{3}-y$$
$$\displaystyle 2y+y=\frac{{26}}{3}-\frac{5}{3}$$   (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}3y=\frac{{26-5}}{3}\\3y=\frac{{21}}{3}\end{array}$$
$$\displaystyle y=\frac{{7}}{3}$$   (वज्र गुणा से)
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}2y+\frac{5}{3}=\frac{{26}}{3}-y\\2\times \frac{7}{3}+\frac{5}{3}=\frac{{26}}{3}-\frac{7}{3}\\\frac{{14}}{3}+\frac{5}{3}=\frac{{26}}{3}-\frac{7}{3}\\\frac{{14+5}}{3}=\frac{{26-7}}{3}\\\frac{{19}}{3}=\frac{{19}}{3}\end{array}$$

10. $$\displaystyle 3m=5m-\frac{8}{5}$$
हल : $$\displaystyle 3m=5m-\frac{8}{5}$$
$$\displaystyle 3m-5m=\frac{{-8}}{5}$$   (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle -2m=\frac{{-8}}{5}$$
– 2? × 5 = – 8     ( व्रज गुणा से)
– 10? = – 8
$$\displaystyle \begin{array}{l}m=\frac{{-8}}{{-10}}\\m=\frac{4}{5}\end{array}$$
उत्तर की जाँच –
समीकरण में ? का मान रखने पर –
$$\displaystyle \begin{array}{l}3m=5m-\frac{8}{5}\\3\times \frac{4}{5}=5\times \frac{4}{5}-\frac{8}{5}\\\frac{{12}}{5}=\frac{{20}}{5}-\frac{8}{5}\\\frac{{12}}{5}=\frac{{20-8}}{5}\\\frac{{12}}{5}=\frac{{12}}{5}\end{array}$$

#### ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variableclass 8th mathEx 2.4 प्रश्नावली 2.4

1. अमीना एक संख्या सोचती है। वह इसमें से $$\displaystyle \frac{5}{2}$$ घटाकर परिणाम को 8 से गुणा करती है। अब जो परिणाम मिलता है वह सोची गई संख्या की तिगुनी है। वह सोची गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि अमीना द्वारा सोची गई संख्या = x
x में $$\displaystyle \frac{5}{2}$$ घटाने पर –
$$\displaystyle x-\frac{5}{2}$$
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle \begin{array}{l}\left( {x-\frac{5}{2}} \right)\times 8=3x\\\left( {\frac{{2x-5}}{2}} \right)\times 8=3x\\4(2x-5)=3x\\8x-20=3x\end{array}$$
8x – 3x = 20     (पक्षान्तरण से)
5x = 20
$$\displaystyle x=\frac{{20}}{5}$$
x = 4
अतः अमीना द्वारा सोची गई संख्या 4 है।

2. दो संख्याओं में पहली संख्या दूसरी की पाँच गुनी है। प्रत्येक संख्या में 21 जोड़ने पर पहली संख्या दूसरी की दुगुनी हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पहली संख्या = x
तथा दूसरी संख्या = 5x
प्रश्नानुसार –
2 (x + 21) = (5x + 21)
2x + 42 = 5x + 21
2x – 5x = 21 – 42
– 3x = – 21
$$\displaystyle x=\frac{{-21}}{{-3}}$$
x = 7
5x = 5 × 7 = 35
अतः पहली संख्या 7 तथा दूसरी संख्या 35 है।

3. दो अंकों वाली दी गई संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या के अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या, दी गई संख्या से 27 अधिक है। दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि इकाई का अंक = x
तथा दहाई का अंक = 9 – x
अतः दोनों अंकों से मिलकर बनी संख्या = 10 (9 – x) + x
= 90 – 10x + x
= 90 – 9x ……………………. (i)
अंकों के स्थान बदलने पर नयी संख्या –
= 10 × x + (9 – x)
= 10x + 9 – x
= 9x – 9 …………………… (ii)
प्रश्नानुसार –
दी गई संख्या + 27 = नयी संख्या
90 – 9x + 27 = 9x – 9
– 9x – 9x = 9 – 27 – 90     (पक्षान्तरण से)
– 18x = -117 + 9
– 18x = – 108
$$\displaystyle x=\frac{{-108}}{{-18}}$$
x = 6
अतः इकाई का अंक = 6
तथा दहाई का अंक = 9 – x = 9 – 6 = 3
इसलिए दी गई संख्या = 36

