NCERT Solutions for Class 8 Chapter 1 Rational Numbers | एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित अध्याय 1 परिमेय संख्याएँ के समाधान

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NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 1

Rational Numbers
अध्याय – 1
परिमेय संख्याएँ
गणित

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 1
8th class maths
Ex 1.1 
प्रश्नावली 1.1

प्रश्नावली 1.1

1. उचित गुणधर्मों के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) \(\displaystyle -\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}+\frac{5}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{1}{6}\)
(ii) \(\displaystyle \left( {\frac{2}{3}} \right)\times \left( {-\frac{3}{7}} \right)-\frac{1}{6}\times \frac{3}{2}+\frac{1}{{14}}\times \frac{2}{5}\)

हल : 
(i) \(\displaystyle -\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}+\frac{5}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{1}{6}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}-\frac{3}{5}\times \frac{1}{6}+\frac{5}{2}\\=\left( {-\frac{3}{5}} \right)\times \left( {\frac{2}{3}+\frac{1}{6}} \right)+\frac{5}{2}\\=\left( {-\frac{3}{5}} \right)\times \left( {\frac{{4+1}}{6}} \right)+\frac{5}{2}\\=\left( {-\frac{3}{5}} \right)\times \left( {\frac{5}{6}} \right)+\frac{5}{2}\\=\left( {-\frac{3}{6}} \right)+\frac{5}{2}\\=\frac{{-3+15}}{6}\\=\frac{{12}}{6}\end{array}\)
= 2

(ii) \(\displaystyle \left( {\frac{2}{3}} \right)\times \left( {-\frac{3}{7}} \right)-\frac{1}{6}\times \frac{3}{2}+\frac{1}{{14}}\times \frac{2}{5}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\left( {-\frac{6}{{35}}} \right)-\frac{3}{{12}}+\frac{2}{{70}}\\=-\frac{6}{{35}}-\frac{1}{4}+\frac{1}{{35}}\\=\frac{{-24-35+4}}{{140}}\\=\frac{{-59+4}}{{140}}\\=\frac{{-55}}{{140}}\\=\frac{{-11}}{{28}}\end{array}\)

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक के योज्य प्रतिलोम लिखिए :

(i) \(\displaystyle \frac{2}{8}\) (ii) \(\displaystyle \frac{{-5}}{9}\) (iii) \(\displaystyle \frac{{-6}}{{-5}}\) (iv) \(\displaystyle \frac{2}{{-9}}\) (v) \(\displaystyle \frac{{19}}{{-6}}\)

हल : 
(i) \(\displaystyle \frac{2}{8}\)
योज्य प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{-2}{8}\)

(ii) \(\displaystyle \frac{{-5}}{9}\)
योज्य प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{5}}{9}\)

(iii) \(\displaystyle \frac{{-6}}{{-5}}\)
योज्य प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{-6}}{{5}}\)

(iv) \(\displaystyle \frac{2}{{-9}}\)
योज्य प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{2}{{9}}\)

(v) \(\displaystyle \frac{{19}}{{-6}}\)
योज्य प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{19}}{{6}}\)

3. (i) \(\displaystyle x=\frac{{11}}{{15}}\)    (ii) \(\displaystyle x=-\frac{{13}}{{17}}\) के लिए सत्यापित कीजिए कि − (− x) = x
हल :  
(i) \(\displaystyle x=\frac{{11}}{{15}}\)
दिया है : \(\displaystyle x=\frac{{11}}{{15}}\)
\(\displaystyle x=\frac{{11}}{{15}}\) का योज्य प्रतिलोम \(\displaystyle -x=\frac{{-11}}{{15}}\) है, क्योंकि \(\displaystyle \frac{{11}}{{15}}+\left( {\frac{{-11}}{{15}}} \right)=0\) है।
समिका \(\displaystyle \frac{{11}}{{15}}+\left( {\frac{{-11}}{{15}}} \right)=0\) , दर्शाती है कि \(\displaystyle -x=\frac{{-11}}{{15}}\) का योज्य प्रतिलोम \(\displaystyle x=\frac{{11}}{{15}}\) है।
अतः \(\displaystyle -\left( {\frac{{-11}}{{15}}} \right)=\frac{{11}}{{15}}\)
अतः − (− x) = x

