NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 Exponents and Powers | एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित अध्याय 13 घातांक और घात के समाधान

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Perimeter and Area
पाठ – 7
घातांक और घात
गणित

ncert class 7 maths chapter 13
class 7th math
Ex 13.1 
प्रश्नावली 13.1

प्रश्नावली 13.1

1. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) 26 (ii) 93 (iii) 112 (iv) 54

हल :- 
(i) 26
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2× 2
= 64

(ii) 93
= 9 × 9 × 9
= 729

(iii) 112
= 11 × 11
= 121

(iv) 54
= 5 × 5 × 5 × 5
= 625

2. निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) 6 × 6 × 6 × 6 (ii) t × t (iii) b × b × b × b 
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 (v) 2 × 2 × a × a (vi) a × a × a × c × c × c × c × d

हल :-
(i) 6 × 6 × 6 × 6
= 62

(ii) t × t
= t2

(iii) b × b × b × b 
= 64

(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
= 52 × 73

(v) 2 × 2 × a × a
= 22 × a2

(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
= a3 × c4 × d

3. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :

(i) 512 (ii) 343 (iii) 729 (iv) 3125

हल :-
(i) 512
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. 2 \right|512}}\\\underline{{\left. 2 \right|256}}\\\underline{{\left. 2 \right|128}}\\\underline{{\left. 2 \right|64}}\\\underline{{\left. 2 \right|32}}\\\underline{{\left. 2 \right|16}}\\\underline{{\left. 2 \right|8}}\\\underline{{\left. 2 \right|4}}\\\underline{{\left. 2 \right|2}}\\\left. {\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 512 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अतः 512 = 29

(ii) 343
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. 7 \right|343}}\\\underline{{\left. 7 \right|49}}\\\underline{{\left. 7 \right|7}}\\\left. {\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 343 के अभाज्य गुणनखंड = 7 × 7 × 7
अतः 343 = 73

(iii) 729
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. 3 \right|729}}\\\underline{{\left. 3 \right|243}}\\\underline{{\left. 3 \right|81}}\\\underline{{\left. 3 \right|27}}\\\underline{{\left. 3 \right|9}}\\\underline{{\left. 3 \right|3}}\\\left. {\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 729 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ×3
अतः 729 = 36

(iv) 3125
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. 5 \right|3125}}\\\underline{{\left. 5 \right|625}}\\\underline{{\left. 5 \right|125}}\\\underline{{\left. 5 \right|25}}\\\underline{{\left. 5 \right|5}}\\\left. {\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 3125 के अभाज्य गुणनखंड = 5 × 5 × 5 × 5 × 5
अतः 3125 = 55

4. निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी संभव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :

(i) 43 या 34 (ii) 53 या 35 (iii) 28 या 82
(iv) 1002 या 2100 (v) 210 या 102  

हल :-
(i) 43 या 34
43 = 4 × 4 × 4 = 64
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
स्पष्ट है कि 64 < 81
अतः संख्या 34 बड़ी होगी।

(ii) 53 या 35
53 = 5 × 5 × 5 = 125
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
स्पष्ट है कि 125 < 243
अतः संख्या 35 बड़ी है।

(iii) 28 या 82
28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
82 = 8 × 8 = 64
स्पष्ट है कि 256 > 64
अतः संख्या 28 बड़ी है।

(iv) 1002 या 2100
1002 = 100 × 100 = 10000
2100 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ……………….. x 2 = 14 बार में 16,384 आ रहे है।
सपष्ट है कि 10000 < 16384
अतः संख्या 2100 बड़ी है।

(v) 210 या 102
210 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
102 = 10 × 10 = 100 
स्पष्ट है कि 1024 > 100
अतः संख्या 210 बड़ी है।

5. निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ अभाज्य गुणनखंडों कि घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

(i) 648 (ii) 405 (iii) 540 (iv) 3600

हल :-
(i) 648
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. 2 \right|648}}\\\underline{{\left. 2 \right|324}}\\\underline{{\left. 2 \right|162}}\\\underline{{\left. 3 \right|81}}\\\underline{{\left. 3 \right|27}}\\\underline{{\left. 3 \right|9}}\\\underline{{\left. 3 \right|3}}\\\left. {\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 648 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
648 = 23 × 34

(ii) 405
\(\displaystyle \begin{array}{l}\underline{{\left. 3 \right|405}}\\\underline{{\left. 3 \right|135}}\\\underline{{\left. 3 \right|45}}\\\underline{{\left. 3 \right|15}}\\\underline{{\left. 5 \right|5}}\\\left. {\,\,\,} \right|1\end{array}\)
संख्या 405 के अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 3 ×3 × 5
अतः 405 = 34 × 5

6. सरल कीजिए :

(i) 2 × 103 (ii) 72 × 22 (iii) 23 × 5 (iv) 3 × 44
(v) 0 × 102 (vi) 52 × 33 (vii) 24 × 32 (viii) 32 × 104

हल : 
(i) 2 × 103
= 2 × 10 × 10 × 10
= 2000

(ii) 72 × 22
= 7 × 7 × 2 × 2
= 196

(iii) 23 × 5
= 2 × 2 × 2 × 5
= 40

(iv) 3 × 44
= 3 × 4 × 4 × 4 × 4 
= 768

(v) 0 × 102
= 0 × 10 × 10
= 0

(vi) 52 × 33
= 5 × 5× 3 × 3 × 3
= 675

(vii) 24 × 32
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 144

(viii) 32 × 104
= 3 × 3 × 10 × 10 × 10 × 10
= 90000

7. सरल कीजिए :