4. दो अंकों वाली दी गई एक संख्या में एक अंक दूसरे का तीन गुना है। इसके अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या को, दी गई संख्या में जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि इकाई का अंक = x
तथा दहाई का अंक = 3x
दोनों अंको से मिलकर बानी संख्या = 10 × 3x + x
= 30x + x
= 31x ………………. (i)
अंकों के स्थान बदलने पर प्राप्त नयी संख्या –
= 10 × x + 3x
= 10x + 3x
= 13x …………………. (ii)
प्रश्नानुसार –
समीकरण (i) व समीकरण (ii) से,
31x + 13x = 88
44x = 88
$$\displaystyle x=\frac{{88}}{{44}}$$
x = 2
अतः इकाई का अंक = 2
तथा दहाई का अंक = 3x = 3 × 2 = 6
अतः वह संख्या 62 होगी।

5. शोबो की माँ की आयु, शोबो की आयु की छः गुनी है। 5 वर्ष बाद शोबो की आयु, उसकी माँ की वर्तमान आयु की एक तिहाई हो जाएगी। उनकी आयु ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि शोबो की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा उसकी माँ की वर्तमान आयु = 6x वर्ष
5 वर्ष बाद शोबो की आयु = x + 5
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle x+5=\frac{1}{3}\times \left( {6x} \right)$$
x + 5 = 2x
x – 2x = – 5
x = – 5
x = 5
अतः शोबो की आयु 5 वर्ष है।
तथा उसकी माँ की आयु = 6x = 6 × 5 = 30 वर्ष

6. महूली गाँव में, एक तंग आयताकार भूखंड विद्यालय बनाने के लिए सुरक्षित है। इस भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई में 11 : 4 का अनुपात है। गाँव पंचायत की इस भूखंड की बाड़ (fence) करने में, रु 100 प्रति मीटर की दर से रु 75000 व्यय करने होंगे। भूखंड की माप (dimension) ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि आयताकार भूखंड की लम्बाई = 11x
तथा भूखंड की चौड़ाई = 4x
चूँकि 100 प्रति मीटर का व्यय = 75000 रु
∴ 1 प्रति मीटर का व्यय = $$\displaystyle \frac{{75000}}{{100}}$$
= 750 रु
1 प्रति मीटर का व्यय = आयताकार भूखंड का परिमाप
2 (लम्बाई + चौड़ाई) = 750
2 (11x + 4x) = 750
2 × 15x = 750
30x = 750
$$\displaystyle x=\frac{{750}}{{30}}$$
x = 25
अतः आयताकार भूखंड की लम्बाई = 11x = 11 × 25 = 275 m
तथा आयताकार भूखंड की चौड़ाई = 4x = 4 × 25 = 100 m

7. हसन, स्कूल वर्दी बनाने के लिए दो प्रकार का कपडा खरीदता है। इसमें कमीज़ के कपडे का भाव रु 50 प्रति मीटर तथा पतलून के कपडे का भाव रु 90 प्रति मीटर है। वह कमीज़ के प्रत्येक 3 मीटर कपडे के लिए पतलून का 2 मीटर कपड़ा खरीदता है। वह इस कपड़े को क्रमश: 12% तथा 10% लाभ पर बेचकर रु 36,600 प्राप्त करता है। उसने पतलूनों के लिए कितना कपड़ा ख़रीदा ?
हल : मानाकि कमीज़ के कपड़े की कुल लम्बाई = 3x मीटर
तथा पतलून के कपड़े की कुल लम्बाई = 2x मीटर
कमीज़ के कपड़े का कुल क्रय मूल्य = 3x × 50 = 150x रु
तथा पतलून के कपड़े का कुल क्रय मूल्य = 2x × 90 = 180x रु
मानाकि कमीज़ का क्रय मूल्य = 100 रु
लाभ = 12% या 12 रु
तो, कमीज़ का विक्रय मूल्य = 112 रु
ऐकिक नियम से –
चूँकि कमीज़ के कपड़े का क्रय मूल्य 100 रु तो विक्रय मूल्य = 112 रु
∴ कमीज़ के कपड़े का क्रय मूल्य 1 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{112}}{{100}}$$
∴ कमीज़ के कपड़े का क्रय मूल्य 150x रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{112}}{{100}}\times 150x$$
= 168x
इसी प्रकार,
मानाकि पतलून का क्रय मूल्य = 100 रु
लाभ = 10% या 10 रु
तो, पतलून का विक्रय मूल्य = 110 रु
ऐकिक नियम से –
चूँकि पतलून के कपड़े का क्रय मूल्य 100 रु तो विक्रय मूल्य = 110 रु
∴ पतलून के कपड़े का क्रय मूल्य 1 रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{110}}{{100}}$$
∴ पतलून के कपड़े का क्रय मूल्य 180x रु तो विक्रय मूल्य = $$\displaystyle \frac{{110}}{{100}}\times 180x$$
= 198x
अतः कुल विक्रय मूल्य = 36600 रु
168x + 198x = 36600
366x = 36600
$$\displaystyle \frac{{36600}}{{366}}$$
x = 100
अतः पतलून के कपड़े की लम्बाई = 2x = 2 × 100 = 200 मीटर