(ii) \(\displaystyle x=-\frac{{13}}{{17}}\)
दिया है : \(\displaystyle x=-\frac{{13}}{{17}}\)
\(\displaystyle x=-\frac{{13}}{{17}}\) का योज्य प्रतिलोम \(\displaystyle x=\frac{{13}}{{17}}\) है, क्योंकि \(\displaystyle \left( {\frac{{-13}}{{17}}} \right)+\frac{{13}}{{17}}=0\) है।
समिका \(\displaystyle \left( {\frac{{-13}}{{17}}} \right)+\frac{{13}}{{17}}=0\) , दर्शाती है कि \(\displaystyle x=\frac{{13}}{{17}}\) का योज्य प्रतिलोम \(\displaystyle x=-\frac{{13}}{{17}}\) है।
अतः \(\displaystyle -\left( {\frac{{-13}}{{17}}} \right)=\frac{{13}}{{17}}\)
अतः − (− x) = x

4. निम्नलिखित के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए :

(i) − 13 (ii) \(\displaystyle \frac{{-13}}{{19}}\) (iii) \(\displaystyle \frac{{1}}{{5}}\) (iv) \(\displaystyle \frac{{-5}}{8}\times \left( {\frac{{-3}}{7}} \right)\)
(v) \(\displaystyle -1\times \left( {\frac{{-2}}{5}} \right)\) (vi) − 1    

हल :
(i) − 13
गुणात्मक प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{-1}}{{13}}\)

(ii) \(\displaystyle \frac{{-13}}{{19}}\)
गुणात्मक प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{-19}}{{13}}\)

(iii) \(\displaystyle \frac{{1}}{{5}}\)
गुणात्मक प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{5}}{{1}}\) या 5

(iv) \(\displaystyle \frac{{-5}}{8}\times \left( {\frac{{-3}}{7}} \right)\)
गुणात्मक प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{-56}}{{15}}\)

(v) \(\displaystyle -1\times \left( {\frac{{-2}}{5}} \right)\)
गुणात्मक प्रतिलोम = \(\displaystyle \frac{{-5}}{{2}}\)

(vi) − 1
गुणात्मक प्रतिलोम = − 1

5. निम्नलिखित प्रत्येक में गुणन के अंतर्गत उपयोग किए गए गुणधर्म (गुण) का नाम लिखिए :

(i) \(\displaystyle \frac{{-4}}{5}\times 1=1\times \left( {\frac{{-4}}{5}} \right)=-\frac{4}{5}\) (ii) \(\displaystyle -\frac{{13}}{{17}}\times \left( {-\frac{2}{7}} \right)=\frac{{-2}}{7}\times \left( {\frac{{-13}}{{17}}} \right)\)
(iii) \(\displaystyle \frac{{-19}}{{29}}\times \frac{{29}}{{-19}}=1\)  

हल : 
(i) \(\displaystyle \frac{{-4}}{5}\times 1=1\times \left( {\frac{{-4}}{5}} \right)=-\frac{4}{5}\)
उत्तर – गुणात्मक तत्समक।

(ii) \(\displaystyle -\frac{{13}}{{17}}\times \left( {-\frac{2}{7}} \right)=\frac{{-2}}{7}\times \left( {\frac{{-13}}{{17}}} \right)\)
उत्तर – क्रयविनिमेयता।

(iii) \(\displaystyle \frac{{-19}}{{29}}\times \frac{{29}}{{-19}}=1\)
उत्तर – गुणात्मक प्रतिलोम।

6. \(\displaystyle \frac{6}{{13}}\) को \(\displaystyle \frac{{-7}}{{16}}\) के व्युत्क्रम से गुणा कीजिए।
हल : 
\(\displaystyle \frac{{-7}}{{16}}\) का व्युत्क्रम = \(\displaystyle \frac{{-16}}{{7}}\)
अतः \(\displaystyle \frac{6}{{13}}\times \frac{{-16}}{7}\)
\(\displaystyle =\frac{{-96}}{{91}}\)

7. बताइए कौन से गुणधर्म (गुण) की सहायता से आप \(\displaystyle \frac{1}{3}\times \left( {\frac{{-2}}{7}} \right)=\frac{{-2}}{7}\times \left( {\frac{{-13}}{{17}}} \right)\) के रूप में अभिकलन करते हैं।
हल : सहचारिता नियम की सहायता से अभिकलन करते हैं।

8. क्या \(\displaystyle -1\frac{1}{8}\) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\displaystyle \frac{{8}}{{9}}\) है? क्यों अथवा क्यों नहीं?
हल : 
\(\displaystyle -1\frac{1}{8}\) को सरल भिन्न में बदलने पर = \(\displaystyle \frac{{-9}}{8}\)
\(\displaystyle \frac{{-9}}{8}\) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\displaystyle \frac{{-8}}{9}\) होता है, जो कि दी गई संख्या के अनुरूप नहीं है।
अतः \(\displaystyle -1\frac{1}{8}\) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\displaystyle \frac{{-8}}{9}\) होगा न की \(\displaystyle \frac{{8}}{{9}}\)

