NCERT Solutions for Class 8 Math Chapter 3 Understanding of Quadrilaterals | कक्षा 8 गणित अध्याय 3 चतुर्भुजों को समझना

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 8 MATH

कक्षा – 8
विषय – गणित
अध्याय – 3
चतुर्भुजों को समझना
Class – 8
Subject – Math
Lesson – 3
Understanding of Quadrilaterals
 
 
प्रश्नावली 3.1
 

1. यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गई हैं :


प्रत्येक वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए :

(a) साधारण वक्र

(b) साधारण बंद वक्र

(c) बहुभुज

(d) उत्तल बहुभुज

(e) अवतल बहुभुज

 

हल : (a) साधारण वक्र – 1, 2, 5, 7
(b) साधारण बंद वक्र – 1, 2, 5, 6, 7
(c) बहुभुज – 1, 2
(d) उत्तल बहुभुज – 2 
(e) अवतल बहुभुज – 1, 4
 
2. निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं ?
(a) एक उत्तल चतुर्भुज            (b) एक समषडभुज            (c) एक त्रिभुज
हल : (a) एक उत्तल चतुर्भुज – 2
(b) एक समषडभुज – 9
(c) एक त्रिभुज – 0
 
3. उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों  योगफल क्या हैं ? यदि चतुर्भुज, उत्तल न हो तो क्या यह गुण लागू होगा ? (एक चतुर्भुज बनाइए उत्तल न हो और प्रयास कीजिए।) 
हल : उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल 360° होगा। 
यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो भी कोणों के मापों का योगफल 360° ही होगा। 
उपरोक्त चतुर्भुज उत्तल नहीं है। इस चतुर्भुज को दो त्रिभुज में बाँटा गया है। प्रत्येक त्रिभुज का मान 180° होगा। अतः इस चतुर्भुज के कोणों का योगफल भी 360° होगा। 
 
4. तालिका की जाँच कीजिए : (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बाँटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए)
 
आकृति

566

भुजा 3 4 5 6
कोणों का योगफल 180° 2 × 180°= (4 – 2) × 180° 3 × 180°= (5 – 2) × 180° 4 × 180°= (6 – 2) × 180°
 
एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते है जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो ?
(a) 7                (b) 8                (c) 10                (d) 𝑛
हल :
(a) भुजाओं की संख्या (𝑛) = 7
किसी बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात कर सकते है = (𝑛 – 2) × 180°
अतः 𝑛 = 7 रखने पर –
= (7 – 2) × 180
= 5 × 180
= 900°
(b) भुजाओं की संख्या (𝑛) = 8
बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल = (𝑛 – 2) × 180°
अतः 𝑛 = 8 रखने पर –
= (8 – 2) × 180
= 6 × 180
= 1080°
 
(c) भुजाओं की संख्या (𝑛) = 10
बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल = (𝑛 – 2) × 180°
अतः 𝑛 = 10 रखने पर –
= (10 – 2) × 180
= 8 × 180
= 1440°
 
(d) भुजाओं की संख्या (𝑛) = 𝑛
बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल = (𝑛 – 2) × 180°
अतः 𝑛 = 𝑛 रखने पर –
= (𝑛 – 2) × 180
 
5. सम बहुभुज क्या है ? सम बहुभुज किसे कहते है ?
एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें 
(i) 3 भुजाएँ                (ii) 4 भुजाएँ                (iii) 6 भुजाएँ हों। 
हल : सम बहुभुज – ऐसा बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ एवं आंतरिक कोण का मान बराबर हो सम बहुभुज कहलाता है। 
(i) 3 भुजाएँ – ऐसा बहुभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हो त्रिभुज (समबाहु) कहलाता है। 
(ii) 4 भुजाएँ – ऐसा बहुभुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हो चतुर्भुज (आयत) कहलाता है। 
(iii) 6 भुजाएँ – ऐसा बहुभुज जिसकी छः भुजाएँ बराबर हो सम षटभुज कहलाता है।
 
6. निम्नलिखित आकृतियों में 𝑥 (कोण की माप) ज्ञात कीजिये :
(a) 

हल : ∵ चतुर्भुज के चारों कोणों  योग = 360°
अतः 50° + 130° + 120° + 𝑥 = 360°
300° + 𝑥 = 360°
𝑥 = 360° – 300°
𝑥 = 60°
 
(b) 

ल :  𝑦 + 𝑧 = 180° (रैखिक कोण युग्म)
90° + 𝑧 = 180°
𝑧 = 180° – 90°
𝑧 = 90°
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 360° 
70° + 60° + 90° + 𝑥 = 360°
220° + 𝑥 = 360°
𝑥 = 360° – 220°
𝑥 = 140°
 