8. हिरणों के एक झुंड का आधा भाग मैदान में चर रहा है और शेष का तीन चौथाई पड़ोस में ही खेलकूद रहा है। शेष बचे 9 हिरण एक तालाब में पानी पी रहे है। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि की कुल हिरणों की संख्या = x
मैदान में चर रहा कुल का आधा = $$\displaystyle \frac{x}{2}$$
शेष आधे का तीन चौथाई खेलकूद में = $$\displaystyle \frac{x}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{x}{8}$$
पानी पी रहे हिरणों की संख्या = 9
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{3x}{8}+9=x\\\frac{{4x+3x+72}}{8}=x\end{array}$$
4x + 3x + 72 = 8x    (वज्र गुणा से)
7x – 8x = – 72     (पक्षान्तरण से)
x = – 72
x = 72
अतः हिरणों की कुल संख्या 72 है।

9. दादाजी की आयु अपनी पौत्री की आयु की दस गुनी है। यदि उनकी आयु पौत्री की आयु से 54 वर्ष अधिक है तो उन दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि पौत्री की आयु = x वर्ष
तथा दादाजी की आयु = 10x वर्ष
प्रश्नानुसार –
10xx = 54
9x = 54
$$\displaystyle x=\frac{{54}}{9}$$x = 6
अतः पौत्री की आयु x = 6 वर्ष
तथा दादाजी की आयु 10x = 10 × 6 = 60 वर्ष

10. अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष पहले उसकी आयु पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि अमन के पुत्र की आयु = x वर्ष
तथा अमन की आयु = 3x वर्ष
10 वर्ष पहले अमन के पुत्र की आयु = x – 10
तथा 10 वर्ष पहले अमन की आयु = 3x – 10
प्रश्नानुसार –
5 (x – 10) = 3x – 10
5x – 50 = 3x – 10
5x – 3x = – 10 + 50     (पक्षांतरण से)
– 2x = – 40
$$\displaystyle x=\frac{{-40}}{{-2}}$$x = 20
अतः अमन के पुत्र की आयु x = 20 वर्ष है।
तथा अमन की आयु = 3x = 3 × 20 = 60 वर्ष है।

#### ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variableclass 8th mathEx 2.5 प्रश्नावली 2.5

निम्न रैखिक समीकरणों को हल कीजिए :
1. $$\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$$          2. $$\displaystyle \frac{n}{2}-\frac{{3n}}{4}+\frac{{5n}}{6}=21$$          3. $$\displaystyle x+7-\frac{{8x}}{3}=\frac{{17}}{6}-\frac{{5x}}{2}$$
4. $$\displaystyle \frac{{x-5}}{3}=\frac{{x-3}}{5}$$          5. $$\displaystyle \frac{{3t-2}}{4}-\frac{{2t+3}}{3}=\frac{2}{3}-t$$
6. $$\displaystyle m-\frac{{m-1}}{2}=1-\frac{{m-2}}{3}$$
हल : 1. $$\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$$
$$\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$     (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{3x-2x}}{6}=\frac{{5+4}}{{20}}\\\frac{x}{6}=\frac{9}{{20}}\end{array}$$20x = 9 × 6     (व्रज गुणा से)
20x = 54
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{54}}{{20}}\\x=\frac{{27}}{{10}}\end{array}$$

