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NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 Maths

ncert class 10 maths chapter 1
पाठ – 1
वास्तविक संख्याएँ Real Numbers
गणित

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 Maths Chapter – 1
Ex 1.1 ch1 class 10 maths
प्रश्नावली 1.1

1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225                    (ii) 196 और 38220                    (iii) 867 और 255
हल : (i) 135 और 225
चरण 1 : यहाँ 225 > 135 है। हम 225 और 135 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
225 = 135 × 1 + 90

चरण 2 : क्योंकि शेषफल 90 ≠ 0 है, इसलिए हम 135 और 90 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
135 = 90 × 1 + 45

चरण 3 : क्योंकि शेषफल 45 ≠ 0 है, इसलिए हम नए भाजक 90 और नए शेषफल 45 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
90 = 45 × 2 + 0
यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है। इसलिए प्रक्रिया यहाँ समाप्त हो जाती है। चूँकि इस स्थिति में भाजक 45 है, इसलिए 135 और 225 का HCF 45 है।

(ii) 196 और 38220
चरण 1 : यहाँ 38220 > 196 है। हम 38220 और 196 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
38220 = 196 × 195 + 0

यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है। इसलिए प्रक्रिया यहाँ समाप्त हो जाती है। चूँकि इस स्थिति में भाजक 196 है, इसलिए 196 और 38220 का HCF 196 है।

(iii) 867 और 255
चरण 1 : यहाँ 867 > 255 है। हम 867 और 255 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
867 = 255 × 3 + 102

चरण 2 : क्योंकि शेषफल 102 ≠ 0 है, इसलिए हम 255 और 102 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
255 = 102 × 2 + 51

चरण 3 : क्योंकि शेषफल 51 ≠ 0 है, इसलिए हम नए भाजक 102 और नए शेषफल 51 के लिए यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
102 = 51 × 2 + 0
यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है। इसलिए प्रक्रिया यहाँ समाप्त हो जाती है। चूँकि इस स्थिति में भाजक 51 है, इसलिए 867 और 255 का HCF 51 है।

2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6? + 1 या 6? + 3 या 6? + 5 के रूप का होता है, जहाँ ? कोई पूर्णांक है।
हल : मानाकि  धनात्मक पूर्णांक = ? है।
? और ? = 6 में विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हैं।
? = 6? + ?, यहाँ ? ≥ 0
चूँकि 0 ≤ ? ≤ 6 है, इसलिए संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं।
अर्थात ? = 6?, 6? + 1, 6? + 2, 6? + 3, 6? + 4, 6? + 5 के रूप का हो सकता है।
जहाँ ? भागफल है।
चूँकि ? एक विषम संख्या है, इसलिए यह 6?, 6? + 2, 6? + 4 के रूप का नहीं हो सकता (क्योंकि दोनों दो से विभाजित है)
इसलिए कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6? + 1, 6? + 3 या 6? + 5 के रूप का होगा।

3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को सामान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिससे वह मार्च कर सकते है ?
हल : सेना की टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 616
आर्मी बैंड के सदस्यों की संख्या = 32
स्तम्भों की अधिकतम संख्या के लिए हम 616 और 32 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते है :
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है। इसलिए प्रक्रिया यहाँ समाप्त हो जाती है। चूँकि इस स्थिति में भाजक 8 है, इसलिए 616 और 32 का HCF 8 है।
अतः स्तम्भों की अधिकतम संख्या 8 है।

4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक म के लिए 3? या 3? + 1 के रूप का होता है।
[संकेत : यह मान लीजिए ? कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3?, 3? + 1 या 3? + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3? या 3? + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]
हल : मानाकि धनात्मक पूर्णांक = ?
तथा ? = 3
यूक्लिड विभाजन प्रमेय से –
? = 3? + ?, ? ≥ 0
और ? = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≥ ? <3
अतः ? = 3? या 3? + 1 या 3? + 2
वर्ग लेने पर –
?² = (3?)², (3? + 1)², (3? + 2)²
= 9?², 9?² + 6? + 1, 9?² + 12? + 4
= 3 (3?²), 3 (3?² + 2?) + 1, 3 (3?² + 4?) + 4
= 3 (3?²), 3 (3?² + 2?) + 1, 3 (3?² + 4? + 1) + 1
= 3p₁, 3p₂ + 1, 3p₃ + 1
( चूँकि 3?²=p₁, 3?² + 2? = p₂ तथा 3?² + 4? + 1 = p₃)
जहाँ p₁, p₂ और p₃ धनात्मक पूर्णांक है।
अतः इनमें से प्रत्येक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।
हल : मानाकि कि धनत्मक पूर्णांक = a
और b = 3
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से –
a = 3? + r, ? ≥ 0
और 0 ≥ r < 3
अतः a = 3? या 3? + 1 या 3? + 2

