NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म class 10th maths

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NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables class 10th maths

class 10th maths Pair of Linear Equations in Two Variables
पाठ – 3
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
गणित

Exercise 3.1 class 10th maths प्रश्नावली 3.1

1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ (क्या यह मनोरंजक है ?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफ़िय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल : मानाकि आफ़ताब की वर्तमान आयु = 𝑥 वर्ष
तथा पुत्री की वर्तमान आयु = 𝑦 वर्ष
सात वर्ष पूर्व  –
आफ़ताब की आयु = 𝑥 – 7
तथा उसकी पुत्र की आयु = 𝑦 – 7
प्रश्नानुसार –
𝑥 – 7 = 7 (𝑦 – 7)
𝑥 – 7 = 7𝑦 – 49
𝑥 – 7𝑦 = – 49 + 7
𝑥 – 7𝑦 = – 42 ………………… (i)
3 वर्ष बाद –
आफ़ताब की आयु = 𝑥 + 3 वर्ष
उसकी पुत्री की आयु = 𝑦 + 3 वर्ष
प्रश्नानुसार –
𝑥 + 3 = 3 (𝑦 + 3)
𝑥 + 3 = 3𝑦 + 9
𝑥 – 3𝑦 = 9 – 3
𝑥 – 3𝑦 = 6 ………………… (ii)
अतः समीकरणों (i) व (ii) का बीजगणित रूप है।
अब ग्राफ़िय हल के लिए –
समीकरण (i) से,
𝑥 – 7𝑦 = – 42

𝑋 0 7 – 7
𝑌 6 7 5

समीकरण (ii) से,
𝑥 – 3𝑦 = 6

𝑋 6 3 0
𝑌 0 – 1 – 2

NCERT Maths Class 10 Chapter 3 Question 1

2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला  तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1300 में खरीदी। इस स्थिति को बीजगणित तथा ज्यामिति रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल : मानाकि एक बल्ले का मूल्य = ₹ 𝑥 है।
तथा गेंद का मूल्य = ₹ 𝑦
प्रश्नानुसार –
पहली शर्त = 3𝑥 + 6𝑦 = 3900 …………………. (i)
दूसरी शर्त = 𝑥 + 3𝑦 = 1300 …………………….(ii)
अतः इस स्थिति का बीजीय रूप निम्नलिखित है –
3𝑥 + 6𝑦 = 3900
𝑥 + 3𝑦 = 1300
समीकरण (i) से –
3𝑥 + 6𝑦 = 3900
𝑥 + 2𝑦 = 1300
𝑥 = 1300 – 2𝑦

𝑋 – 100 300 100
𝑌 700 500 600

समीकरण (ii) से –
𝑥 + 3𝑦 = 1300
𝑥 = 1300 – 3𝑦

𝑋 – 200 100 400
𝑌 500 400 300

NCERT Maths Class 10 Chapter 3 Question 2

3. 2𝑘𝑔  सेब और 1 𝑘𝑔 अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 𝑘𝑔 सेब और दो 𝑘𝑔 अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणित तथा ज्यामिति रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल : मानाकि 1 𝑘𝑔 सेब का मूल्य = ₹ 𝑥
तथा 1 𝑘𝑔 अंगूर का मूल्य = ₹ 𝑦
प्रश्नानुसार 2𝑥 + 𝑦 = 160 ………………. (i)
4𝑥 + 2𝑦 = 300 ……………………. (ii)
अतः समीकरणों (i) व (ii) का बीजगणितीय रूप है।
अब ग्राफ़िय हल के लिए –
समीकरण (i) से,
2𝑥 + 𝑦 = 160
𝑦 = 160 – 2𝑥

𝑋 50 40 – 10
𝑌 60 80 180

समीकरण (ii) से,
4𝑥 + 2𝑦 = 300
2𝑥 + 𝑦 = 150
𝑦 = 150 – 2𝑥

𝑋 40 – 10 50
𝑌 70 170 50

Math 10 Ch 3.1 Q 3

NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 3.2 Pair of Linear Equations in Two Variables | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म class 10th maths

1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) कक्षा 𝑋 के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि लड़कों की संख्या = 𝑥
तथा लड़कियों की संख्या = 𝑦
प्रश्नानुसार –
𝑥 + 𝑦 = 10 ……………….. (i)
𝑦 = 𝑥 + 4 ………………… (ii)
समीकरण (i) से,
𝑥 + 𝑦 = 10

𝑋 6 5 4
𝑌 4 5 6

समीकरण (ii) से,
𝑦 = 𝑥 + 4

𝑋 4 2 5
𝑌 8 6 9

Math Class 10 Chapter 3.2 Q. 1(ii) 5 पेन्सिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि पेन्सिल तथा कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेन्सिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि एक पेन्सिल का मूल्य = ₹ 𝑥
तथा एक कलम का मूल्य = ₹ 𝑦
प्रश्नानुसार –
5𝑥 + 7𝑦 = 50 ………………….. (i)
7𝑥 + 5𝑦 = 46 ………………….. (ii)
समीकरण (i) से,
5𝑥 + 7𝑦 = 50
5𝑥 = 60 – 7𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{50-7y}}{5}\)

𝑋 10 3 – 4
𝑌 0 5 10

समीकरण (ii) से,
7𝑥 + 5𝑦 = 46
7𝑥 = 46 – 5𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{46-5y}}{7}\)

𝑋 3 8 – 2
𝑌 5 – 2 12

Math Class 10 Chapter 3.2 Q. 1 (ii)

2. अनुपातों \(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}},\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\) और \(\displaystyle \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर है अथवा संपाति हैं :

(i) 5𝑥 – 4𝑦 + 8 = 0 (ii) 9𝑥 + 3𝑦 + 12 = 0
  7𝑥 + 6𝑦 – 9 = 0   18𝑥 + 6𝑦 + 24 = 0
(iii) 6𝑥 – 3𝑦 + 10 = 0    
  2𝑥 – 𝑦 + 9 = 0    

हल : (i) 5𝑥 – 4𝑦 + 8 = 0
7𝑥 + 6𝑦 – 9 = 0
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{5}{7},\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-4}}{6}=\frac{{-2}}{3}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म द्वारा बानी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदित करती है।

(ii) 9𝑥 + 3𝑦 + 12 = 0
18𝑥 + 6𝑦 + 24 = 0
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{9}{{18}}=\frac{1}{2}\\\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{12}}{{24}}=\frac{1}{2}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म द्वारा बानी रेखाएँ सम्पाती है।

(iii) 6𝑥 – 3𝑦 + 10 = 0
2𝑥 – 𝑦 + 9 = 0
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}\\\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-3}}{{-1}}=\frac{3}{1}\\\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{10}}{9}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म द्वारा बनी रेखाएँ समान्तर है।