(c) 

 
हल : 70° + 𝑦 = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑦 = 180° – 70°
𝑦 = 110°
60° + 𝑧 = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑧 = 180° – 60°
𝑧 = 120°
∵ पंचभुज के सभी अन्तः कोणों का योग = (𝑛 – 2) × 180°
𝑛 = 5
= (5 – 2) × 180°
= 3 × 180°
= 540°
अतः 110° + 120° + 𝑥 + 𝑥 + 30° = 540°
260° + 2𝑥 = 540°
2𝑥 = 540° – 260°
2𝑥 = 280°
𝑥 = 280° ÷ 2
𝑥 = 140°
 
(d) 

हल : ∵ पंचभुज के पाँचों कोणों का योग = 540° 
अतः 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 540°
5𝑥 = 540°
𝑥 = 540° ÷ 5
𝑥 = 108°
 
7. (a)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ज्ञात कीजिए। 
हल: 𝑧 + 30° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑧 = 180° – 30°
𝑧 = 150°
𝑥 + 90° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑥 = 180° – 90°
𝑥 = 90°
त्रिभुज के तीनों बाह्य कोणों का योगफल = 360°
अतः 150° + 90° + 𝑦 = 360°
240° + 𝑦 = 360°
𝑦 = 360° – 240°
𝑦 = 120°
अतः 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 360°
 
(b) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 ज्ञात कीजिए। 

हल : 𝑥 + 120° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑥 = 180° – 120°
𝑥 = 60°
𝑦 + 80° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑦 = 180° – 80°
𝑦 = 100°
𝑧 + 60° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
𝑧 = 180° – 60°
𝑧 = 120°
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों  योग = 360°
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 360°
60° + 100° + 120° + 𝑤 = 360°
280° + 𝑤 = 360°
𝑤 = 360° – 280°
𝑤 = 80°
अतः 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 360°
 
 
प्रश्नावली 3.2
 
1. निम्नलिखित आकृतियों में 𝑥 का मान ज्ञात कीजिए :
हल : ∵ किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग = 360°
अतः 125° + 125° + 𝑥 = 360°
250° + 𝑥 = 360°
𝑥 = 360° – 250°
𝑥 = 110°
 
(b) 

हल : ∵ पंचभुज के बाह्य कोणों का योग = 360°
अतः 70° + 𝑥 + 90° + 60° + 90° = 360°
310° + 𝑥 = 360°
𝑥 = 360° – 310°
𝑥 = 50°
2. एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप ज्ञात कीजिए जिसकी 
(i) 9 भुजाएँ                (ii) 15 भुजाएँ हों। 
हल : (i) 9 भुजाएँ
सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = \(\displaystyle \frac{{360}}{n}\)
𝑛 = 9
अतः सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = \(\displaystyle \frac{{360}}{9}\)
= 40°
(ii) 15 भुजाएँ हों। 
हल : सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = \(\displaystyle \frac{{360}}{n}\)
𝑛 = 15 
अतः सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = \(\displaystyle \frac{{360}}{15}\)
= 24°
 
3. एक सम बहुभुज की कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण का माप 24° हो ?
हल : सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = \(\displaystyle \frac{{360}}{n}\)
24 = \(\displaystyle \frac{{360}}{n}\)
24𝑛 = 360°
𝑛 = \(\displaystyle \frac{{360}}{24}\)
𝑛 = 15
 
4. एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत: कोण 165° का हो ?
हल : सम बहुभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = \(\displaystyle \frac{{\left( {n-2} \right)180}}{n}\)
165𝑛 = (𝑛 – 2) × 180°
165𝑛 = 180𝑛 – 360
165𝑛 – 180𝑛 = – 360
– 15𝑛 = – 360
𝑛 = \(\displaystyle \frac{{360}}{{15}}\)
𝑛 = 24
 