जब a = 3? हो तो –
a³ = (3?)³ = 27?³ = 9m
जहाँ m = 3?³

जब a = 3? + 1 हो तो –
a³ = (3? + 1)^3
a3 = (3?)³ + 1³ + 3 × 3? × 1 (3? + 1)
= 27?³ + 1 + 27?² + 9?
= 9 (3?³ + 3?² + ?) + 1
= 9m + 1
जहाँ m = (3?³ + 3?² + ?)

जब a = 3? + 2 हो –
a³ = (3? + 2)³
a³ = (3?)³ + 2³ + 3 × 3? × 2 (3? + 2)
a³ = 27?³ + 8 + 54?² + 36?
a³ = (27?³ + 54?² + 36?) + 8
a³ = 9 (3?³ + 6?² + 4?) + 8
a³ = 9m + 8
जहाँ m = (3?³ + 6?² + 4?)
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 Maths
NCERT Class 10 maths chapter 1
Ex 1.2 ch1 class 10 maths
प्रश्नावली 1.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 140          (ii) 156          (iii) 3825          (iv) 5005          (v) 7429
हल : (i) 140
= 2 × 2 × 5 × 7
= 2² × 5 × 7

(ii) 156
= 2 × 2 × 3 × 13
= 2² × 3 × 13

(iii) 3825
= 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 3² × 5² × 17

(iv) 7429
= 17 × 19 × 23

2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों  के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है।
(i) 26 और 91          (ii) 510 और 92          (iii) 336 और 54
हल : (i) 26 और 91
26 और 91 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर-
26 = 2 × 13 × 1
91 = 7 × 13 × 1
26 और 91 का LCM = 2 × 7 × 13 × 1 = 182
26 और 91 का HCF = 1 × 13 = 13
जाँच :
26 और 91 का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
LCM और HCF का गुणनफल = 182 × 13 = 2366
अतः दोनों संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

(ii) 510 और 92
510 और 92 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
510 और 92 का LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23
LCM = 23460
510 और 92 का HCF = 1 × 2 = 2
जाँच :
510 और 92 का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
LCM और HCF का गुणनफल = 23460 × 2 = 46920
अतः दोनों संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

(iii) 336 और 54
336 और 54 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3  × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
336 और 54 का LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= 3024
336 और 54 का HCF = 1 × 2 × 3 = 6
जाँच :
336 और 54 का गुणनफल = 336 × 54 = 18144
LCM और HCF का गुणनफल = 3024 × 6 = 18144
अतः दोनों संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21          (ii) 17, 23 और 39          (iii) 8, 9 और 25
हल : (i) 12, 15 और 21
12, 15 और 21 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
अतः 12, 15 और 21 का HCF = 3
12, 15 और 21 का LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 और 29
17, 23 और 29 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29= 1 × 29
अतः 17, 23 और 29 का HCF = 1
17, 23, 29 का LCM = 17 × 23 × 29 = 1139

(iii) 8, 9 और 25
8, 9 और 25 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
8 = 1 ×2 × 2 × 2
9 = 1 × 3 × 3
25 = 1 × 5 × 5
अतः 8, 9 और 25 का HCF = 1
8, 9 और 25 का LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 1800

4. HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल : 306 और 657 का HCF = 9
मानाकि 306 और 657 का LCM = X
जैसा की हम जानते है कि :
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
उपरोक्त सूत्र में मान रखने पर –
9 × X = 306 × 657
\(\displaystyle x=\frac{{306\times 657}}{9}\)x = 34 × 657
x = 22338

5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
हल : यदि 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो तो ये निश्चित रूप से 5 या 10 से विभाजित होगी।
अतः 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3)ⁿ
5, 6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है, अतः 6ⁿ, 5 से विभाजित नहीं होगा।
अतः किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर ख़त्म नहीं हो सकती है।

6. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल : भाज्य संख्याएँ वो होती है, जो  1 और स्वयं के अलावा किसी ओर संख्या से भी पूरी-पूरी विभाजित होती है।
अतः 7 × 11 × 13 + 13 में –
= 13 (7 × 11 + 1)
= 13 (77 + 1)
= 13 × 78
= 13 × 3 × 2 × 13
इसलिए संख्या 7 × 11 × 13 + 13 भाज्य संख्या है।

अब संख्या 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 में –
= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 (1008 + 1)
= 5 × 1009
इसलिए संख्या 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या है।

7. किसी खेल के मैदान के चरों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए की वे दोनों एक ही स्थान ओर एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे ?
हल : रवि मैदान का एक चक्कर पूरा करने में समय लेता है = 12 मिनट
सोनिया मैदान का एक चक्कर पूरा करने में समय लेता है = 18 मिनट
दोनों को पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए हमें इसका LCM ज्ञात करना होगा।
अतः 12 ओर 18 के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
12 ओर 18 का LCM = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
अतः दोनों 36 मिनट के बाद पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 Maths
NCERT Class 10 maths chapter 1
Ex 1.3 प्रश्नावली 1.3

1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल : मानाकि √5 एक परिमेय संख्या है।
तो \(\displaystyle \sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
जहाँ p और q पूर्णांक है, तथा यह सह अभाज्य संख्याएँ है।
\(\displaystyle \sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
p = √5q
दोनों पक्षों का वर्ग लेने पर –
p² = (√5q)²
p² = 5q² ……………………….. (i)
अतः 5, p² को विभाजित करता है,
इसलिए 5, p को भी विभाजित करेगा ……………………….. (ii)
मानाकि p = 5a (जहाँ a एक पूर्णांक है)
समी (i) में p का मान रखने पर –
5a² = 5q²
अतः 5, q² को विभाजित करता है।
इसलिए 5, q को भी विभाजित करेगा ……………………….. (iii)
समीकरण (ii) और (iii) से हमें ज्ञात होता है कि p और q का उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।
इसलिए हमारा अनुमान कि √5 एक परिमेय संख्या है, गलत है।
इससे सिद्ध होता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

2. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल : मानाकि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।
\(\displaystyle 3+2\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
जहाँ p और q पूर्णांक है, तथा यह सह अभाज्य संख्याएँ है।
\(\displaystyle 3+2\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
पुनः व्यवस्थित करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}2\sqrt{5}=\frac{p}{q}-3\\\sqrt{5}=\frac{1}{2}\times \left( {\frac{p}{q}-3} \right)\end{array}\)
चूँकि p और q पूर्णांक है,
अतः \(\displaystyle \frac{1}{2}\left( {\frac{p}{q}-3} \right)\) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए √5 भी एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन इसके विपरीत तथ्य यह है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
इससे सिद्ध होता है कि 3 + 2√5 भी एक अपरिमेय संख्या है।

3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं :
(i) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\)           (ii) 7√5           (iii) 6 + √2
हल : (i) \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\)
मानाकि latex \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}$ एक परिमेय संख्या है।
\(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{p}{q}\) जहाँ p और q पूर्णांक (q ≠ 0)
p और q दोनों सह अभाज्य संख्याएँ है।
\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{p}{q}\\\sqrt{2}=\frac{p}{q}\end{array}\)
2p2 = q² ………………….. (i)
अतः 2, q² को विभाजित करता है।
इसलिए 2, q को भी विभाजित करेगा। ………………….. (ii)
माना q = 2k जहाँ k कोई पूर्णांक है।
समी (i) में q का मान रखने पर –
2p² = (2k)²
p² = 2k²
अतः 2, p² को विभाजित करता है।
इसलिए 2, p को भी विभाजित करता है ………………….. (iii)
अतः समी (ii) व (iii) से ज्ञात होता है कि p और q का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। जो कि हमने अनुमान लगाया था उसे भिन्न है।
यह गलत परिणाम हमारे गलत अनुमान के कारण आया है।
अतः \(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{2}}}\) एक परिमेय संख्या है।