3. अनुपातों \(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}},\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\) और \(\displaystyle \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म सांगत हैं या असंगत :
(i) 3𝑥 + 2𝑦 = 5 ;     2𝑥 – 3𝑦 = 7                    (ii) 2𝑥 – 3𝑦 = 7 ;     4𝑥 – 6𝑦 = 9
(iii) \(\displaystyle \frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y=7\) ;     9𝑥 – 10𝑦 = 14                   (iv) 5𝑥 – 3𝑦 = 11 ;     – 10𝑥 + 6𝑦 = – 22
(v) \(\displaystyle \frac{4}{3}x+2y=8\) ;     2𝑥 + 3𝑦 = 12
हल : (i) 3𝑥 + 2𝑦 = 5 ;     2𝑥 – 3𝑦 = 7
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{3}{2},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{2}{{-3}}\\\frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\end{array}\)
अतः समीकरणों के युग्म असंगत है।

(ii) 2𝑥 – 3𝑦 = 8 ;     4𝑥 – 6𝑦 = 9
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-3}}{{-6}}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{8}{9}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म संगत है।

(iii) \(\displaystyle \frac{3}{2}x+\frac{5}{3}y=7\) ;     9x – 10y = 14
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{3}{{2\times 9}}=\frac{1}{6},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{5}{{-3\times 10}}=\frac{1}{{-6}}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म संगत है।

(iv) 5𝑥 – 3𝑦 = 11 ;     – 10𝑥 + 6𝑦 = – 22
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{5}{{-10}}=\frac{{-1}}{2},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-3}}{6}=\frac{{-1}}{2},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{11}}{{-22}}=\frac{{-1}}{2}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म संगत है।

(v) \(\displaystyle \frac{4}{3}x+2y=8\) ;     2𝑥 + 3𝑦 = 12
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{4}{{3\times 2}}=\frac{2}{3},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{2}{3},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{8}{{12}}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म संगत है।

4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफ़िय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) 𝑥 + 𝑦 = 5, 2𝑥 + 2𝑦 = 10
(ii) 𝑥 – 𝑦 = 8, 3𝑥 – 3𝑦 = 16
(iii) 2𝑥 + 𝑦 – 6 = 0, 4𝑥 – 2𝑦 – 4 = 0
(iv) 2𝑥 -2𝑦 – 2 = 0, 4𝑥 – 4𝑦 – 5 = 0

हल : (i) 𝑥 + 𝑦 = 5,          2𝑥 + 2𝑦 = 10
𝑥 + 𝑦 = 5 ………………….. (i)
2𝑥 + 2𝑦 = 10 …………….. (ii)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{5}{{10}}=\frac{1}{2}\)
अतः \(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म संगत है।
समीकरण (i) से,
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 = 5 – 𝑦

𝑋 4 2 3
𝑌 1 3 2

समीकरण (ii) से,
2𝑥 + 2𝑦 = 10
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 = 5 – 𝑦

𝑋 4 2 3
𝑌 1 3 2

Math Class 10 Chapter 3.2 Q. 4 (i)

(ii) 𝑥 – 𝑦 = 8,          2𝑥 + 2𝑦 = 10
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{1}{3},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-1}}{{-3}}=\frac{1}{3},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{8}{{16}}=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म असंगत है।

(iii) 2𝑥 + 𝑦 – 6 = 0,          4𝑥 – 2𝑦 – 4 = 0
2𝑥 + 𝑦 – 6 = 0 ………………. (i)
4𝑥 – 2𝑦 – 4 = 0 …………….. (ii)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{1}{{-2}},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{-6}}{{-4}}=\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म संगत है।
समीकरण (i) से,
2𝑥 + 𝑦 = 6
𝑦 = 6 – 2𝑥

𝑋 0 1 2
𝑌 6 4 2

समीकरण (ii) से,
4𝑥 – 2𝑦 = 4
2𝑥 – 𝑦 = 2
𝑦 = 2𝑥 – 2

𝑋 1 2 3
𝑌 0 2 4

Math Class 10 Chapter 3.2 Q. 4 (iii)(iv) 2𝑥 – 2𝑦 – 2 = 0,          4𝑥 – 4𝑦 – 5 = 0
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-2}}{{-4}}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{-2}}{{-5}}=\frac{2}{5}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरणों के युग्म असंगत है।

5. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि बाग की चौड़ाई = 𝑥 m है,
तथा बाग़ की लम्बाई = 𝑦 m
अतः प्रश्नानुसार –
𝑦 = 𝑥 + 4 ……………….. (i)
बाग का परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई)
बाग़ का अर्धपरिमाप = \(\displaystyle \frac{1}{2}\) [2 × (लम्बाई + चौड़ाई)]
अतः 𝑥 + 𝑦 = 36 …………………. (ii)
ग्राफीय हल के लिए –
समीकरण (i) से,
𝑦 = 𝑥 + 4

𝑋 0 8 12
𝑌 4 12 16

समीकरण (ii) से,
𝑥 + 𝑦 = 36
𝑥 = 36 – 𝑦

𝑋 0 26 16
𝑌 36 10 20

Math Class 10 Chapter 3.2 Q. 5 (iv)6. एक रैखिक समीकरण 2𝑥 + 3𝑦 – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामिति निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।          (ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
हल : (i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
अर्थात \(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\) ∴ प्रतिच्छेद रेखा की समीकरण = 2𝑥 + 4𝑦 – 12 = 0

(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
अर्थात \(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\) ∴ समान्तर रेखा की समीकरण = 2𝑥 + 3𝑦 – 12 = 0

(iii) संपाती रेखाएँ हों।
अर्थात \(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\) ∴ संपाती रेखा की समीकरण = 4𝑥 + 6𝑦 – 16 = 0

7. समीकरणों 𝑥 – 𝑦 + 1 = 0 और 3𝑥 + 2𝑦 – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। 𝑥 – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल : 𝑥 – 𝑦 + 1 = 0
𝑥 – 𝑦 = – 1
𝑥 = 𝑦 – 1

𝑋 -1 0 1
𝑌 0 1 2

3𝑥 + 2𝑦 – 12 = 0
3𝑥 + 2𝑦 = 12
3𝑥 = 12 – 2𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{12-2y}}{3}\)

𝑋 4 2 0
𝑌 0 3 6

Math Class 10 Chapter 3.2 Q. 6

NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 3.2 Pair of Linear Equations in Two Variables | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म class 10th maths

1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

(i) 𝑥 + 𝑦 = 14 (ii) 𝑠 – 𝑡 = 3
  𝑥 – 𝑦 = 4   \(\displaystyle \frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\)
(ii) 3𝑥 – 𝑦 = 3 (iv) 0.2𝑥 + 0.3𝑦 = 1.3
  9𝑥 – 3𝑦 = 9   0.4𝑥 + 0.5𝑦 = 2.3
(v) √2𝑥 + √3𝑦 = 0 (vi) \(\displaystyle \frac{{3x}}{2}-\frac{{5y}}{3}=-2\)
  √3𝑥 – √8𝑦 = 0   \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{{13}}{6}\)