9. क्या \(\displaystyle 3\frac{1}{3}\) का गुणात्मक प्रतिलोम 0.3 है? क्यों अथवा क्यों नहीं?
हल :
\(\displaystyle 3\frac{1}{3}\) को सरल भिन्न में बदलने पर \(\displaystyle \frac{{10}}{3}\) प्राप्त होता है।
\(\displaystyle \frac{{10}}{3}\) का गुणात्मक प्रतिलोम \(\displaystyle \frac{{3}}{10}\) होगा।
\(\displaystyle \frac{{3}}{10}\) = 0.3
अतः \(\displaystyle 3\frac{1}{3}\) का गुणात्मक प्रतिलोम 0.3 है।

10. लिखिए :
(i) ऐसी परिमेय संख्या जिसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।
(ii) परिमेय संख्याएँ जो अपने व्युत्क्रम के समान है।
(iii) परिमेय संख्या जो अपने ऋणात्मक के समान है।
हल :
(i) ऐसी परिमेय संख्या जिसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।
उत्तर – 0

(ii) परिमेय संख्याएँ जो अपने व्युत्क्रम के समान है।
उत्तर – 1 और − 1

(iii) परिमेय संख्या जो अपने ऋणात्मक के समान है।
उत्तर – 0

11. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
(i) शून्य का व्युत्क्रम _____________ है।
(ii) संख्याएँ ______________ तथा ______________ स्वयं के व्युत्क्रम हैं।
(iii) − 5 का व्युत्क्रम _______________ है।
(iv) \(\displaystyle \frac{{1}}{x}\) (x ≠ 0) का व्युत्क्रम _______________ है।
(v) दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा ________________ है।
(vi) किसी धनात्मक परिमेय संख्या का व्युत्क्रम __________________ है।

हल :
(i) शून्य का व्युत्क्रम नहीं है।
(ii) संख्याएँ 1 तथा − 1 स्वयं के व्युत्क्रम हैं।
(iii) − 5 का व्युत्क्रम \(\displaystyle \underline{{\frac{{-1}}{5}}}\) है।
(iv) \(\displaystyle \frac{{1}}{x}\) (x ≠ 0) का व्युत्क्रम x है।
(v) दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा परिमेय संख्या है।
(vi) किसी धनात्मक परिमेय संख्या का व्युत्क्रम धनात्मक है।

NCERT Solutions for Class 8 Maths chapter 1
8th class maths
Ex 1.2 
प्रश्नावली 1.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए :
(i) \(\displaystyle \underline{{\frac{7}{4}}}\)    (ii) \(\displaystyle \underline{{\frac{-5}{6}}}\)
हल :
(i) \(\displaystyle \underline{{\frac{7}{4}}}\)
हल : 
NCERT Solutions for Class 8 Chapter 1 Rational Numbers 1.2 Q1.1

(ii) \(\displaystyle \underline{{\frac{-5}{6}}}\)
हल :
ncert solutions for class 8 chapter 1 1.2 Q1.2

2. \(\displaystyle \frac{{-2}}{{11}},\frac{{-5}}{{11}},\frac{{-9}}{{11}}\) को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।
हल :
ncert solutions for class 8 chapter 1 1.2 Q1.3

3. ऐसी पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए जो 2 से छोटी हों।
हल : 2 से छोटी अनन्त परिमेय संख्याएँ हैं, जिनमे से पाँच छोटी संख्याएँ \(\displaystyle 1\frac{3}{4},\,1\frac{1}{2},\,1\frac{1}{3},\,1,\,0,\,-1\) हैं।

4. \(\displaystyle \frac{{-2}}{5}\) और \(\displaystyle \frac{{1}}{2}\) के मध्य दस परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
संख्या \(\displaystyle \frac{{-2}}{5}\) और \(\displaystyle \frac{{1}}{2}\) के हर समान करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{-2}}{5}\times \frac{2}{2}=\frac{{-4}}{{10}}\\\frac{1}{2}\times \frac{5}{5}=\frac{5}{{10}}\end{array}\)
संख्या \(\displaystyle \frac{{-4}}{{10}}\) और \(\displaystyle \frac{5}{{10}}\) के अंश और हर को 10 या किसी अन्य संख्या से गुणा करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{-4}}{{10}}\times \frac{{10}}{{10}}=\frac{{-40}}{{100}}\\\frac{5}{{10}}\times \frac{{10}}{{10}}=\frac{{50}}{{100}}\end{array}\)
हर समान है अतः 50 से − 40 के बीच 10 संख्याएँ निम्न होंगी।
\(\displaystyle \frac{{-39}}{{100}},\,\frac{{-38}}{{100}},\,\frac{{-37}}{{100}},\,\frac{{-36}}{{100}},\,\frac{{-35}}{{100}},\,\frac{{-34}}{{100}},\,\frac{{-33}}{{100}},\,\frac{{-32}}{{100}},\,\frac{{-31}}{{100}},\,\frac{{30}}{{100}}\)

