NCERT Solutions for class 10 maths chapter 4 Quadratic Equations | कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4 द्विघात समीकरण

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NCERT Solutions for class 10 maths chapter 4

Quadratic Equations
पाठ – 4
द्विघात समीकरण

NCERT Solutions for class 10 maths chapter 4
class 10 maths solution ex 4.1 प्रश्नावली 4.1

1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :

(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3) (ii) x2 – 2x = (- 2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3) (iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1) (vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1) (viii) x3 – 4x2x + 1 = (x – 2)3

उत्तर – 
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
हल : बायाँ पक्ष = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
अतः (x + 1)2 = 2 (x – 3) को
x2 + 2x + 1 = 2x – 6 लिखा जा सकता है।
अर्थात x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
अतः x2 + 7 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) x2 – 2x = (- 2) (3 – x)
हल : दायाँ पक्ष = – 6 + 2x
अतः x2 – 2x = (- 2) (3 – x) को
x2 – 2x = – 6 + 2x लिखा जा सकता है।
अर्थात x2 – 2x + 6 – 2x = 0
अतः x2 – 4x + 6 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
हल : बायाँ पक्ष = (x – 2) (x + 1) = x2 + x – 2x – 2
= x2x – 2
दायाँ पक्ष = (x – 2) (x + 1) = x2 + 3xx – 3
= x2 + 2x – 3
अतः (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3) को 
x2x – 2 = x2 + 2x – 3 लिखा जा सकता है।
अर्थात x2x – 2 – x2 – 2x + 3 = 0
अतः – 3x + 1 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
हल : बायाँ पक्ष = (x – 3) (2x + 1) = 2x2 + x – 6x – 3
= 2x2 – 5x – 3
दायाँ पक्ष = x (x + 5) = x2 + 5x
अतः (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5) को 
2x2 – 5x – 3 = x2 + 5x लिखा जा सकता है।
अर्थात 2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
अतः x2 – 10x – 3 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
हल : बायाँ पक्ष = (2x – 1) (x – 3) = 2x2 – 6xx + 3
= 2x2 – 7x + 3
दायाँ पक्ष = (x + 5) (x – 1) = x2x + 5x – 5
= x2 + 4x – 5
अतः (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1) को 
2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5 लिखा जा सकता है।
अर्थात 2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0
अतः x2 – 11x + 8 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
हल : दायाँ पक्ष = (x – 2)2 = x2 – 2x + 4
अतः x2 + 3x + 1 = (x – 2)2 को
x2 + 3x + 1 = x2 – 2x + 4 प्रकार से लिखा जा सकता है।
अर्थात x2 + 3x + 1 – x2 + 4x – 4 = 0
अतः 7x – 3 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
हल : बायाँ पक्ष = (x + 2)3 
[∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2]= x3 + 8 + 6x2 + 12x
दायाँ पक्ष = 2x (x2 – 1) = 2x3 – 2x
अतः  (x + 2)3 = 2x (x2 – 1) को 
x3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x
अर्थात x3 + 6x2 + 12x + 8 – 2x3 + 2x = 0
x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) x3 – 4x2x + 1 = (x – 2)3
हल :
बायाँ पक्ष = x3 – 4x2x + 1 = x3 – 4x2x + 1
दायाँ पक्ष = (x – 2)3
[∵ (ab)3 = a3 – b3 – 3a2b + 3ab2]= x3 – 8 – 6x2 + 12x
अतः x3 – 4x2x + 1 = (x – 2)3 को
x3 – 4x2x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x
x3 – 4x2x + 1 – x3 + 8 + 6x2 – 12x = 0
2x2 – 13x + 9 = 0
यह ax2 + bx + c = 0 के प्रकार का है।
अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चल से तय करती है। यदि इसकी चल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
उत्तर – 
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
हल : मानाकि आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x
∴ आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
सूत्र में मान रखने पर –
528 = (2x + 1) × x
528 = 2x2 + x
अतः 2x2 + x – 528 = 0
जहाँ x (मीटर में) आयताकार भूखंड की चौड़ाई है।

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
हल : मानाकि पहला धनात्मक पूर्णांक =
x
तथा दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x + 1
दोनों का गुणनफल = x (x + 1)
306 = x2 + x
अतः x2 + x – 306 = 0
जहाँ x लघुतर पूर्णांक है।

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
हल : मानाकि रोहन की वर्तमान आयु = x
तथा रोहन की माँ की वर्तमान आयु = x + 26
3 वर्ष पश्चात् –
रोहन की आयु = x + 3
तथा रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3
= x + 29
प्रश्नानुसार –
(x + 3) (x + 29) = 360
अतः x2 + 29x + 3x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
x2 + 32x – 273 = 0
जहाँ x (वर्षों में) रोहन की वर्तमान आयु है।

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चल से तय करती है। यदि इसकी चल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल : मानाकि रेलगाड़ी की समान चाल = x km/h