हल :
1. 𝑥 + 𝑦 = 14 ………………. (i)
𝑥 – 𝑦 = 4 ……………………. (ii)
समीकरण (i) से,
𝑥 + 𝑦 = 14
𝑥 = 14 – 𝑦 …………………. (iii)
समीकरण (iii) से 𝑥 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
14 – 𝑦 – 𝑦 = 4
– 2𝑦 = 4 – 14     (पक्षान्तरण से)
– 2𝑦 = – 10
\(\displaystyle y=\frac{{-10}}{{-2}}\)
𝑦 = 5
𝑦 का मान समीकरण (i) में रखने पर –
𝑥 + 5 = 14 
𝑥 = 14 – 5     (पक्षान्तरण से)
𝑥 = 9 
अतः 𝑥 = 9 तथा 𝑦 = 5 रैखिक समीकरण के हल है।

2. 𝑠 – 𝑡 = 3 ………………………… (i)
\(\displaystyle \frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6\) …………………. (ii)
समीकरण (i) से,
𝑠 – 𝑡 = 3
𝑠 = 3 + 𝑡 …………………… (iii)
समीकरण (iii) से 𝑠 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{3+t}}{3}+\frac{t}{2}=6\\\frac{{2(3+t)+3t}}{6}=6\end{array}\)
2 (3 + 𝑡) + 3𝑡 = 6 × 6     (व्रज गुणा से)
6 + 2𝑡 + 3𝑡 = 36
5𝑡 = 36 – 6
5𝑡 = 30
\(\displaystyle t=\frac{{30}}{5}\)
𝑡 = 6
समीकरण (i) में 𝑡 का मान रखने पर –
𝑠 – 6 = 3
𝑠 = 3 + 6
𝑠 = 9
अतः 𝑡 = 6 और 𝑠 = 9 रैखिक समीकरण के हल है।

(iii) 3𝑥 – 𝑦 = 3 …………………… (i)
9𝑥 – 3𝑦 = 9 ……………………… (ii)
समीकरण (i) से, 
3𝑥 – 𝑦 = 3
3𝑥 = 3 – 𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{3-y}}{3}\) ……………….. (iii)
x का मान समीकरण (iii) से समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle 9\times \frac{{(3+y)}}{3}-3y=9\)
3 (3 + 𝑦) – 3𝑦 = 9
9 + 3𝑦 – 3𝑦 = 9
9 = 9
अतः रैखिक युग्म के अनंत हल है।

(iv) 0.2𝑥 + 0.3𝑦 = 1.3 ……………… (i)
0.4𝑦 + 0.5𝑦 = 2.3 ………………… (ii)
समीकरण (i) से, 
0.2𝑥 + 0.3𝑦 = 1.3
0.2𝑥 = 1.3 – 0.3𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{1.3-0.3y}}{2}\) ………….. (iii)
समीकरण (iii) से 𝑥 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle 0.4\times \frac{{(1.3-0.3y)}}{{0.2}}+0.5y=2.3\)
2.6 – 0.6𝑦 + 0.5𝑦 = 2.3
– 0.6𝑦 + 0.5𝑦 = 2.3 – 2.6     (पक्षान्तरण से)
– 0.1𝑦 = – 0.3
\(\displaystyle y=\frac{{-0.3}}{{-0.1}}\)
𝑦 = 3
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
0.4𝑥 + 0.5 × 3 = 2.3
0.4𝑥 + 1.5 = 2.3
0.4𝑥 = 2.3 – 1.5     (पक्षान्तरण से)
0.4𝑥 = 0.8
\(\displaystyle x=\frac{{0.8}}{{0.4}}\)
𝑥 = 2
अतः 𝑥 = 2 तथा 𝑦 = 3 रैखिक समीकरण के हल है।

(v) √2𝑥 + √3𝑦 = 0 ………………. (i)
√3𝑥 – √8𝑦 = 0 ………………… (ii)
समीकरण (i) से,
√2𝑥 + √3𝑦 = 0
√2𝑥 = – √3𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{-\sqrt{3}y}}{{\sqrt{2}}}\)
𝑥 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{3}\times \frac{{-\sqrt{3}y}}{{\sqrt{2}}}+\sqrt{3}y=0\\\frac{{-3y}}{{\sqrt{2}}}+\sqrt{3}y=0\\\frac{{-3y+\sqrt{6}y}}{{\sqrt{2}}}=0\end{array}\)
– 3𝑦 + √6𝑦 = 0 × √2
– 3𝑦 + 2.45𝑦 = 0
– 0.55𝑦 = 0
𝑦 = 0
𝑦 का मान समीकरण (i) में रखने पर –
√3𝑥 – √8 × 0 = 0
√3𝑥 – 0 = 0
𝑥 = 0
अतः 𝑥 = 0 तथा 𝑦 = 0 रैखिक समीकरण के हल है।

(vi) \(\displaystyle \frac{{3x}}{2}-\frac{{5y}}{3}=-2\) ……………………. (i)
\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{{13}}{6}\) ………………….. (ii)
समीकरण (i) से, 
\(\displaystyle \frac{{3x}}{2}-\frac{{5y}}{3}=-2\)
\(\displaystyle \frac{{9x-10y}}{6}=-2\)
9𝑥 – 10𝑦 = – 12
– 10𝑦 = – 12 – 9𝑥
\(\displaystyle y=\frac{{12+9x}}{{10}}\)
\(\displaystyle y=\frac{{12-9x}}{{-10}}\)
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{1}{2}\times \left( {\frac{{12+9x}}{{10}}} \right)=\frac{{13}}{6}\\\frac{x}{3}+\frac{{12+9x}}{{20}}=\frac{{13}}{6}\\\frac{{20x+36+27x}}{{10}}=13\end{array}\)
47𝑥 = 130 – 36
47𝑥 = 94
\(\displaystyle x=\frac{{94}}{{47}}\)
𝑥 = 2
𝑥 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{y}{2}=\frac{{13}}{6}\)
\(\displaystyle \frac{{4+3y}}{6}=\frac{{13}}{6}\)
6 (4 + 3𝑦) = 13 × 6
24 + 18𝑦 = 78
18𝑦 = 78 – 27
\(\displaystyle y=\frac{{54}}{{18}}\)
𝑦 = 3
अतः 𝑥 = 2 तथा 𝑦 = 3 रैखिक समीकरण के हल है।

2. 2𝑥 + 3𝑦 = 11 और 2𝑥 – 4𝑦 = – 24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए 𝑦 = m𝑥 + 3 हो।
हल : 2𝑥 + 3𝑦 = 11 ……………….. (i)
2𝑥 – 4𝑦 = – 24 ………………. (ii)
समीकरण (i) से, 
2𝑥 + 3𝑦 = 11
2𝑥 = 11 – 3𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{11-3y}}{2}\) …………….. (iii)
समीकरण (iii) से समीकरण (ii) में x का मान रखने पर –
\(\displaystyle 2\times \frac{{11-3y}}{2}-4y=-24\)
11 – 3𝑦 – 4𝑦 = – 24
– 7𝑦 = – 24 – 11
– 7𝑦 = – 35
\(\displaystyle y=\frac{{-35}}{{-7}}\)
𝑦 = 5
𝑦 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
2𝑥 – 4 × 5 = – 24
2𝑥 – 20 = – 24
2𝑥 = -24 + 20
2𝑥 = – 4
𝑥 = – 2
अतः 𝑥 = – 2 तथा 𝑦 = 5 रैखिक समीकरण के हल है।

3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है ? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ? 
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\displaystyle \frac{9}{{11}}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\displaystyle \frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है ?