(ii) 7√5
मानाकि 7√5 एक परिमेय संख्या है।
अतः \(\displaystyle 7\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) , जहाँ p और q सह अभाज्य संख्याएँ है। (q ≠ 0)
\(\displaystyle \begin{array}{l}7\sqrt{5}=\frac{p}{q}\\\sqrt{5}=\frac{p}{{7q}}\end{array}\)
क्योंकि p और q पूर्णांक है, इसलिए \(\displaystyle \frac{p}{{7q}}\) एक परिमेय संख्या है। अतः √5 भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन हम जानते है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। यह गलत परिणाम हमारे गलत अनुमान के कारण आया है। अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) 6 + √2
मानाकि 6 + √2 एक परिमेय संख्या है।
अतः \(\displaystyle 6+\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) , जहाँ जहाँ p और q सह अभाज्य संख्याएँ है। (q ≠ 0)
\(\displaystyle \begin{array}{l}6+\sqrt{2}=\frac{p}{q}\\\sqrt{2}=\frac{p}{q}-6\\\sqrt{2}=\frac{{p-6q}}{q}\end{array}\)
क्योंकि p और q पूर्णांक है। इसलिए √2 भी एक परिमेय संख्या होगी।
जैसा कि हम जानते है कि √2 एक अपरिमेय संख्या है। यह गलत परिणाम हमारे गलत अनुमान के कारण आया है। अतः 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10 Maths
NCERT Class 10 maths chapter 1
Ex 1.4 प्रश्नावली 1.4

1. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है :
(i) \(\displaystyle \frac{{13}}{{3125}}\)               (ii) \(\displaystyle \frac{{17}}{8}\)                (iii) \(\displaystyle \frac{{64}}{{455}}\)
(iv) \(\displaystyle \frac{{15}}{{1600}}\)                (v) \(\displaystyle \frac{{29}}{{343}}\)               (vi) \(\displaystyle \frac{{23}}{{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}}\)
(vii) \(\displaystyle \frac{{129}}{{{{2}^{2}}{{5}^{7}}{{7}^{5}}}}\)                (viii) \(\displaystyle \frac{{6}}{{15}}\)                 (ix) \(\displaystyle \frac{{35}}{{50}}\)
(x) \(\displaystyle \frac{{77}}{{210}}\)
हल : (i) \(\displaystyle \frac{{13}}{{3125}}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड करने पर –
3125 = 5 × 5 × 5 = 5⁵
चूँकि हर में केवल 5 के गुणनखंड है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 5^y के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ii) \(\displaystyle \frac{{17}}{8}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
8 = 2 × 2 × 2 = 2³
चूँकि हर में केवल 2 के गुणनखंड है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(iii) \(\displaystyle \frac{{64}}{{455}}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
455 = 5 × 7 × 13
चूँकि हर में न तो 2 के अभाज्य गुणनखंड है ना ही 5 के अभाज्य गुणनखंड है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में नहीं है। अतः इसका दशमलव प्रसार असांत होगा।

(iv) \(\displaystyle \frac{{15}}{{1600}}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2⁶ × 5²
चूँकि हर में 2 व 5 के गुणनखंड है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(v) \(\displaystyle \frac{{29}}{{343}}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
343 = 7 × 7 × 7 = 7³
चूँकि हर में न तो 2 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है ना ही 5 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में नहीं है। अतः इसका दशमलव प्रसार असांत होगा।

(vi) \(\displaystyle \frac{{23}}{{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}}\)
चूँकि दी गई परिमेय संख्या का हर 2 और 5 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(vii) \(\displaystyle \frac{{129}}{{{{2}^{2}}{{5}^{7}}{{7}^{5}}}}\)
चूँकि दी गई परिमेय संख्या का हर में न तो 2 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है ना ही 5 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में नहीं है। अतः इसका दशमलव प्रसार असांत होगा।

(viii) \(\displaystyle \frac{{6}}{{15}}\)
सरल रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle \frac{6}{{15}}=\frac{2}{5}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
5 = 1 × 5
चूँकि दी गई परिमेय संख्या का हर 5 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ix) \(\displaystyle \frac{{35}}{{50}}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 52
चूँकि दी गई परिमेय संख्या का हर 2 व 5 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(x) \(\displaystyle \frac{{77}}{{210}}\)
सरलतम रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle \frac{{77}}{{210}}=\frac{{11}}{{30}}\)
हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
30 = 2 × 3 × 5
चूँकि दी गई परिमेय संख्या का हर 2 व 5 के अभाज्य गुणनखंड के रूप में नहीं है और हम जानते है कि यदि किसी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखंड 2^x5^y के रूप में होते है, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है।
अतः दी गई परिमेय संख्या में हर के गुणनखंड 2^x5^y के रूप में नहीं है। अतः इसका दशमलव प्रसार असांत होगा।