2. $$\displaystyle \frac{n}{2}-\frac{{3n}}{4}+\frac{{5n}}{6}=21$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{6n-9n+10n}}{{12}}=21\\\frac{{16n-9n}}{{12}}=21\\\frac{{7n}}{{12}}=21\end{array}$$$$\displaystyle 7n=12\times 21$$     (व्रज गुणा से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}7n=252\\n=\frac{{252}}{7}\\n=36\end{array}$$

3. $$\displaystyle x+7-\frac{{8x}}{3}=\frac{{17}}{6}-\frac{{5x}}{2}$$$$\displaystyle x-\frac{{8x}}{3}+\frac{{5x}}{2}=\frac{{17}}{6}-7$$    (पक्षान्तरण से)
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{6x-16x+15x}}{6}=\frac{{17-42}}{6}\\\frac{{21x-16x}}{6}=\frac{{-25}}{6}\\\frac{{5x}}{6}=\frac{{-25}}{6}\end{array}$$5x × 6 = – 25 × 6     (व्रज गुणा से)
30x = – 150
$$\displaystyle x=\frac{{-150}}{{30}}$$x = – 5

4. $$\displaystyle \frac{{x-5}}{3}=\frac{{x-3}}{5}$$
$$\displaystyle 5(x-5)=3(x-3)$$     (व्रज गुणा से)
$$\displaystyle 5x-3x=-9+25$$     (पक्षान्तरण से)
2x = 16
$$\displaystyle x=\frac{{16}}{2}$$x = 8

5. $$\displaystyle \frac{{3t-2}}{4}-\frac{{2t+3}}{3}=\frac{2}{3}-t$$
$$\displaystyle \frac{{3\times \left( {3t-2} \right)-4\times (2t+3)}}{{12}}=\frac{{2-3t}}{3}$$$$\displaystyle \frac{{9t-6-8t-12}}{{12}}=\frac{{2-3t}}{3}$$
$$\displaystyle \frac{{t-18}}{{12}}=\frac{{2-3t}}{3}$$3 × (t – 18) = 12 × (2 – 3t)     (व्रज गुणा से)
3t – 54 = 24 – 36t
3t + 36t = 24 + 54     (पक्षान्तरण से)
39t = 78
$$\displaystyle t=\frac{{78}}{{39}}$$t = 2

6. $$\displaystyle m-\frac{{m-1}}{2}=1-\frac{{m-2}}{3}$$
$$\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{2m-(m-1)}}{2}=\frac{{3-(m-2)}}{3}\\\frac{{2m-m+1}}{2}=\frac{{3-m+2}}{3}\end{array}$$3 (2m – m + 1) = 2 (3 – m + 2)     (व्रज गुणा से)
6m – 3m + 3 = 6 – 2m + 4
6m – 3m + 2m = 4 + 6 – 3
5m = 7
$$\displaystyle m=\frac{7}{5}$$

निम्न समीकरणों को सरल रूप में बदलते हुए हल कीजिए :
7. 3 (t -3) = 5 (2t + 1)          8. 15 (y -4) – 2 (y – 9) + 5 (y + 6) = 0
9. 3 (5z – 7) – 2 (9z – 11) = 4 (8z – 13) – 17
10. 0.25 (4f – 3) = 0.05 (10f – 9)
हल : 7. 3 (t -3) = 5 (2t + 1)
3t – 9 = 10t + 5
3t – 10t = 5 + 9
– 7t = 14
$$\displaystyle t=-\frac{{14}}{7}$$t = – 2

8. 15 (y -4) – 2 (y – 9) + 5 (y + 6) = 0
15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0
15y – 2y + 5y = 60 – 18 – 30     (पक्षान्तरण से)
20y – 2y = 60 – 48
18y = 12
$$\displaystyle \begin{array}{l}y=\frac{{12}}{{18}}\\y=\frac{2}{3}\end{array}$$

9. 3 (5z – 7) – 2 (9z – 11) = 4 (8z – 13) – 17
15z – 21 – 18z + 22 = 32z – 52 – 17
15z – 18z – 32z = 21 – 22 – 17 -52     (पक्षान्तरण से)
15z – 50z = – 91 + 21
-35z = – 70
$$\displaystyle z=\frac{{-70}}{{-35}}$$z = 2