हल : (i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
मानाकि पहली संख्या = 𝑥
तथा दूसरी संख्या = 𝑦
प्रश्नानुसार –
𝑥 – 𝑦 = 26 ……………… (i)
𝑥 = 3𝑦 ……………. (ii)
समीकरण (ii) से 𝑥 का मान समीकरण (i) में रखने पर –
3𝑦 – 𝑦 = 26
2𝑦 = 26
𝑦 = 26/2
𝑦 = 13
𝑦 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
𝑥 = 3 × 13
𝑥 = 39
अतः पहली संख्या 39 और दूसरी संख्या 13 है।

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
मानाकि पहला संपूरक कोण = 𝑥
तथा दूसरा संपूरक कोण = 𝑦
प्रश्नानुसार –
𝑥 = 𝑦 + 18 …………….. (i)
𝑥 + 𝑦 = 180 …………… (ii) (संपूरक कोणों का योग = 180°)
समीकरण (i) से 𝑥 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
𝑦 + 18 + 𝑦 = 180
2𝑦 = 180 – 18
2𝑦 = 162
𝑦 = 162 ÷ 2
𝑦 = 81
𝑦 का मान समीकरण (i) में रखने पर – 
𝑥 = 81 + 18
𝑥 = 99
अतः संपूरक कोण युग्म का बड़ा कोण 99 तथा छोटा कोण 81 है।

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
मानाकि एक बल्ले का मूल्य = ₹ 𝑥
तथा एक गेंद का मूल्य = ₹ 𝑦
प्रश्नानुसार –
7𝑥 + 6𝑦 = 3800 ………………… (i)
3𝑥 + 5𝑦 = 1750 ………………… (ii)
समीकरण (i) से,
7𝑥 + 6𝑦 = 3800
7𝑥 = 3800 – 6𝑦
\(\displaystyle x=\frac{{3800-6y}}{7}\)
समीकरण (ii) में 𝑥 का मान रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}3\times \frac{{3800-6y}}{7}+5y=1750\\\frac{{11400-18y}}{7}+5y=1750\\\frac{{11400-18y+35y}}{7}=1750\end{array}\)
11400 – 17𝑦 = 12250
17𝑦 = 12250 – 11400
17𝑦 = 850
𝑦 = 850 / 17
𝑦 = 50
𝑦 का मान समीकरण (i) में रखने पर –
7𝑥 + 6 × 50 = 3800
7𝑥 + 300 = 3800
7𝑥 = 3800 – 300
7𝑥 = 3500
\(\displaystyle x=\frac{{3500}}{7}\)
𝑥 = 500
अतः एक बल्ले का मूल्य = ₹ 500
तथा एक गेंद का मूल्य = ₹ 50

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है ? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ? 
मानाकि की नियत भाड़ा = रु 𝑥
तथा अतिरिक्त भाड़ा = रु 𝑦
प्रश्नानुसार –
𝑥 + 10𝑦 = 105 ………………… (i)
𝑥 + 15𝑦 = 155 ……………….. (ii)
समीकरण (i) से,
𝑥 + 10𝑦 = 105
𝑥 = 105 – 10𝑦 ………………. (iii)
समीकरण (iii) से 𝑥 का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
105 – 10𝑦 + 15𝑦 = 155
5𝑦 = 155 – 105
5𝑦 = 50
𝑦 = 50 / 5
𝑦 = 10
𝑦 का मान समीकरण (i) में रखने पर –
𝑥 + 10 × 10 = 105
𝑥 + 100 = 105
𝑥 = 105 – 100
𝑥 = 5
अतः टैक्सी का नियत किराया  ₹ 5 तथा अतरिक्त किराया ₹ 10 है।

(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\displaystyle \frac{9}{{11}}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\displaystyle \frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
मानाकि भिन्न का अंश = 𝑥
तथा भिन्न का हर = 𝑦
प्रश्नानुसार –
\(\displaystyle \frac{{x+2}}{{y+2}}=\frac{9}{{11}}\) ……………. (i)
\(\displaystyle \frac{{x+3}}{{y+3}}=\frac{5}{6}\) ………………. (ii)
समीकरण (i) से,
\(\displaystyle \frac{{x+2}}{{y+2}}=\frac{9}{{11}}\)
11 (𝑥 + 2) = 9 (𝑦 + 2)
11𝑥 + 22 = 9𝑦 + 18
11𝑥 = 9𝑦 + 18 – 22
11𝑥 = 9𝑦 – 4
\(\displaystyle x=\frac{{9y-4}}{{11}}\) ……………. (iii)
समीकरण (ii) से,
\(\displaystyle \frac{{x+3}}{{y+3}}=\frac{5}{6}\)
6𝑥 + 18 = 5𝑦 + 15
6𝑥 = 5𝑦 + 15 – 18
6𝑥 = 5𝑦 – 3 …………….. (iv)
समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (iv) में रखने पर –
\(\displaystyle 6\left( {\frac{{9y-4}}{{11}}} \right)-5y=-3\)
54𝑦 – 24 – 55𝑦 = – 33
– 𝑦 = – 33 + 24
– 𝑦 = – 9
𝑦 = 9
y का मान समीकरण (iv) में रखने पर –
6𝑥 = 5 × 9 – 3
6𝑥 = 45 – 3
6𝑥 = 42
𝑥 = 42 / 6
𝑥 = 7
अतः वह भिन्न \(\displaystyle \frac{7}{9}\) है।

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है ?
मानाकि जैकब की वर्तमान आयु = 𝑥 वर्ष
तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 𝑦 वर्ष
प्रश्नानुसार –
𝑥 + 5 = 3 (𝑦 + 5)
𝑥 + 5 = 3𝑦 + 15
𝑥 – 3𝑦 = 15 – 5
𝑥 – 3𝑦 = 10 ……………… (i)
𝑥 – 5 = 7 (𝑦 – 5)
𝑥 – 5 = 7𝑦 – 35
𝑥 – 7𝑦 = – 35 + 5
𝑥 – 7𝑦 = – 30 ……………… (ii)
समीकरण (i) से,
𝑥 = 10 + 3𝑦 …………………. (iii)
समीकरण (iii) से समीकरण (ii) में x का मान रखने पर –
10 + 3𝑦 – 7𝑦 = – 30
– 4𝑦 = – 30 – 10
– 4𝑦 = – 40
𝑦 = – 40 / – 4
𝑦 = 10
𝑦 का मान समीकरण (i) में रखने पर –
𝑥 – 3 × 10 = 10
𝑥 – 30 = 10
𝑥 = 10 + 30
𝑥 = 40
अतः जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है।

NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 3.4 Pair of Linear Equations in Two Variables | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म class 10th maths

1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है ?