2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलब प्रसारण कि लिखिए जो सांत है।
हल :
(i) \(\displaystyle \frac{{13}}{{3125}}\)
अंश और हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{13}}{{5\times 5\times 5\times 5\times 5}}\\=\frac{{13}}{{{{5}^{5}}}}\end{array}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{{13}}{{{{5}^{5}}}}\times \frac{{{{2}^{5}}}}{{{{2}^{5}}}}\) (अंश और हर को 2⁵ से गुणा करने पर)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{13\times 32}}{{{{{\left( {5\times 2} \right)}}^{5}}}}\\=\frac{{416}}{{{{{10}}^{5}}}}\end{array}\)
= 0.00416

(ii) \(\displaystyle \frac{{17}}{8}\)
अंश और हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{17}}{{2\times 2\times 2}}\\=\frac{{17}}{{{{2}^{3}}}}\end{array}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{{17}}{{{{2}^{3}}}}\times \frac{{{{5}^{3}}}}{{{{5}^{3}}}}\) (अंश और हर को 5³ से गुणा करने पर)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{17\times 125}}{{{{{\left( {2\times 5} \right)}}^{3}}}}\\=\frac{{2125}}{{{{{10}}^{3}}}}\end{array}\)
= 2.125

(iv) \(\displaystyle \frac{{15}}{{1600}}\)
अंश और हर के अभाज्य गुणनखंड लेने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{3\times 5}}{{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 5\times 5}}\\=\frac{3}{{{{2}^{6}}\times 5}}\end{array}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{3}{{{{2}^{6}}\times 5}}\times \frac{{{{5}^{5}}}}{{{{5}^{5}}}}\) (अंश और हर को 5⁵ से गुणा करने पर)
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{3\times 3125}}{{{{{\left( {2\times 5} \right)}}^{6}}}}\\=\frac{{9375}}{{{{{10}}^{6}}}}\end{array}\)
= 0.009375

(vi) \(\displaystyle \frac{{23}}{{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{{23}}{{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}}\times \frac{5}{5}\) (अंश और हर को 5 से गुणा करने पर)
\(\displaystyle =\frac{{115}}{{{{{\left( {10} \right)}}^{3}}}}\)
= 0.0115

(viii) \(\displaystyle \frac{{6}}{{15}}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{{129}}{{{{2}^{3}}{{5}^{2}}}}\times \frac{5}{5}\) (अंश और हर को 5 से गुणा करने पर)

(viii) \(\displaystyle \frac{{6}}{{15}}\)
संख्या को सरल करने पर –
\(\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{6}{{15}}\\=\frac{2}{5}\end{array}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{2}{5}\times \frac{2}{2}\) (अंश और हर को 2 से गुणा करने पर)
\(\displaystyle =\frac{4}{{10}}\)
= 0.4

(ix) \(\displaystyle \frac{{35}}{{50}}\)
सरल करने पर –
\(\displaystyle =\frac{{35}}{{50}}=\frac{7}{{10}}\)
हर को 2^x5^y के रूप में लिखने पर –
\(\displaystyle =\frac{7}{{2\times 5}}\times \frac{{2\times 5}}{{2\times 5}}\) (अंश और हर को 2 × 5 से गुणा करने पर)
\(\displaystyle =\frac{{70}}{{100}}\)
= 0.7

4. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार निचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और p/q के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?
(i) 43.123456789          (ii) 0.120120012000120000…           (iii) \(\displaystyle 43.\overline{{123456789}}\)
हल : (i) 43.123456789
दी गई संख्या सांत दशमलव संख्या है। यह एक परिमेय संख्या है जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ q के अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 की घातों के रूप में है। अतः यह एक परिमेय संख्या है।

(ii) 0.120120012000120000…
यह असांत दशमलव प्रसार वाली संख्या है अतः यह एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) \(\displaystyle 43.\overline{{123456789}}\)
संख्या का दशमलव प्रसार आवर्ती है। यह एक परिमेय संख्या है जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ q के अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 की घातों के रूप में है। अतः यह एक परिमेय संख्या है।