480 km दूरी तय करने में लगाने वाला समय = \(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{{480}}{x}\)
यदि चाल 8 km/h कम होती तो चाल होती = (x – 8) km/h

\(\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{{480}}{{x-8}}\)
t2 = t1 + 9
\(\displaystyle \frac{{480}}{{x-8}}=\frac{{480}}{x}+9\)
अतः \(\displaystyle \frac{{480}}{{x-8}}=\frac{{480+9x}}{x}\)
∴ 480x = (480 + 3x) (x – 8)
480 = 480x – 3840 + 3x2 – 24x
0 = 480x – 3840 + 3x2 – 24x – 480x
∴ 3x2 – 24x – 3840 = 0
अतः x2 – 8x – 1280 = 0
यहाँ x (km/h में) रेलगाड़ी की चाल है।

NCERT Solutions for class 10 maths chapter 4
class 10 maths solution ex 4.2 प्रश्नावली 4.2

1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

(i) x2 – 3x – 10 = 0 (ii) 2x2 + x – 6 = 0
(iii) \(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0\) (iv) \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-x+\frac{1}{8}=0\)
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0    

उत्तर – 
(i) x2 – 3x – 10 = 0
हल : x2 – 3x – 10 = 0
= x2 – 5x + 2x – 10
= x (x – 5) + 2 (x – 5)
= (x – 5) (x + 2)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
(x – 5) (x + 2) = 0
अतः (x – 5) = 0
x – 5 = 0
x = 5
तथा (x + 2) = 0
x + 2 = 0
x = – 2
अतः द्विघात समीकरणों के मूल 5 व – 2 है। 

(ii) 2x2 + x – 6 = 0
हल : 2x2 + x – 6 = 0
= 2×2 + 4x – 3x – 6
= 2x (x + 2) – 3 (x + 2)
= (x + 2) (2x – 3)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
(x + 2) (2x – 3) = 0
अतः (x + 2) = 0
x + 2 = 0
x = – 2
तथा (2x – 3) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
\(\displaystyle x=\frac{3}{2}\)
अतः द्विघात समीकरणों के मूल – 2 व \(\displaystyle \frac{3}{2}\) है।

(iii) \(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0\)
हल : \(\displaystyle \sqrt{2}{{x}^{2}}+7x+5\sqrt{2}=0\)
\(\displaystyle =\sqrt{2}{{x}^{2}}+2x+5x+5\sqrt{2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{2}x\left( {x+\sqrt{2}} \right)+5\left( {x+\sqrt{2}} \right)\)
\(\displaystyle =\left( {x+\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{2}x+5} \right)\)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
\(\displaystyle \left( {x+\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{2}x+5} \right)=0\)
अतः
\(\displaystyle \left( {x+\sqrt{2}} \right)=0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}x+\sqrt{2}=0\\x=-\sqrt{2}\end{array}\)
तथा \(\displaystyle \left( {\sqrt{2}x+5} \right)=0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{2}x+5=0\\\sqrt{2}x=-5\\x=\frac{{-5}}{{\sqrt{2}}}\end{array}\)
अतः द्विघात समीकरणों के मूल \(\displaystyle \frac{{-5}}{{\sqrt{2}}}\) व \(\displaystyle -\sqrt{2}\) है। 

(iv) \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-x+\frac{1}{8}=0\)
हल : \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-x+\frac{1}{8}=0\)
सभी पदों को 8 से गुणा करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=2{{x}^{2}}\times 8-x\times 8+\frac{1}{8}\times 8\\=16{{x}^{2}}-8x+1\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=16{{x}^{2}}-4x-4x+1\\=4x(4x-1)-1(4x-1)\\=(4x-1)(4x-1)\end{array}\)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
\(\displaystyle (4x-1)(4x-1)=0\)
अतः (4x – 1) = 0
4x – 1 = 0
4x = 1
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)
तथा (4x – 1) = 0
4x – 1 = 0
4x = 1
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)
अतः द्विघात समीकरणों के मूल \(\displaystyle \frac{1}{2}\) व \(\displaystyle \frac{1}{2}\) है।

(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल : 100x2 – 20x + 1 = 0 
= 100x2 – 20x + 1
= 10x (10x – 1) – 1 (10x – 1)
= (10x – 1) (10x – 1)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
(10x – 1) (10x – 1) = 0
अतः (10x – 1) = 0
10x = 1
\(\displaystyle x=\frac{1}{10}\)
तथा (10x – 1) = 0
10x = 1
\(\displaystyle x=\frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरणों के मूल \(\displaystyle \frac{1}{10}\)\(\displaystyle \frac{1}{10}\) है।