5. (i) \(\displaystyle \frac{2}{3}\) और \(\displaystyle \frac{4}{5}\)     (ii) \(\displaystyle \frac{-3}{2}\) और \(\displaystyle \frac{5}{3}\)
(iii) \(\displaystyle \frac{1}{4}\) और \(\displaystyle \frac{1}{2}\) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) \(\displaystyle \frac{2}{3}\) और \(\displaystyle \frac{4}{5}\)
दोनों परिमेय संख्याओं हर समान करने पर – 
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2}{3}\times \frac{5}{5}=\frac{{10}}{{15}}\\\frac{4}{5}\times \frac{3}{3}=\frac{{12}}{{15}}\end{array}\)
दोनों परिमेय संख्याओं के हर और हर को 5 से गुणा करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{10}}{{15}}\times \frac{5}{5}=\frac{{50}}{{75}}\\\frac{{12}}{{15}}\times \frac{5}{5}=\frac{{60}}{{75}}\end{array}\)
अतः \(\displaystyle \frac{2}{3}\) और \(\displaystyle \frac{4}{5}\) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ निम्न होंगी।
\(\displaystyle \frac{{51}}{{75}},\,\frac{{52}}{{75}},\,\frac{{53}}{{75}},\,\frac{{54}}{{75}},\,\frac{{55}}{{75}}\)

(ii) \(\displaystyle \frac{-3}{2}\) और \(\displaystyle \frac{5}{3}\)
दोनों परिमेय संख्याओं हर समान करने पर – 
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{-3}}{2}\times \frac{3}{3}=\frac{{-9}}{6}\\\frac{5}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{{10}}{6}\end{array}\)
दोनों संख्याओं के हर समान है अतः अंश − 9 तथा 10 के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ निम्न हैं –
\(\displaystyle \frac{{-8}}{6},\,\frac{{-7}}{6},\,\frac{{-6}}{6},\,\frac{{-5}}{6},\,\frac{{-4}}{6}\)

(iii) \(\displaystyle \frac{1}{4}\) और \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
दोनों परिमेय संख्याओं हर समान करने पर – 
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{4}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{8}\\\frac{1}{2}\times \frac{4}{4}=\frac{4}{8}\end{array}\)
अंश को बड़ा करने के लिए अंश और हर को 5 से गुणा करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2}{8}\times \frac{5}{5}=\frac{{10}}{{40}}\\\frac{4}{8}\times \frac{5}{5}=\frac{{20}}{{40}}\end{array}\)
दोनों संख्याओं के हर समान है अतः अंश 10 तथा 20 के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ निम्न हैं –
\(\displaystyle \frac{{11}}{{40}},\,\frac{{12}}{{40}},\,\frac{{13}}{{40}},\,\frac{{14}}{{40}},\,\frac{{15}}{{40}}\)

6. − 2 से बड़ी पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए।
हल – 
− 2 से बड़ी अनन्त परिमेय संख्याएँ हैं, जिनमे से पाँच निम्न लिखित है –
\(\displaystyle \frac{{-3}}{2},\,-1,\,\frac{{-1}}{2},\,0,\,\frac{1}{2}\)

7. \(\displaystyle \frac{3}{5}\) और \(\displaystyle \frac{3}{4}\) के बीच दस परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
संख्या \(\displaystyle \frac{3}{5}\) और \(\displaystyle \frac{3}{4}\) के हर समान करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{3}{5}\times \frac{4}{4}=\frac{{12}}{{20}}\\\frac{3}{4}\times \frac{5}{5}=\frac{{15}}{{20}}\end{array}\)
अंश को बड़ा करने के लिए अंश और हर को 5 से गुणा करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{12}}{{20}}\times \frac{5}{5}=\frac{{60}}{{100}}\\\frac{{15}}{{20}}\times \frac{5}{5}=\frac{{75}}{{100}}\end{array}\)
दोनों संख्याओं के हर समान है अतः अंश 60 तथा 75 के बीच की दस परिमेय संख्याएँ निम्न हैं –
\(\displaystyle \frac{{61}}{{100}},\,\frac{{62}}{{100}},\,\frac{{63}}{{100}},\,\frac{{64}}{{100}},\,\frac{{65}}{{100}},\,\frac{{66}}{{100}},\,\frac{{67}}{{100}},\,\frac{{68}}{{100}},\,\frac{{69}}{{100}},\,\frac{{70}}{{100}}\)

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