5. (a) क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप 22° हो ?
हल : सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = \(\displaystyle \frac{{360}}{n}\)
22 = \(\displaystyle \frac{{360}}{n}\)
22𝑛 = 360
𝑛 = \(\displaystyle \frac{{360}}{22}\)
𝑛 = 16.37
अतः ऐसा बहुभुज संभव नहीं है जिसका प्रत्येक बाह्य कोण 22° हो क्योकि यहाँ मान पूरी तरह विभाजित ने होता है। 
(b) क्या यह किसी सम बहुभुज का अंत:कोण हो सकता है ? क्यों ?
हल : सम बहुभुज का प्रत्येक अन्तः कोण = \(\displaystyle \frac{{\left( {n-2} \right)180}}{n}\)
22𝑛 = (𝑛 – 2) × 180
22𝑛 = 180𝑛 – 360
22𝑛 – 180𝑛 = – 360
– 158𝑛 = – 360
𝑛 = 360 ÷ 158
𝑛 = 2.27
अतः ऐसा बहुभुज संभव नहीं है जिसका प्रत्येक अंत:कोण 22° हो क्योकि यहाँ मान पूरी तरह विभाजित ने होता है।
6. (a) किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश अंत:कोण संभव है ? क्यों ?
हल : हम जानते कि सम बहुभुज कम से कम 3 भुजाओं का बनता है। अतः यह समबाहु त्रिभुज होगा, जिसका प्रत्येक कोण 60° का होगा। 
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 180°
3𝑥 = 180
𝑥 = 180 ÷ 3
𝑥 = 60°
(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है ?
हल : सबसे कम भुजा वाला बहुभुज त्रिभुज होगा। अतः अधिकतम बाह्य कोण का मान 120° होगा। 
अतः 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 360°
3𝑥 = 360°
𝑥 = 360 ÷ 3
𝑥 = 120°
 

प्रश्नावली 3.3

1. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किये गए गुण द्वारा पूरा कीजिए।
(i) AD = ……………………..      (ii) ∠DCB = …………………….
(iii) OC = ……………………..      (iv) mDAB + mCDA = ……………………
हल : (i) AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।)     
(ii) ∠DCB = DAB (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है।)
(iii) OC = OA (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते है।)     
(iv) mDAB + mCDA = 180° (आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)

2. निम्न समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मानों को ज्ञात कीजिए :
C 8 M E 1

C 8 M E 3 scaled

हल : (i) समान्तर चतुर्भुज ABCD में –
B = 100°
चूँकि ∠D = ∠B (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
D = ∠B = 100° 
अतः D = y = 100°
A + ∠D = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
अतः ∠A + 100° = 180°
A = 180° – 100°
A = z = 80°
A = 80°
चूँकि ∠A = ∠C (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
A = ∠C = 80° 
अतः C = x = 100°

(ii) यह एक समान्तर चतुर्भुज है अतः C 8 M E 2


50° + ∠x = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
x = 180° – 50°
x = 130°
50° + ∠y = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
y = 180° – 50°
y = 130°
w = 50° (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
w + ∠z = 180° (रैखिक कोण युग्म)
50° + ∠z = 180°
z = 180° – 50°
z = 130°

(iii) ABCD एक सम चतुर्भुज है अतःC 8 M E 3 copy


x = 90° (चूँकि सम चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को लम्ब समद्विभाजित करते है।)
ΔBOC में,
y + ∠x + 30° = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।)
y + 90° + 30° = 180°
y = 180° – 90° – 30°
y = 180° – 120°
y = 60°
y = ∠z (एकान्तर कोणों का मान बराबर होता है।)
अतः ∠y = ∠z = 60°
z = 60°

(iv) समान्तर चतुर्भुज में,
w = ∠y = 80 (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है।)
अतः y = 80°
y + ∠x = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
80° + ∠x = 180°
x = 180° – 80°
∠x = 100°
y = ∠z (एकान्तर कोणों का मान बराबर होता है।)
y = ∠z = 80°
z = 80°

(v) समान्तर चतुर्भुज में,C 8 M E 3 copy


D = ∠B = 112° (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
B = 112
B + ∠A = 180° (समान्तर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है।)
112 + ∠A = 180°
A = 180° – 112
A = 68°
w + ∠z = ∠A (चित्र में दिया है।)
40 + ∠z = 68
z = 68 – 40
z = 28°
x = ∠z = 28 (एकान्तर कोणों का मान बराबर होता है।)
x = 28°

3. क्या एक चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज हो सकता है यदि 
(i) ∠D + ∠B = 180° ?
(ii) ABDC = 8𝑐𝑚, AD = 4𝑐𝑚 और BC = 4.4𝑐𝑚 ?
(iii) ∠A = ∠70 और ∠C = 65 ?
हल : (i) ∠D + ∠B = 180° ?
हाँ,  यह एक समान्तर चतुर्भुज हो सकता है, यदि ∠D = ∠B = 90° हो।

(ii) AB = DC = 8cm, AD = 4cm और BC = 4.4cm ?
नहीं, यह समान्तर चतुर्भुज हो ही नहीं सकता है।

(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65° ?
नहीं, यह समान्तर चतुर्भज नहीं हो सकता है।

4. एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए जो समान्तर चतुर्भुज न हो परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हो।
हल : पतंग 

5. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है. समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल : हम जानते है की समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
दोनों आसन्न कोणों का अनुपात = 3 : 2
मानाकि पहला आसन्न कोण = 3x
तथा दूसरा कोण = 2x
अतः 3x + 2x = 180°
5x = 180°
x = \(\displaystyle \frac{{150}}{5}\)
x = 36
अतः पहला आसन्न कोण = 3x = 3 × 36 = 108°
इसके सम्मुख वाला आसन्न कोण भी = 108°
तीसरा आसन्न कोण = 2x × 36 = 72°
इसके सम्मुख आसन्न कोण = 72°

6. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के माप बराबर हैं। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल : मानाकि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण AB है तथा दोनों के मान समान है।
तब ∠A = ∠B = 90° (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।) 
B के सम्मुख कोण ∠C का मान भी 90° होगा तथा ∠C के आसन्न कोका मान = 90° होगा।
अतः चतुर्भुज के चारो कोणों का मान निम्न होगा –
A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 90° तथा ∠D = 90°

7. संलग्न आकृति HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है। x, y तथा z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किये गए गुणों को बताइए।
हल : ∠w + 70° = 180° (रैखिक कोण युग्म)
w = 180° – 70°
w = 110°
w = ∠x (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
w = ∠x = 110°
x = 110°
E + ∠H = 180° (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180 होता है।)
110° + ∠H = 180°
H = 180° – 110°
H = 70°
40° + ∠z = ∠H (चित्र में दिया गया है।)
z = 70° – 40°
z = 30°
y = 40° (एकान्तर कोण का मान समान होता है।)

8. निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समान्तर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए।
हल : (i) चूँकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख भुजाएँ समान होती है।
अतः 3y – 1 = 26
3y = 26 + 1
3y = 27
y = \(\displaystyle \frac{{27}}{3}\)
y = 9
इसी प्रकार,
3x = 18
x = \(\displaystyle \frac{{18}}{3}\)
x = 6

(ii) ∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को बराबर भागों में समद्विभाजित करते है।
अतः y + 7 = 20
y = 20 – 7
y = 13
तथा x + y = 16
x + 13 = 16
x = 16 – 13
x = 3

9. दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।
हल : समान्तर चतुर्भुज RISK में,  
अतः ∠K + ∠S = 180° (समान्तर चतुर्भुज आसन्न कोणों का मान 180° होते है।) 
120° + ∠S = 180°
S = 180° – 120°
S = 60°
इसी प्रकार, समान्तर चतुर्भुज क्लू में, 
L = ∠E  (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का मान समान होता है।)
L = ∠E = 70°
अतः ∠E = 70°
अब त्रिभुज EOS में, 
E + ∠S + x = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 होता है।)
70° + 60° + x = 180°
130° + x = 180°
x = 180° – 130°
x = 50°
अतः x का मान 50° होगा।

10. बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समान्तर है ? (आकृति 3.32)
हल : दी गई आकृति में भुजा MN भुजा KL के समान्तर है, क्योंकि समान्तर भुजाओं पर बनने वाले कोणों के युग्मों का योगफल 180° होता है।
जैसा की आकृति में दिखाया गया है।
M + ∠N = 180°

11. आकृति 3.33 में mC ज्ञात कीजिए यदि \(\displaystyle \overline{{AB}}\parallel \overline{{DC}}\) है।
हल : \(\displaystyle \overline{{AB}}\parallel \overline{{DC}}\) (दिया है)
अतः ∠B + ∠C = 180° (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण का मान 180° होता है।)
120° + ∠C = 180°
C = 180° – 120°
C = 60°
अतः mC = 60° है।

12. आकृति 3.34 में ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि \(\displaystyle \overline{{SP}}\parallel \overline{{RQ}}\) है। (यदि आप mR, ज्ञात करते है, तो क्या mP को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है ?)
हल : चूँकि समान्तर रेखाओं पर बनने वाले अंत: कोणों का मान 180° होता है।
अतः ∠P + ∠Q = 180°
P + 130° = 180°
P = 180° – 130°
P = 50°
इसी प्रकार,
S + ∠R = 180°
S + 90° = 180°
S = 180° – 90°
S = 90°
इसी प्रकार हम दूसरी विधि से भी ज्ञात कर सकते है।
चतुर्भुज के चारो कोणों का योग = 360°
अतः ∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°
P + 130° + 90° + 90° = 360°
P = 360° – 310°
P = 50°

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