(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4 (ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7 (iv) \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{{2y}}{3}=-1\) और \(\displaystyle x-\frac{y}{3}=3\)

हल – (i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
विलोपन विधि :
x + y = 5 …………………… (i)
2x – 3y = 4 ………………… (ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर –
2x + 2y = 10 ………………. (iii)
समीकरण (ii) में से (iii) को घटाने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,2x-3y=4\\\,\,\,\,2x+2y=10\\-\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,-\\\overline{{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-5y=-6}}\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}-5y=-6\\y=\frac{{-6}}{{-5}}\\y=\frac{6}{5}\end{array}\)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}x+\frac{6}{5}=5\\x=5-\frac{6}{5}\\x=\frac{{25-6}}{5}\\x=\frac{{19}}{5}\end{array}\)
अतः \(\displaystyle x=\frac{{19}}{5}\) तथा \(\displaystyle y=\frac{{6}}{5}\)

प्रतिस्थापन विधि :
x + y = 5 …………………… (i)
2x – 3y = 4 ………………… (ii)
समीकरण (i) से,
x = 5 – y …………………….(iii)
समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
2 × (5 – y) – 3y = 4
10 – 2y – 3y = 4
– 2y – 3y = 4 – 10     (पक्षान्तरण से)
– 5y = – 6 
\(\displaystyle y=\frac{{6}}{5}\)
y  का मान समीकरण (i) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}x+\frac{6}{5}=5\\x=5-\frac{6}{5}\\x=\frac{{25-6}}{5}\\x=\frac{{19}}{5}\end{array}\)
अतः \(\displaystyle x=\frac{{19}}{5}\) तथा \(\displaystyle y=\frac{{6}}{5}\)
दोनों विधियों से हल करने के बाद हमें ज्ञात हुआ कि प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है।

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
विलोपन विधि :
3x + 4y = 10 …………………… (i)
2x – 2y = 2 ……………………… (ii)
समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर –
4x – 4y = 4 ………………….. (iii)
समीकरण (iii) व समीकरण (i) को जोड़ने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,4x-4y=4\\\,\,\,\,3x+4y=10\\\overline{{\,\,\,\,7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,=14}}\end{array}\)
7x = 14
\(\displaystyle x=\frac{{14}}{7}\)
x  = 2
x का मान समीकरण (i) में रखने पर – 
3 × 2 + 4y = 10
6 + 4y = 10
4y = 10 – 6     (पक्षान्तरण से)
4y = 4
y = 1 
अतः x = 2 तथा y = 1 समीकरण के हल है।

प्रतिस्थापन विधि :
3x + 4y = 10 …………………… (i)
2x – 2y = 2 ……………………… (ii)
समीकरण (ii) से –
2x – 2y = 2
2x = 2 + 2y
\(\displaystyle x=\frac{{2+2y}}{2}\) ………… (iii)
समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (i) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}3\times \left( {\frac{{2+2y}}{2}} \right)+4y=10\\\frac{{6+6y}}{2}+4y=10\\\frac{{6+6y+8y}}{2}=10\\\frac{{6+14y}}{2}=10\end{array}\)
6 + 14y = 20     (वज्र गुणा से)
14y = 20 – 6     (पक्षान्तरण से)
14y = 14
y = 1
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
2x – 2 × 1 =2
2x – 2 = 2
2x = 2 + 2     (पक्षान्तरण से)
2x = 4
x = 4/2
x = 2
अतः x = 2 तथा y = 1 समीकरण के हल है।
दोनों विधियों से हल करने के बाद हमें ज्ञात हुआ कि प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है।

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
विलोपन विधि :
3x – 5y – 4 = 0
3x – 5y = 4 ………………. (i)
9x = 2y + 7
9x – 2y = 7 ……………… (ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर –
9x – 15y = 12 …………… (iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) को घटाने पर – 
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,9x-15y=12\\\,\,\,\,9x-2y=7\\-\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\\\overline{{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-13y=5}}\end{array}\)
\(\displaystyle y=\frac{{-5}}{{13}}\)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}3x-5\left( {\frac{{-5}}{{13}}} \right)=4\\3x+\frac{{25}}{{13}}=4\end{array}\)
\(\displaystyle 3x=4-\frac{{25}}{{13}}\)     (पक्षान्तरण से)
\(\displaystyle \begin{array}{l}3x=\frac{{52-25}}{{13}}\\3x=\frac{{27}}{{13}}\\x=\frac{{27}}{{13\times 3}}\\x=\frac{9}{{13}}\end{array}\)
अतः \(\displaystyle x=\frac{9}{{13}}\) तथा \(\displaystyle y=\frac{-5}{{13}}\) समीकरण के हल है।

प्रतिस्थापन विधि :
3x – 5y – 4 = 0 …………….. (i)
9x = 2y + 7 ………………..(ii)
समीकरण (i) से,
3x – 5y = 4
3x = 4 + 5y
\(\displaystyle x=\frac{{4+5y}}{3}\) …………… (iii)
समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}9\times \left( {\frac{{4+5y}}{3}} \right)-2y=7\\\frac{{36+45y}}{3}-2y=7\\\frac{{36+45y-6y}}{3}=7\end{array}\)
36 + 39y = 7 × 3     (वज्र गुणा से)
39y = 21 – 36     (पक्षान्तरण से)
39y = – 15
\(\displaystyle \begin{array}{l}y=\frac{{-15}}{{39}}\\y=\frac{{-5}}{{13}}\end{array}\) 
y का मान समीकरण (i) में रखने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}3x-5\times \left( {\frac{{-5}}{{13}}} \right)=4\\3x+\frac{{25}}{{13}}=4\\3x=4-\frac{{25}}{{13}}\\3x=\frac{{52-25}}{{13}}\\x=\frac{{27}}{{13\times 3}}\\x=\frac{9}{{13}}\end{array}\)
अतः \(\displaystyle x=\frac{9}{{13}}\) तथा \(\displaystyle y=\frac{-5}{{13}}\) समीकरण के हल है।
दोनों विधियों से हल करने के बाद हमें ज्ञात हुआ कि प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है।

(iv) \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{{2y}}{3}=-1\) और \(\displaystyle x-\frac{y}{3}=3\)
विलोपन विधि :
\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{{2y}}{3}=-1\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{{2y}}{3}=-1\\\frac{{3x+4y}}{6}=-1\end{array}\)
3x + 4y = – 6 …………….. (i)
\(\displaystyle \frac{{3x-y}}{3}=3\)
3x – y = 9 ……………….. (ii)
समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर –
12x – 4y = 36 …………. (iii)
समीकरण (iii) व समीकरण (i) को जोड़ने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,3x+4y=-6\\\,\,12x-4y=36\\\overline{{\,\,15x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=30}}\end{array}\)
x = 30/15
x = 2
x का मान समीकरण (i) में रखने पर –
3x – y = 9
3 × 2 – y = 9
6 – y = 9
– y = 9 – 6
– y = 3
y = – 3
अतः समीकरण के हल x = 2 तथा y = – 3 है।

प्रतिस्थापन विधि :
\(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{{2y}}{3}=-1\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{{2y}}{3}=-1\\\frac{{3x+4y}}{6}=-1\end{array}\)
3x + 4y = – 6 …………….. (i)
\(\displaystyle \frac{{3x-y}}{3}=3\)
3x – y = 9 ……………….. (ii)
समीकरण (ii) से,
– y = 9 – 3x
y = 3x – 9 ……………… (iii)
समीकरण (iii) से y का मान समीकरण (i) में रखने पर –
3x + 4 × (3x – 9) = – 6
3x + 12x – 36 = – 6
15x = – 6 + 36     (पक्षान्तरण से)
15x = 30
x = 30/15
x = 2
x  का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
3 × 2 – y = 9
6 – y = 9
– y = 9 – 6
– y = 3
y = – 3
अतः समीकरण के हल x = 2 तथा y = – 3 है।
दोनों विधियों से हल करने के बाद हमें ज्ञात हुआ कि प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है।