2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे।
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलोने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने कि संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
उत्तर – 
(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे।
हल : मानाकि जॉन के कंचों की संख्या = x थी।
तब जीवंती के कंचों की संख्या = 45 – x 
जॉन के पास, 5 कंचे खो देने के बाद, बचे कंचों की संख्या = x – 5
जीवंती के पास, 5 कंचे खो देने के बाद, बचे कंचों की संख्या = 45 – x – 5
= 40 – x
अतः उनका गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40xx2 – 200 + 5x
= – x2 + 45x – 200
प्रश्नानुसार –
x2 + 45x – 200 = 124
x2 + 45x – 324 = 0
x2 – 45x + 324 = 0
अतः जॉन के पास जितने कंचे थे, जो समीकरण 
x2 – 45x + 324 = 0
= x2 – 36x – 9x + 324
= x (x – 36) – 9x (x – 36)
= (x – 36) (x – 9)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
(x – 36) (x – 9) = 0

अतः (x – 36) = 0
x – 36 = 0
x = 36
तथा (x – 369) = 0
x – 9 = 0
x = 9
अतः दोनों के पास 9 था 36 कंचे थे।

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलोने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने कि संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल : मानाकि उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (₹ में) = 55 – x
इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (₹ में) = x (55 – x)
अतः x (55 – x) = 750
55xx2 = 750
x2 + 55x – 750 = 0
अतः उस दिन निर्माण किये गए खिलौने की संख्या द्विघात समीकरण 
x2 – 55x + 750 = 0
को संतुष्ट करती है।
अतः x2 – 55x + 750 = 0
= x2 – 30x – 25x + 750
= x (x – 30) – 25 (x – 30)
= (x – 30) (x – 25)
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए 
(x – 30) (x – 25) = 0
अतः (x – 30) = 0

x – 30 = 0
x = 30
तथा (x – 25) = 0
x – 25 = 0
x = 25
उस दिन निर्माण किये गए खिलौनों की संख्या 30 व 25 थी।

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल : मानाकि की पहली संख्या = x
तथा दूसरी संख्या = 27 – x
प्रश्नानुसार –
x (27 – x) = 182
27xx2 = 182
x2 – 27x + 182 = 0
x2 – 14x – 13x + 182 = 0
x (x – 14) – 13 (x – 14) = 0
(x – 13) (x – 14) = 0
अतः (x – 13) = 0
x – 13 = 0
x = 13
तथा (x – 14) = 0
x – 14 = 0
x = 14
अतः वह दोनों संख्याएँ 13 और 14 हैं।

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल : मानाकि पहली धनात्मक पूर्णांक = x
तथा दूसरी धनात्मक पूर्णांक = x + 1
प्रश्नानुसार –
(x)2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 2x + 1 = 365 
2x2 + 2x + 1 – 365 = 0
x2 + x – 182 = 0
अतः x2 + 14x – 13x – 182 = 0
x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
(x – 13) (x + 14) = 0
अतः समीकरण के मूल x के वे मान हैं, जिनके लिए
(x – 13) = 0
x – 13 = 0
x = 13
तथा (x + 14) = 0
x + 14 = 0
x = – 14
चूँकि वह धनात्मक पूर्णांक है।
अतः पहला धनात्मक पूर्णांक x = 13
तथा दूसरा धनात्मक पूर्णांक x + 1 = 13 + 1 = 14 होगा।

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि त्रिभुज का आधार = x 
तथा इसकी ऊँचाई = x – 7
कर्ण = 13 cm
अतः पाइथागोरियन प्रमेय से – 
AB2 + BC2 = AC2
(x)2 + (x – 7)2 = (13)2
x2 + x2 – 14x + 49 = 169
2x2 – 14x + 49 – 169 = 0
2x2 – 14x – 120 = 0
सभी पदों में 2 का भाग देने पर –
x2 – 7x – 60 = 0
x2 – 12x + 5x – 60 = 0
x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
(x – 12) (x + 5) = 0
अतः (x – 12) = 0
x – 12 = 0
x = 12
तथा (x + 5) = 0
x + 5 = 0
x = – 5
अतः त्रिभुज का आधार x = 12 cm
तथा उसकी ऊँचाई x – 7
= 12 – 7
= 5 cm

6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि कुटीर उद्योग एक दिन में बर्तन का निर्माण करता है = x
प्रत्येक बर्तन की कीमत = 2x + 3
अतः प्रश्नानुसार –
x (2x + 3) = 90
2x2 + 3x – 90 = 0
2x2 + 15x – 12x – 90 = 0
x (2x + 15) – 6 (x + 15) = 0
(x – 6) (2x + 15) = 0
अतः (x – 6) = 0
x – 6 = 0
x = 6
तथा (2x + 15) = 0
2x + 15 = 0
2x = – 15
\(\displaystyle x=\frac{{-15}}{2}\)
अतः बर्तनों की संख्या x = 6
तथा प्रत्येक बर्तन की कीमत = 2x + 3
= 2 × 6 + 3
= 12 + 3
= 15

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