10. 0.25 (4? – 3) = 0.05 (10? – 9)
1.00? – 0.75 = 0.5? – 0.45
1.00? – 0.5? = 0.75 – 0.45
0.05? = 0.30
$$\displaystyle z=\frac{{0.30}}{{0.05}}$$? = 6

#### ncert solutions class 8 math chapter 2 linear equations of one variableclass 8th mathEx 2.6 प्रश्नावली 2.6

निम्न समीकरणों को हल कीजिए :
1. $$\displaystyle \frac{{8x-3}}{{3x}}=2$$
हल : $$\displaystyle \frac{{8x-3}}{{3x}}=\frac{2}{1}$$
8? – 3 = 2 × 3?     (व्रज गुणा से)
8? – 3 = 6?
8? – 6? = 3     (पक्षान्तरण से)
2? = 3
$$\displaystyle x=\frac{3}{2}$$

2. $$\displaystyle \frac{{9x}}{{7-6x}}=15$$
हल : $$\displaystyle \frac{{9x}}{{7-6x}}=\frac{{15}}{1}$$
9? = 15 (7 – 6?)
9? = 105 – 90?     (व्रज गुणा से)
9? + 90? = 105     (पक्षान्तरण से)
99? = 105
$$\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{{-105}}{{99}}\\x=\frac{{-35}}{{33}}\end{array}$$

3. $$\displaystyle \frac{z}{{z+15}}=\frac{4}{9}$$
9 × ? = 4 (? + 15)     (व्रज गुणा से)
9? = 4? + 60
9? – 4? = 60     (पक्षान्तरण से)
5? = 60
$$\displaystyle z=\frac{{60}}{5}$$
? = 12

4. $$\displaystyle \frac{{3y+4}}{{2-6y}}=\frac{{-2}}{5}$$
5 (3? + 4) = – 2 (2 – 6?)     (व्रज गुणा से)
15? + 20 = – 4 + 12?
15? – 12? = – 4 – 20     (पक्षान्तरण से)
3? = – 24
$$\displaystyle y=\frac{{-24}}{3}$$
? = – 8

5. $$\displaystyle \frac{{7y+4}}{{y+2}}=\frac{{-4}}{3}$$
3 (7? + 4) = – 4 (? + 2)     (व्रज गुणा से)
21? + 12 = – 4? – 8
21? + 4? = – 8 – 12     (पक्षान्तरण से)
25? = – 20
$$\displaystyle \begin{array}{l}y=\frac{{-20}}{{25}}\\y=\frac{{-4}}{5}\end{array}$$

6. हरी और हैरी की वर्तमान आयु का अनुपात 5 : 7 है। अब से 4 वर्ष बाद उसकी आयु का अनुपात 3 : 4 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि हरी की वर्तमान आयु = 5?
तथा हैरी की वर्तमान आयु = 7?
4 वर्ष बाद हरी की आयु = 5? + 4
4 वर्ष बाद हैरी की आयु = 7? + 4
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle \frac{{5x+4}}{{7x+4}}=\frac{3}{4}$$
3 (7? + 4) = 4 (5? + 4)     (व्रज गुणा से)
21? + 12 = 20? + 16
21? – 20? = 16 – 12     (पक्षान्तरण से)
? = 4
अतः हरी की वर्तमान आयु = 5? = 5 × 4 = 20 वर्ष
तथा हैरी की वर्तमान आयु = 7? = 7 × 4 = 28 वर्ष

7. एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 8 अधिक है। यदि अंश में 17 जोड़ दिया जाए तथा हर में से 1 घटा दिया जाए तब हमें $$\displaystyle \frac{3}{2}$$ प्राप्त होता है। वह परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि की परिमेय संख्या का अंश = ?
तथा हर = ? + 8
प्रश्नानुसार –
$$\displaystyle \frac{{x+17}}{{x+8-1}}=\frac{3}{2}$$
3 (? + 8 – 1) = 2 (? + 17)     (व्रज गुणा से)
3? + 24 – 3 = 2? + 34
3? – 2? = 34 + 3 – 24     (पक्षान्तरण से)
? = 13
अतः परिमेय संख्या का अंश ? = 13
तथा हर = ? + 8 = 13 + 8 = 21
अतः वह भिन्न $$\displaystyle \frac{{13}}{{21}}$$ होगी।

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