2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह संख्या क्या है ?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है।
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ru 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से रु 50 तथा रु 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने रु 50 और रु 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए। 
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक पुस्तक रखने के लिए रु 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के रु 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल : 
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह संख्या क्या है ?
मानाकि भिन्न का अंश = x
तथा भिन्न का हर = y
प्रश्नानुसार –
स्थिति (I) 
\(\displaystyle \frac{{x+1}}{{y-1}}=1\)
x + 1 = y – 1     (वज्र गुणा से)
x – y = – 1 – 1
x – y = – 2 ………….. (i)
स्थिति (II)
\(\displaystyle \frac{x}{{y+1}}=\frac{1}{2}\)
2x = y + 1    (वज्र गुणा से)
2x – y = 1 ……………… (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,2x-y=1\\\,\,\,\,\,\,x-y=-2\\\,\,-\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,+\\\overline{{\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3}}\end{array}\)
x = 3
x का मान समीकरण (i) में रखने पर –
2 × 3 – y = 1
6 – y = 1
– y = 1 – 6
– y = – 5
y = 5
अतः भिन्न का अंश x = 3 तथा भिन्न का हर y = 5 होगा। 
और वह भिन्न \(\displaystyle \frac{3}{5}\) होगी।

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है।
मानाकि नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष 
तथा सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष 
5 वर्ष पूर्व –
नूरी की आयु = x – 5
तथा सोनू की आयु = y – 5
प्रश्नानुसार –
x – 5 = 3 × (y – 5)
x – 5 = 3y – 15
x – 3y = – 15 + 5
x – 3y = – 10 ……………… (i)
10 वर्ष पश्चात् –
नूरी की आयु = x + 10
तथा सोनू की आयु = y + 10
प्रश्नानुसार –
x + 10 = 2 × (y + 10)
x + 10 = 2y + 20
x – 2y = 20 – 10
x – 2y = 10 ……………… (ii)
समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर,
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,x-3y=-10\\\,\,\,\,x-2y=10\\-\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\\\overline{{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-y=-20}}\end{array}\)
y = 20
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
x – 2 × 20 = 10

x – 40 = 10
x = 10 + 40     (पक्षान्तरण से) 
x = 50
अतः नूरी की वर्तमान आयु x = 20 वर्ष
तथा सोनू की वर्तमान आयु y = 50 वर्ष है।

(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
मानाकि इकाई का अंक = x
तथा दहाई का अंक = y
अंकों का योग = x + y = 9 ………….. (i)
अतः संख्या = 10y + x
अंक पलटने पर –
इकाई का अंक = y
तथा दहाई का अंक = x
तो संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार –
9 × (10y + x) = 2 × (10x + y)
90y + 9x = 20x + 2y
9x – 20x = 2y – 90y
– 11x = – 88y
11x = 88y
x = 8y
x – 8y = 0 …………… (ii)     (दोनों पक्षों में 11 का भाग देने पर)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,x+y=9\\\,\,\,\,x-8y=0\\-\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,-\\\overline{{\,\,\,\,\,\,\,\,\,9y=9}}\end{array}\)
9y = 9
y = 9/9
y = 1
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
x – 8 × 1 = 0
x – 8 = 0
x = 8
अतः संख्या का इकाई का अंक x = 8
तथा दहाई का अंक y = 1 होगा।

(iv) मीना ru 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से रु 50 तथा रु 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने रु 50 और रु 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए। 
मानाकि रु 50 के नोटों की संख्या = x
तथा रु 100 के नोटों की संख्या = y
प्रश्नानुसार –
x + y = 25 ………….. (i)
रु 50 के नोटों का मूल्य = x × 50 = 50x
रु 100 के नोटों का मूल्य = y × 100 = 100y
प्रश्नानुसार –
50x + 100y = 2000
x + 2y = 40 …………. (ii) (दोनों पक्षों में 50 का भाग देने पर)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,x+y=25\\\,\,\,\,x+2y=40\\-\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,-\\\overline{{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-y=-15}}\end{array}\)
y = 15
y का मान समीकरण (i) में रखने पर –
x + 15 = 25
x = 25 – 15
x = 10
अतः कुल नोटों में रु 50 के नोटों की संख्या x = 15
तथा रु 100 के नोटों की संख्या y = 10

(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक पुस्तक रखने के लिए रु 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के रु 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
मानाकि पुस्तक का नियत किराया = रु x
तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = रु y
प्रश्नानुसार –
सात दिनों का पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिनों का नियत किराया + अतिरिक्त 4 दिनों का किराया
x + 4y = 27 ……………. (i)
पाँच दिनों का पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिनों का नियत किराया + अतिरिक्त 2 दिनों का किराया 
x + 2y = 21 …………… (ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,x+4y=27\\\,\,\,\,x+2y=21\\-\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,-\\\overline{{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2y=6}}\end{array}\)
2y = 6
y = 6/2
y = 3 
y का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
x + 2 × 3 = 21
x + 6 = 21
x = 21 – 6     (पक्षान्तरण से)
x = 15
अतः पुस्तक का नियत किराया x = रु 15
तथा पुस्तक का अतिरिक्त किराया y = रु 3

NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 3.5 Pair of Linear Equations in Two Variables | दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म class 10th maths

1. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।

(i) x – 3y – 3 = 0
   3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
      3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
       6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
      3x – 3y – 15 = 0

हल : 
(i) x – 3y – 3 = 0
   3x – 9y – 2 = 0
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{1}{3},\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-3}}{{-9}}=\frac{1}{3},\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{-3}}{{-2}}=\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म के कोई हल नहीं हैं।

(ii) 2x + y = 5
      3x + 2y = 8
उपरोक्त दोनों समीकरणों से,
2x + y – 5 = 0
3x + 2y – 8 = 0
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{2}{3},\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{1}{2},\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{-5}}{{-8}}=\frac{5}{8}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है। 
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ 1 & {} & {-5} & {} & 2 & {} & 1 \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ 2 & {} & {-8} & {} & 3 & {} & 2 \end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{1(-8)-2(-5)}}=\frac{y}{{-5\times 3-(-8)\times 2}}=\frac{1}{{2\times 2-3\times 1}}\\\frac{x}{{-8+10}}=\frac{y}{{-15+16}}=\frac{1}{{4-3}}\\\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\end{array}\)
अतः 
\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{1}{1}\)
x = 2
\(\displaystyle \frac{y}{1}=\frac{1}{1}\)
y = 1

(iii) 3x – 5y = 20
       6x – 10y = 40
उपरोक्त दोनों समीकरणों से –
3x – 5y – 20 = 0
6x – 10y – 40 = 0
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-5}}{{-10}}=\frac{1}{2},\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{-20}}{{-40}}=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म के अनेक हल है।