(i) (− 4)3 (ii) (− 3) × (− 2)3 (iii) (− 3)2 × (− 5)2
(iv) (− 2)3 × (− 10)3    

हल :
(i) (− 4)3
= (− 4) × (− 4) × (− 4)
= − 64

(ii) (− 3) × (− 2)3
= (− 3) × (− 2) × (− 2)
= − 12

(iii) (− 3)2 × (− 5)2
= (− 3) × (− 3) × (− 5) × (− 5)
= 225

(iv) (− 2)3 × (− 10)3
= (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 10) × (− 10) × (− 10)
= 8000

8. निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :

(i) 2.7 × 1012 ; 1.5 × 108 (ii) 4 × 1014 ; 3 × 1017

हल :-
(i) 2.7 × 1012 ; 1.5 × 108
घात समान करने पर –
27000 × 108 तथा 1.5 × 108
स्पष्ट है कि 27000 × 108 > 1.5 × 108
अतः संख्या 27000 × 108 बड़ी है।

(ii) 4 × 1014 ; 3 × 1017
घात समान करने पर –
3000 × 1017 तथा 4 × 1014
स्पष्ट है कि 3000 × 1017 > 4 × 1014
अतः संख्या 3000 × 1017 बड़ी है।

प्रश्नावली 13.2

1. घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) 32 × 34 × 38 (ii) 615 ÷ 610 (iii) a3 × a2
(iv) 7x × 72 (v) (52)3 ÷ 53 (vi) 25 × 55
(vii) a4 × b4 (viii) (34)3 (ix) (220 ÷ 215) × 23
(x) 8t ÷ 82    

हल :-
(i) 32 × 34 × 38
(चूँकि am × an = am+n)
अतः 3(2 + 4 + 8)
= 314

(ii) 615 ÷ 610
(चूँकि am × an = am+n)
अतः 6(15 + 10)
= 625

(iii) a3 × a2
(चूँकि am × an = am+n)
अतः a(3 + 2)
= a5

(iv) 7x × 72
(चूँकि am × an = am+n)
अतः 7(x + 2)

(v) (52)3 ÷ 53
{चूँकि (am)n = am×n}
अतः 5(2 × 3) ÷ 53
= 56 ÷ 53
(चूँकि am ÷ an = am−n)
= 5(6 − 3)
=53

(vi) 25 × 55
{चूँकि am × bm = (a × b)m}
अतः (2 × 5)5
= 105

(vii) a4 × b4
{चूँकि am × bm = (a × b)m}
अतः (a × b)4

(viii) (34)3
{चूँकि (am)n = am×n}
अतः 3(4 × 3)
= 312

(ix) (220 ÷ 215) × 23
(चूँकि am ÷ an = am−n)
अतः 2(20 − 15) × 23
= 25 × 23
(चूँकि am × an = am+n)
= 2(5 + 3)
= 28

(x) 8t ÷ 82
(चूँकि am ÷ an = am−n)
अतः 8(t − 2)

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) \(\displaystyle \frac{{{{2}^{3}}\times {{3}^{4}}\times 4}}{{3\times 32}}\) (ii) \(\displaystyle \left[ {{{{\left( {{{5}^{2}}} \right)}}^{3}}\times {{5}^{4}}} \right]\div {{5}^{7}}\) (iii) 254 ÷ 53
(iv)

\(\displaystyle \frac{{3\times {{7}^{2}}\times {{{11}}^{8}}}}{{21\times {{{11}}^{3}}}}\)

(v) \(\displaystyle \frac{{{{3}^{7}}}}{{{{3}^{4}}\times {{3}^{3}}}}\) (vi) 20 + 30 + 40
(vii) 20 × 30 × 40 (viii) (30 + 20) × 50 (ix) \(\displaystyle \frac{{{{2}^{8}}\times {{a}^{5}}}}{{{{4}^{3}}\times {{3}^{3}}}}\)

हल :-
(i) \(\displaystyle \frac{{{{2}^{3}}\times {{3}^{4}}\times 4}}{{3\times 32}}\)
सभी संख्याओं को घातांक में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{{{{2}^{3}}\times {{3}^{4}}\times {{2}^{2}}}}{{3\times {{2}^{5}}}}\)
(चूँकि am × an = am+n)
\(\displaystyle =\frac{{{{2}^{{(3+2)}}}{{3}^{4}}}}{{3\times {{2}^{5}}}}\)
\(\displaystyle =\frac{{\cancel{{{{2}^{5}}}}\times {{3}^{4}}}}{{3\times \cancel{{{{2}^{5}}}}}}\)
(चूँकि am ÷ an = am−n)
= 3(4 − 1)
= 33

(ii) \(\displaystyle \left[ {{{{\left( {{{5}^{2}}} \right)}}^{3}}\times {{5}^{4}}} \right]\div {{5}^{7}}\)
{चूँकि (am)n = am×n}
\(\displaystyle =\left[ {\left( {{{5}^{{2\times 3}}}} \right)\times {{5}^{4}}} \right]\div {{5}^{7}}\)
\(\displaystyle =\left( {{{5}^{6}}\times {{5}^{4}}} \right)\div {{5}^{7}}\)
= 5(6 + 4) ÷ 57
(चूँकि am ÷ an = am−n)
= 510 ÷ 57
= 5(10 − 7)
=53

(iii) 254 ÷ 53
सभी संख्याओं को घातांक में बदलने पर –
= (52)4 ÷ 53
{चूँकि (am)n = am×n}
= 5(2 × 4) ÷ 53
= 510 ÷ 53
(चूँकि am ÷ an = am−n)
= 5(10 − 3)
= 57

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