(iv) x – 3y – 7 = 0
      3x – 3y – 15 = 0
उपरोक्त दोनों समीकरणों से –
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{1}{3},\,\,\,\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{-3}}{{-3}}=\frac{1}{1},\,\,\,\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}=\frac{{-7}}{{-15}}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}\ne \frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
अतः समीकरण युग्म के अद्वितीय हल हैं।
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ {-3} & {} & {-7} & {} & 1 & {} & {-3} \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ {-3} & {} & {-15} & {} & 3 & {} & {-3} \end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{-3\times (-15)-(-3)\times (-7)}}=\frac{y}{{-7\times 3-(-15)\times 1}}=\frac{1}{{1\times (-3)-3\times (-3)}}\\\frac{x}{{45-21}}=\frac{y}{{-21+15}}=\frac{1}{{-3+9}}\\\frac{x}{{24}}=\frac{y}{{-6}}=\frac{1}{6}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{{24}}=\frac{1}{6}\)
6x = 24
\(\displaystyle x=\frac{{24}}{6}\)
x = 4
\(\displaystyle \frac{y}{{-6}}=\frac{1}{6}\)
6y = – 6
\(\displaystyle y=\frac{{-6}}{6}\)
y = -1
अतः x = 4 तथा y = – 1 समीकरण युग्म के हल हैं।

2. (i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे ?
2x + 3y = 7
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं हैं ?
3x + y = 1
(2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
हल :  
(i) 2x + 3y = 7
2x + 3y − 7 = 0 ……. (i)
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
(a − b)x + (a + b)y − (3a + b − 2) = 0 ……. (ii)
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित हल होंगे यदि –
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}=\frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2}{{a-b}}=\frac{3}{{a+b}}=\frac{{-7}}{{-(3a+b-2)}}\\\frac{2}{{a-b}}=\frac{3}{{a+b}}=\frac{7}{{3a+b-2}}\end{array}\)

\(\displaystyle \frac{2}{{a-b}}=\frac{3}{{a+b}}\) से,
2(a + b) = 3(a − b)
2a + 2b = 3a − 3b
2a − 3a = − 3b − 2b
− a = − 5b
a = 5b …….. (i)
इसी प्रकार \(\displaystyle \frac{2}{{a-b}}=\frac{7}{{3a+b-2}}\) से,
2 × (3a + b − 2) = 7 × (a − b)
6a + 2b − 4 = 7a − 7b
6a − 7a = − 7b − 2b + 4
− a = − 9b + 4     (दोनों पदों को – से गुणा करने पर)
a = 9b − 4 ………. (ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) से,
5b = 9b − 4
5b − 9b = − 4
− 4b = − 4
b = 4/4
b = 1
b का मान समीकरण (ii) में रखने पर-
a = 9 × 1 − 4
a = 9 − 4
a = 5
अतः समीकरण युग्म में a = 5
तथा b = 1 होंगे।

(ii) 3x + y = 1
3x + y − 1 = 0 ………….. (i)
(2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
(2k − 1)x + (k − 1)y − (2k + 1) = 0 …………… (ii)
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के कोई हल होंगे यदि –
\(\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}\ne \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}}}\)

\(\displaystyle \frac{3}{{2k-1}}=\frac{1}{{k-1}}\ne \frac{1}{{2k+1}}\)
\(\displaystyle \frac{3}{{2k-1}}=\frac{1}{{k-1}}\) से,
3k − 3 = 2k − 1
3k − 2k = 3 − 1
k = 2
और \(\displaystyle \frac{1}{{k-1}}\ne \frac{1}{{2k+1}}\) से,
2k + 1 ≠ k − 1
2k − k ≠ − 1 − 1
k ≠ − 2
अतः k = 2 के लिए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।

3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र-गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल : प्रतिस्थापन विधि –
8x + 5y = 9 ……………… (i)
3x + 2y = 4 …………….. (ii)
समीकरण (i) से,
8x + 5y = 9
8x = 9 − 5y
\(\displaystyle x=\frac{{9-5y}}{8}\) …………….. (iii)
समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर –
\(\displaystyle 3\times \left( {\frac{{9-5y}}{8}} \right)+2y=4\)27 – 15y = 8 × (9 – 5y)

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{{27-15y}}{8}+2y=4\\\frac{{27-15y+16y}}{8}=4\end{array}\)
27 − 15y + 16y = 4 × 8    (वज्र गुणा से)
y = 32 − 27
y = 5
समीकरण (i) में y का मान रखने पर –
8x + 5 × 5 = 9
8x + 25 = 9
8x = 9 − 25
8x = − 16
x = − 16/8
x = − 2

वज्र-गुणन विधि से,
8x + 5y = 9
8x + 5y − 9 = 0 ……………… (i)
3x + 2y = 4
3x + 2y − 4 = 0 …………….. (ii)
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ 5 & {} & {-9} & {} & 8 & {} & 5 \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ 2 & {} & {-4} & {} & 3 & {} & 2 \end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{5\times (-4)-2\times (-9)}}=\frac{y}{{-9\times 3-(-4)\times 8}}=\frac{1}{{8\times 2-3\times 5}}\\\frac{x}{{-20+18}}=\frac{y}{{-27+32}}=\frac{1}{{16-15}}\\\frac{x}{{-2}}=\frac{y}{{5}}=\frac{1}{1}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{{-2}}=\frac{1}{1}\)
x = − 2
\(\displaystyle \frac{y}{5}=\frac{1}{1}\)
y = 5
दोनों विधियों से हल करने के बाद हम इस निष्कर्ष पर पहुँचे है कि वज्र-गुणन विधि इस समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है।

4.  निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है। रु 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए रु 180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल :  मानाकि कि मासिक व्यय का एक नियत भाग = रु x
तथा भोजन का मूल्य = रु y
प्रश्नानुसार –
20 दिन भोजन करने में व्यय = रु 1000
अतः x + 20y = 1000
x + 20y − 1000 = 0 ………………. (i)
इसी प्रकार, 26 दिन भोजन करने में व्यय = रु 1180
x + 26y = 1180
x + 26y − 1180 = 0 ……………….. (ii) 
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ {20} & {} & {-1000} & {} & 1 & {} & {20} \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ {26} & {} & {-1180} & {} & 1 & {} & {26} \end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{20(-1180)-26(-1000)}}=\frac{y}{{1(-1000)-1(-1180)}}=\frac{1}{{1\times 26-1\times 20}}\\\frac{x}{{-23600+26000}}=\frac{y}{{-1000+1180}}=\frac{1}{{26-20}}\\\frac{x}{{2400}}=\frac{y}{{180}}=\frac{1}{6}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{{2400}}=\frac{1}{6}\) से,
6x = 2400
\(\displaystyle x=\frac{{2400}}{6}\)
x = 400
\(\displaystyle \frac{y}{{180}}=\frac{1}{6}\) से,
6y = 180
\(\displaystyle y=\frac{{180}}{6}\)
y = 30
अतः नियत व्यय x = रु 400
तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य y = रु 30 है।

(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि अज्ञात भिन्न का अंश = x
तथा हर = y
अतः भिन्न \(\displaystyle \frac{x}{y}\) होगी।
प्रश्नानुसार – (स्थिति- I)
\(\displaystyle \frac{{x-1}}{y}=\frac{1}{3}\)
3 × (x − 1) = y     (वज्र गुणा से)
3x – 3 = y
3x − y − 3 = 0 ……………….. (i)
(स्थिति – II)
\(\displaystyle \frac{x}{{y+8}}=\frac{1}{4}\)
4 × x = y + 8
4x − y − 8 = 0 ……………………. (ii)
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ {-1} & {} & {-3} & {} & 3 & {} & {-1} \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ {-1} & {} & {-8} & {} & 4 & {} & {-1} \end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{-1\times (-8)-(-1)\times (-3)}}=\frac{y}{{-3\times 4-(-8)\times 3}}=\frac{1}{{3\times (-1)-4\times (-1)}}\\\frac{x}{{8-3}}=\frac{y}{{-12+24}}=\frac{1}{{-3+4}}\\\frac{x}{5}=\frac{y}{{12}}=\frac{1}{1}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{5}=\frac{1}{1}\) से,
x = 5
\(\displaystyle \frac{y}{{12}}=\frac{1}{1}\)
y = 12
अतः भिन्न का अंश x = 5
तथा हर y = 12 है।
तो वह भिन्न \(\displaystyle \frac{5}{{12}}\) होगी।

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
हल :  मानाकि सही उत्तर की संख्या = x
तथा अशुद्ध उत्तर की संख्या = y
प्रश्नानुसार – 
स्थिति – I
3x − y = 40
3x − y − 40 = 0 ………………. (i)
स्थिति – II
4x − 2y = 50
4𝑥 − 2𝑦 − 50 = 0 ………………… (ii)
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ {-1} & {} & {-40} & {} & 3 & {} & {-1} \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ {-2} & {} & {-50} & {} & 4 & {} & {-2} \end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{-1\times (-50)-(-40)\times (-2)}}=\frac{y}{{-40\times 4-3\times (-50)}}=\frac{1}{{3\times (-2)-4\times (-1)}}\\\frac{x}{{50-80}}=\frac{y}{{-160+150}}=\frac{1}{{-6+4}}\\\frac{x}{{-30}}=\frac{y}{{-10}}=\frac{1}{{-2}}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{{-30}}=\frac{1}{{-2}}\) से,
− 2𝑥 = − 30
\(\displaystyle x=\frac{{30}}{2}\)
𝑥 = 15
\(\displaystyle \frac{y}{{-10}}=\frac{1}{{-2}}\) से,
− 2𝑦 = − 10
\(\displaystyle y=\frac{{10}}{2}\)
𝑦 = 5
सही प्रश्नों की संख्या 𝑥 = 15
तथा अशुद्ध प्रश्नों की संख्या 𝑦 = 5
कुल प्रश्नों की संख्या = 15 + 5 = 20

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं, यदि वे विपरीत दिशा में चलती हैं, तो एक घंटे के पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चल ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि A स्थान से चलने वाली कार की चाल = 𝑥 km/h
तथा B से चलने वाली कार की चाल = 𝑦 km/h
प्रश्नानुसार –
स्थिति – I एक ही दिशा में चलने पर 5 घंटे पश्चात् 
स्थान A से चली कार की दुरी = 5𝑥 km
तथा स्थान B से चली कार की दुरी = 5𝑦 km
अतः 5𝑥 − 5𝑦 = 100 
5𝑥 − 5𝑦 − 100 = 0
𝑥 − 𝑦 − 20 = 0 ……………. (i)
स्थिति – II विपरीत दिशा में चलने पर 1 घंटे पश्चात् 
स्थान A से चली कार की दुरी = 𝑥 km
तथा स्थान B से चली कार की दुरी = 𝑦 km
𝑦 + 𝑦 = 100
𝑥 + 𝑦 − 100 = 0  ………………… (ii)
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ {-1} & {} & {-20} & {} & 1 & {} & {-1} \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ 1 & {} & {-100} & {} & 1 & {} & 1 \end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{-1\times (-100)-1\times (-20)}}=\frac{y}{{-20\times 1-(-100)\times 1}}=\frac{1}{{1\times 1-1\times (-1)}}\\\frac{x}{{100+20}}=\frac{y}{{-20+100}}=\frac{1}{{1+1}}\\\frac{x}{{120}}=\frac{y}{{80}}=\frac{1}{2}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{{120}}=\frac{1}{2}\) से, 
2𝑥 = 120     (वज्र गुणा से)
\(\displaystyle x=\frac{{120}}{2}\)
𝑥 = 60
\(\displaystyle \frac{y}{{80}}=\frac{1}{2}\)
2𝑦 = 80
\(\displaystyle y=\frac{{80}}{2}\)
𝑦 = 40
अतः स्थान A से चलने वाली कार की चाल 𝑥 = 60 km/h
तथा स्थान B से चलने वाली कार की चाल 𝑦 = 40 km/h

(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि आयत की लंबाई = 𝑥 इकाई 
तथा आयत की चौड़ाई = 𝑦 इकाई 
अतः आयत का क्षेत्रफल = सी इकाई 
प्रश्नानुसार –
स्थिति – I
(𝑥 − 5) (𝑦 + 3) = 𝑥𝑦 − 9
𝑥𝑦 + 3𝑥 − 5𝑦 − 15 = 𝑥𝑦 − 9
𝑥𝑦 + 3𝑥 − 5𝑦 − 15 − 𝑥𝑦 + 9 = 0
3𝑥 − 5𝑦 − 6 = 0 ……………… (i)
स्थिति – II
(𝑥 + 3) (𝑦 + 2) = 𝑥𝑦 + 67
𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 𝑥𝑦 + 67
𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6 − 𝑥𝑦 − 67 = 0 
2𝑥 + 3𝑦 − 61 = 0 ………………… (ii)
वज्र-गुणन विधि से –
\(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {} & x & {} & y & {} & 1 & {} \\ {-5} & {} & {-6} & {} & 3 & {} & {-5} \\ {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} & {\mathrm X} & {} \\ 3 & {} & {-61} & {} & 2 & {} & 3 \end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{x}{{-5\times (-61)-3\times (-6)}}=\frac{y}{{-6\times 2-3\times (-61)}}=\frac{1}{{3\times 3-2\times (-5)}}\\\frac{x}{{305+18}}=\frac{y}{{-12+183}}=\frac{1}{{9+10}}\\\frac{x}{{323}}=\frac{y}{{171}}=\frac{1}{{19}}\end{array}\)
\(\displaystyle \frac{x}{{323}}=\frac{1}{{19}}\) से,
19x = 323
\(\displaystyle x=\frac{{323}}{{19}}\)
x = 17
\(\displaystyle \frac{y}{{171}}=\frac{1}{{19}}\) से,
19y = 171
\(\displaystyle y=\frac{{171}}{{19}}\)
𝑦 = 9
अतः आयत की लंबाई 𝑥 = 17 इकाई 
तथा आयत की चौड़ाई 𝑦 = 9 इकाई होगी।

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